1.4.6.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第六节 全章复习 第一课时 复习提升课

主题1指数与对数的运算求下列各式的值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－eq\r(3,e)·eeq\s\up6(\f(2,3))＋eq\r(（2－e）2)＋10lg2；(2)lg25＋lg2×lg500－eq\f(1,2)lgeq\f(1,25)－log29×log32.【解】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－eq\r(3,e)·eeq\s\up6(\f(2,3))＋eq\r(（2－e）2)＋10lg2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))eq\s\up12(－\f(2,3))－eeq\s\up6(\f(1,3))·eeq\s\up6(\f(2,3))＋(e－2)＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)－e＋e－2＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4).(2)lg25＋lg2×lg500－eq\f(1,2)lgeq\f(1,25)－log29×log32＝lg25＋lg2×lg5＋2lg2－lgeq\f(1,5)－log39＝lg5(lg5＋lg2)＋2lg2－lg2＋1－2＝lg5＋lg2－1＝1－1＝0.指数与对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算：留意化简挨次，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若消灭分式，则要留意对分子、分母因式分解以达到约分的目的；(2)对数的运算：留意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．eq\a\vs4\al()1．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(1,3))＋log2(log216)＝________．解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＋log24＝eq\f(2,3)＋2＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)2．已知2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y，则x＋2y的值为________．解析：由2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y得x＝log23，y＝log4eq\f(8,3)＝eq\f(1,2)log2eq\f(8,3)，所以x＋2y＝log23＋log2eq\f(8,3)＝log28＝3.答案：3主题2指数函数、对数函数的图象问题若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()【解析】由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，明显图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，明显与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，明显不符．故选B.【答案】B(1)识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值．(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．1．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D.由于a＞1，所以函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)不经过第四象限，所以选D.2．对a>0且a≠1的全部正实数，函数y＝ax＋1－2的图象肯定经过肯定点，则该定点的坐标是________．解析：当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1)．答案：(－1，－1)主题3指数函数、对数函数的性质设f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．【解】(1)由于f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1＋ax,－x－1)＝－logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(x－1,1－ax).所以eq\f(1＋ax,－x－1)＝eq\f(x－1,1－ax)，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，所以a＝－1(a＝1舍去)．(2)由(1)可知f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(x＋1,x－1)＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x－1)))(x>1)，令u(x)＝1＋eq\f(2,x－1)(x>1)，对任意的1<x1<x2，有：u(x1)－u(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x1－1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x2－1)))＝eq\f(2（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）).由于1<x1<x2，所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以eq\f(2（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）)>0，即u(x1)－u(x2)>0.所以函数u(x)＝1＋eq\f(2,x－1)在(1，＋∞)上是减函数．又由于函数y＝logeq\s\do9(\f(1,2))u在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(x＋1,x－1)在(1，＋∞)上为增函数．基本初等函数单调性的推断与应用(1)对于指数函数和对数函数，留意底数a对函数单调性的影响，对于幂函数y＝xα，留意指数α对函数单调性的影响．(2)依据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．eq\a\vs4\al()1．设函数f(x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，2)上是增函数B．奇函数，且在(0，2)上是减函数C．偶函数，且在(0，2)上是增函数D．偶函数，且在(0，2)上是减函数解析：选A.由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋x>0，,2－x>0，))解得－2<x<2，所以f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．由于f(－x)＝ln(2－x)－ln(2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；又y＝ln(2＋x)在(－2，2)上单调递增，y＝ln(2－x)在(－2，2)上单调递减，所以f(x)在(－2，2)上单调递增．故选A.2．若函数y＝loga(2x－1)(0＜a＜1)在区间[3，6]上有最小值为－2，则实数a的值为________．解析：由于0<a<1，所以函数y＝loga(2x－1)在区间[3，6]上为减函数，所以当x＝6时，y有最小值为－2，即loga11＝－2，所以a－2＝eq\f(1,a2)＝11，解得a＝eq\f(\r(11),11).答案：eq\f(\r(11),11)主题4函数的应用某工厂因排污比较严峻，打算着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开头上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开头工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝eq\f(20,3)(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数猜测，整治后有多少个月的污染度不超过60?【解】(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：由于f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30；f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．(2)由于h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.利用已知函数模型解决实际问题的方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要留意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最终结合其实际意义作出解答．eq\a\vs4\al()1．国庆期间，一个小伴侣买了一个体积为a的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t天后气球体积变为V＝ae－kt.若经过25天后，气球体积变为原来的eq\f(2,3)，则至少经过________天后，气球体积小于原来的eq\f(1,3).(lg3≈0.477，lg2≈0.301，结果保留整数)解析：由已知“经过t天气球体积变为V＝ae－kt，经过25天后，气球体积变为原来的eq\f(2,3)”得，ae－25k＝eq\f(2,3)a⇒e－25k＝eq\f(2,3)，则－25k＝lneq\f(2,3)，①设t0天后气球体积变为原来的eq\f(1,3)，即V＝ae－kt0＝eq\f(1,3)a，即e－kt0＝eq\f(1,3)，则－kt0＝lneq\f(1,3)，②①②两式相除可得eq\f(－25k,－kt0)＝eq\f(ln\f(2,3),ln\f(1,3))，即eq\f(25,t0)＝eq\f(ln\f(2,3),ln\f(1,3))＝eq\f(lg2－lg3,－lg3)≈eq\f(0.301－0.477,－0.477)≈0.369，所以t0≈68，即至少经过68天后，气球体积小于原来的eq\f(1,3).答案：682．某药材种植基地预备种植某种药材，从历年市场行情可知，从2月1日起的300天内，该药材的市场售价P(元/千克)与上市时间t(天)的关系可以用如图①所示的一条折线表示，该药材的种植成本Q(元/千克)与上市时间t(天)的关系可以用如图②所示的抛物线表示．(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯收益最大？解：(1)由题图①可得市场售价与上市时间的函数关系式为P＝f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300－t，0≤t≤200，,2t－300，200<t≤300.))由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系式为Q＝g(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100，0≤t≤300.(2)设从2月1日起的第t天的纯收益为h(t)(元/千克)，则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,200)t2＋\f(1,2)t＋\f(175,2)，0≤t≤200，,－\f(1,20