青海省西宁市2024届高三下学期一模文科数学试题（解析版）

2024年青海省西宁市高考数学一模试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集定义计算．【详解】由题意，故选：C．2.已知复数，其中i为虚数单位，则（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的模长公式求解．【详解】因为复数所以故选：C3.已知向量，，若，则（）A. B.1C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，且，所以，解得.故选：B4.下列命题中，正确的是（）A.若且，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法和不等式的性质即可求解.【详解】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误；对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误；对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误；对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确.故选：D.5.已知直线m，n和平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合直线与直线，直线与平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】若，则或直线m与直线n异面，故不充分；若，则或，故不必要；所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及直线与直线，直线与平面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.已知，是第四象限角，则（）A. B.429 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、同角公式及二倍角的正弦公式计算即得.【详解】由，得，即，由是第四象限角，得，所以.故选：A7.已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数、对数函数、三角函数的单调性求出，，的取值范围即可求得.【详解】由指数函数和对数函数的单调性知，，，因为在单调递增，且，所以，所以.故选：C8.甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】甲手中的两张纸牌数字用表示，乙手中的两张纸牌数字用表示，一个回合之后，甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为：（1）；（2）；（3）：（4）共4种情况，其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况，所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为，故选：B9.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若为直角三角形，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出渐近线方程，为直角三角形，则只可能或者，不妨取，在中，求出，在中，求出AB，即可得解.【详解】该双曲线的渐近线方程为，则，若为直角三角形，则只可能或者，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可，如图所示，，在中，有，在中，，，所以.故选：C.10.已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（）A. B.21π C. D.25π【答案】D【解析】【分析】先由圆锥的侧面积和底面圆半径求出母线长，借助于轴截面求得圆锥的高，通过列出方程求解即得.【详解】如图，设圆锥的母线长为，由圆锥的侧面积公式，得，解得，所以圆锥的高为．设圆锥的外接球半径为，则在中，由勾股定理，，解得，所以该圆锥的外接球的表面积为．故选：D．11.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据扇形的特点结合路程关系进行判断即可.【详解】小明沿走时，与点的直线距离保持不变，沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意.故选：D12.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由题设及累加可得，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果.【详解】由题意，，且，累加可得，所以，∴，得，即．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数，则在处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】先求导，再求斜率，进而可得直线方程.【详解】依题知切点为，则，则f'0则切线方程：，即.故答案为：14.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，若，则点的横坐标为________.【答案】2【解析】【分析】由抛物线的方程可得，结合抛物线的定义以及焦半径可得答案．【详解】由抛物线方程可得，即，则，解得.故答案为：2.15.设等比数列的前项和为，若，则实数________．【答案】【解析】【分析】由，分别求出，进而利用等比中项即可求解.【详解】根据题意，等比数列中，有，则，，，因为是等比数列，则有，即，解可得.故答案为：.16.若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】时，结合正弦函数的图像和性质，确定的范围，由不等式求解的取值范围.【详解】因，，所以，因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得．则的取值范围是.故答案为：三、解答题：本题共7小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，，，．（1）求A的大小；（2）求内切圆的半径．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接代入余弦定理即可得.（2）利用面积相等可得内切圆的半径．【小问1详解】在中，，，，由余弦定理得，而，所以.【小问2详解】设内切圆的半径为，于是，解得r=3所以内切圆的半径为.18.如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）当时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面即可；（2）先根据线面垂直的判定证明平面，再根据求解即可.【小问1详解】因为，所以四点共面，因为四边形为菱形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】因为平面，BF⊂平面，所以，又因为，平面，故平面，又因为互相平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，又因为，所以三棱锥的体积为.19.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式，即可利用待定系数法求椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示，即可求解的值.【小问1详解】由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，可得，所以，又点在该椭圆上，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为．【小问2详解】证明：设，由于该直线斜率不为0，可设，联立方程和，得，恒成立，根据韦达定理可知，，，，，．20.已知函数．（1）若，当时，证明：．（2）若，证明：恰有一个零点．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到在上单调递增，再由，即可证明；（2）根据题意，构造函数，求导可得，即在上单调递增，再结合，即可证明.【小问1详解】证明：因为，所以，．当时，，则在上单调递增，所以当时，．【小问2详解】．令，则．令，则．当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以，则在上单调递增．因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点．21.某厂近几年陆续购买了几台型机床，该型机床已投入生产的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：万元）有如下统计资料：234562.23.85.56.57.0已知，，，，（1）计算与的样本相关系数（精确到0.001），并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的相关性强弱（若，则认为与相关性很强，否则不强）.（2）该厂购入一台新的型机床，工人们分别使用这台机床（记为）和一台已经使用多年的型机床（记为）各制造50个零件，统计得出的数据如下表：机床零件合计合格不合格440合计请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”.附参考公式及数据，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；接近，说明型机床的使用年限与当年所支出的维修费用之间具有很强的相关性．（2）列联表见解析；没有的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关.【解析】【分析】（1）计算相关系数，即可得到答案；（2）根据题意完成表格，计算得到，进而可判断结果．【小问1详解】由题可知，，所以，接近，说明型机床的使用年限与当年所支出的维修费用之间具有很强的相关性．【小问2详解】补充列联表如下：机床零件合计合格不合格合计零假设为：零件合格情况与机床的使用情况无关．根据列联表中的数据，经计算得到，所以根据临界值表，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即没有的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”．22.在平面直角坐标系中，圆，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆心在直线上．（1）求圆的极坐标方程；（2）过作两条互相垂直直线，其中与圆交于两点，与圆交于两点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根据题意得到直线直角坐标方程，进而求得圆的方程，结合极坐标与直角的互化，即可求解；（2）设直线，，得到，结合，得到，进而求得面积最大值．【小问1详解】解：由直线，可得直线的直角坐标方程为，因为圆心