直线的交点坐标与距离公式14题型分类

直线的交点坐标与距离公式14题型分类一、两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行二、两点间的距离公式1．两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关．2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).三、点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在平行直线间公垂线段的长图示公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))（一）求相交直线的交点坐标1、两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解.2、求两相交直线的交点坐标．(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．题型1：求相交直线的交点11．（2023秋·全国·高二阶段练习）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交点坐标为(2)平行(3)重合【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标；（2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行；（3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断.【详解】（1）由，解得，因此直线和相交，交点坐标为．（2）因为，，由，得，矛盾，由此可知方程组无解，因此直线与平行．（3）由，得，说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解．因此直线与重合．12．【多选】（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）若三条直线，，交于一点，则a的值为（

）A． B．3 C．1 D．2【答案】CD【分析】先求出直线与的交点，然后代入直线方程即可得到.【详解】解：联立直线方程与，即，解得，故直线与的交点为，因为三条直线，，交于一点，所以将代入，解得或2.故选：CD.13．（2023秋·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考阶段练习）三角形的三个顶点是，则它的外心坐标是.【答案】【分析】求出线段的垂直平分线的方程，再求出两直线交点坐标作答.【详解】依题意，线段中点，直线的斜率，因此线段的垂直平分线的方程为，即，线段中点，直线的斜率，因此线段的垂直平分线的方程为，即，由解得，所以的外心坐标是.故答案为：14．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为.【答案】【分析】点A在直线上，求点关于直线的对称点，由角平分线的性质，点在直线AB上，可求直线AB的方程，与直线联立方程组，可求点A坐标.【详解】如图所示，可知点A在直线上，

令点为点关于直线的对称点.由于直线CD与直线垂直，且线段CD的中点在直线上，于是就有，解得，因此点D的坐标为.根据对称性可知点在直线AB上，又点B的坐标为，于是直线AB的方程为，即.由，解得，得点A的坐标为.故答案为：15．（2023·全国·高三专题练习）在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为.【答案】【分析】由边上和边上的高线所在的直线方程，可得边和边所在直线的斜率，再由点坐标，可求边和边所在直线的方程，通过联立方程组，求出两点的坐标，可求边所在的直线方程【详解】边上的高线所在的直线方程为，得，边上的高线所在的直线方程为，得已知，则AC边所在的直线方程为，即，则AB边所在的直线方程为，即.由，得．由，得．则BC边所在的直线方程为，即.故答案为：.题型2：求过两条直线的交点的直线方程21．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程．【答案】．【分析】利用两直线的交点坐标的求解方法求出交点坐标，再利用两点式方程求解.【详解】因为方程组的解为，所以两条直线和的交点坐标为，从而由题意知直线l经过点．又直线l经过原点，所以直线l的方程为，即．22．（2023秋·安徽合肥·高二校联考阶段练习）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是.【答案】【分析】联立直线方程得交点坐标，再利用垂直关系及点斜式方程求解即可.【详解】联立，解得，即交点坐标为.因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为，所以所求的直线方程是：，即.故答案为：.23．（2023秋·辽宁丹东·高二凤城市第一中学校考阶段练习）求经过直线，的交点M，且满足下列条件的直线l的方程：(1)过原点；(2)与直线平行；(3)与直线垂直.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由方程组可得M的坐标，过原点，可得方程为，可得k值，进而可得方程；（2）由平行关由方程组可得M的坐标，系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（3）由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．【详解】（1）由，解得，故点.当直线过原点，可得方程为，代入点可得，故方程为；（2）若直线平行于直线．则斜率为，故可得方程为，即；（3）若直线垂直于直线．则斜率为，故可得方程为，即.题型3：由两条直线交点的个数或位置求参数31．（2023秋·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为．【答案】【分析】根据两直线相交的条件即可求解.【详解】因为直线与直线，即相交，所以，解得.所以m的取值范围为.故答案为：32．（2023秋·高二课前预习）直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.【详解】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D33．（2023秋·高二课前预习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得到交点坐标为，从而得到，再解不等式组即可.【详解】，即交点为.因为交点在第一象限，所以.故选：A34．（2023秋·全国·高二期中）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.【详解】法一：联立两直线方程，得，解得，所以两直线的交点坐标为.因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.法二：由题意，直线l过定点，设直线与x轴、y轴的交点分别为.如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，

∴的倾斜角为，的倾斜角为.∴直线l的倾斜角的取值范围是.故选：D35．（2023秋·高二课时练习）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是.【答案】/【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件【详解】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：36．（2023·全国·高二专题练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为【答案】4【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.【详解】若方程组有无穷多组解，即两条直线重合,即,则故答案为：437．（2023·全国·高二随堂练习）已知直线与的交点在y轴上，求m的值．【答案】【分析】首先由两线平行得，联立直线方程求交点坐标，根据交点位置求参数即可.【详解】当时，，平行，无交点；所以，此时联立方程有，可得，由交点在y轴上，则，即.

题型4：三条直线能否构成三角形问题41．（2023·江苏·高二专题练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案.【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若平行，则，即；若平行，则，即无解；若平行，则，即；若三条直线交于一点，，可得或；经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.故选：B42．（2023·江苏·高二专题练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为．【答案】【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解.【详解】三条直线不能围成三角形，则有以下情况：(1)直线与直线平行，则有；(2)直线与直线平行，则有；(3)三条直线，，相交于同一点，联立解得，代入可得，综上，实数m的取值集合为，故答案为:.43．（2023秋·全国·高二期中）已知直线，，．当为何值时，它们不能围成三角形？【答案】当时，三条直线不能围成三角形.【分析】当三条直线中的任意两条平行，或三条直线交于一点时，三条直线无法围成三角形，列式求解即可.【详解】当三条直线中的任意两条平行，或三条直线交于一点时，三条直线无法围成三角形，当时，，即，经验证符合题意；当时，，，经验证符合题意；当时，，无解；当三条直线交于一点时，则由，解得：，将点代入直线，整理为，解得：或.综上可知：当时，三条直线不能围成三角形.44．（2023秋·高二课前预习）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．

【答案】且【分析】由题意可分直线、、、直线经过同一点讨论，不能构成三角形从而可求出的值再求其补集可得答案.【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若，则由，得；②若，则由，得；③若，则由，得，当时，与三线重合，当时，平行．④若三条直线交于一点，由，解得，将的交点的坐标代入的方程，解得(舍去)，或，所以要使三条直线能构成三角形，需且．45．（2023·江苏·高二专题练习）若三条直线与能围成一个直角三角形，则．【答案】或1【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可.【详解】显然，3xy+1=0，x+y+3=0有交点，若与垂直，则；若与垂直，则．所以或1．故答案为：或1（二）两点间的距离1、两点间的距离公式：(1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).2、计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．题型5：求两点间的距离51．（2023·全国·高二随堂练习）（1）已知点和，求；（2）已知的顶点为，，，求的周长．【答案】（1）5；（2）【分析】利用两点间距离公式进行求解.【详解】（1）；（2），，，故的周长为.52．（2023秋·广西南宁·高二校考阶段练习）已知点为中点，则．【答案】【分析】先求得点的坐标，然后求得，【详解】由于是中点，所以，所以.故答案为：53．（2023·全国·高二课堂例题）已知的三个顶点分别为，，．(1)求边上的中线的长；(2)证明：为等腰直角三角形．【答案】(1)(2)答案及解析【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得；（2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可.【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为，又，则．（2）因为，，，因为，且，所以为等腰直角三角形．54．（2023·全国·高二专题练习）以为顶点的的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根据平面直角坐标系下任意两点间的距离公式，分别求出即可判断.【详解】根据两点间的距离公式，得，，，所以，且|，故是等腰非等边三角形.答案：C.题型6：由两点间的距离求参数61．（2023秋·全国·高二期中）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（

）A． B． C．或 D．1或【答案】C【分析】根据平面上两点间的距离公式，列出方程，即可求解.【详解】因为点与点之间的距离为5，可得，整理得，即，解得或．故选：C.62．【多选】（2023秋·高二课时练习）（多选）已知点，且，则a的值为（

）A．1 B． C．5 D．【答案】AD【分析】由两点间的距离公式求解即可.【详解】由两点间距离公式得，所以，所以，即，或．故选：AD.63．（2023秋·高二课时练习）已知点、、，且，则.【答案】【分析】利用平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】已知点、、，且，则，解得.故答案为：.64．（2023秋·高二课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程.【答案】或，或.【分析】设，然后根据题意列方程组可求出，再求出直线的斜率，从而可求出直线PM的方程.【详解】设，由题意，解得或，所以或，当时，直线PM的斜率，因此直线PM方程为，即；当时，直线PM的斜率，因此直线PM方程为，即.题型7：运用两点间的距离公式求最值71．（2023·江苏·高二专题练习）的最小值为．【答案】【分析】根据两点之间的距离公式改写目标函数解析式，即可根据几何意义求得结果.【详解】，，如图，设点，，，要求的最小值，即求的最小值．由于，当A，B，C三点共线时，等号成立，且，故的最小值为．

故答案为：.72．（2023·全国·高二随堂练习）求函数的最大值．【答案】【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案.【详解】表示、的距离，表示、的距离，所以，因为，所以.73．（2023秋·高二课时练习）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值.【答案】【分析】根据给定的条件，利用式子的几何意义，结合两点间距离及对称问题求解作答.【详解】函数，因此表示点到点的距离与到的距离之和，而点在轴上，点关于轴的对称点，于是得，当且仅当点共线，即P与原点重合，时取等号，所以当时，取得最小值.（三）运用坐标法解决平面几何问题1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为形．2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．题型8：用坐标法解决平面几何问题81．（2023·全国·高二课堂例题）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【答案】证明见详解【分析】首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．【详解】如图，以的直角边，所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则．

设，两点的坐标分别为，，的中点为．因为是斜边的中点，故点的坐标为，即．由两点间距离公式得，，所以，因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．82．（2023·高一课时练习）在中，，D，E为斜边AB的三等分点，，求斜边AB的长．【答案】【分析】建立坐标系，设出点的坐标，列方程求解即可．【详解】如图，以边AC所在直线为x轴，边CB所在直线为y轴，建立直角坐标系．设点，，则，．由，得，即．因此，．【点睛】用解析法解决平面几何问题的关键是建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．本例设点A的横坐标为，点B的纵坐标为，使D，E两点的坐标具有更简洁的形式．我们在解题时要学会设坐标的技巧．83．（2023·高一单元测试）已知：为实数，两直线相交于一点．求证：交点不可能在第一象限及轴上．【答案】见解析．【分析】联立的方程，求得交点的坐标，再判断交点的横、纵坐标的取值范围即可.【详解】两直线相交于一点，.由方程组解得，即交点为：①若交点在第一象限，则，解得，，故交点不可能在第一象限内．②若交点在轴上，则，方程依然无解，故交点也不可能在轴上.综上①②可知，直线的交点不可能在第一象限及轴上．（四）点到直线的距离点到直线的距离的求解方法：(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．题型9：求点到直线的距离91．（2023秋·北京昌平·高二校考期中）点到直线：的距离是【答案】【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线：的距离是.故答案为：.92．（2023·全国·高二课堂例题）分别求点到下列直线的距离：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用点到直线距离公式分别计算.【详解】（1）根据点到直线的距离公式，得（2）因为直线即平行于y轴，所以.93．（2023秋·全国·高二专题练习）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值．【答案】3【分析】依题意可知，当与直线垂直时点与点之间距离的最小，求出点到直线的距离即可.【详解】根据题意画出图象如下图所示：

易知当与直线垂直时，点与点之间距离的最小；其余位置如，则；所以最小值即为点到直线的距离，所以，点与点之间距离的最小值为3.94．【多选】（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知点P在直线上，且点P到直线的距离为，则m的值可能是（

）A． B．10 C．5 D．0【答案】BD【分析】根据点到直线距离公式直接求解即可.【详解】依题意可设，则点P到直线的距离为，解得或0，故选：BD.95．（2023秋·全国·高二期中）已知点在直线上，求的最小值．【答案】3【分析】的最小值是原点到直线的距离，利用公式计算即可.【详解】算式的几何意义是点到原点的距离，点在直线上，的最小值是原点到直线的距离，即的最小值为.96．（2023秋·重庆涪陵·高二校联考阶段练习）已知点在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离.【详解】由的图象如下，

又是上图线段上的一点，且为原点到该线段上点距离的平方，上述线段端点分别为，到原点距离的平方分别为，由图知：原点到线段的距离，则，综上，，故.故选：B题型10：直线围成的图形面积问题101．（2023·全国·高二随堂练习）求以，，三点为顶点的三角形的面积．【答案】【分析】求得和到直线的距离，从而求得正确答案.【详解】，由于直线与轴平行，所以到直线的距离为，所以三角形的面积为.

102．（2023·全国·高二随堂练习）已知平行四边形中三个顶点的坐标为，，，求这个平行四边形的面积．【答案】【分析】不妨设，，，求出直线的方程，从而求出点到的距离，再由两点间的距离公式求出，即可求出，而平行四边形的面积为面积的两倍，即可得解.【详解】不妨设三点，，分别为、、，即，，，则，所以直线的方程为，即，所以点到的距离，又，所以，所以平行四边形的面积.103．（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)求的面积．【答案】(1)的坐标为，的坐标为(2)【分析】（1）设，，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出和直线所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，即可求出的面积．【详解】（1）设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以，解得，即的坐标为．设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以，解得，即的坐标为．（2）因为，所以．因为边所在直线的方程为，即，所以点到边的距离为，即边上的高为，故的面积为．104．（2023秋·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求：(1)求点坐标；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用中点坐标公式及点在直线上即可求解；（2）根据（1）的结论及直线的斜率公式，利用直线的点斜式方程和两点间的距离公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）设，根据中点公式结合点在直线上，点在直线上，则有，解得，所以点坐标为.（2）由（1）知，，所以,所以直线方程为，即.所以.由，解得，所以.点到直线的距离为，所以的面积为105．【多选】（2023秋·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知三边所在直线分别为，则（

）A．AB边上的高所在直线方程为 B．AB边上的高为C．的面积为 D．是直角三角形【答案】ABC【分析】先联立方程求出顶点坐标，求出AB边上的高所在直线斜率即可得出方程，利用点到直线距离公式可求出高，利用两点间距离公式求出，即可求出三角形面积，根据斜率关系可判断D.【详解】由得；由得；由得；因为，所以AB边上的高所在直线斜率为，则方程为，即，故A正确；AB边上的高为点到直线的距离，故B正确；因为，所以的面积为，故C正确：由斜率关系可知，是的任意两边均不垂直，D错误.故选：ABC.题型11：点到直线距离公式的应用111．（2023秋·高二课时练习）已知点、，若点与点到直线的距离都为2，求直线的方程．【答案】或或或.【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线l与点和点两点的连线平行，一类是线l过两点和点中点，分类解出直线的方程即可.【详解】∵，，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段中点，①当直线l平行直线时：，可设直线l的方程为，即依题意得：，解得：或，故直线l的方程为：或②当直线l过线段中点时：的中点为，当直线斜率不存在时：直线l：，不符合题意，舍去；当直线斜率存在时，可设直线l的方程为，即依题意得：，解得：或，故直线l的方程为：或，化简为，综上所述：直线方程为：或或或.112．【多选】（2023秋·全国·高二期中）若点在直线上，且点到直线的距离是，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】设出点的坐标为，利用点到直线的距离公式表示出到已知直线的距离，让等于列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，再写出点的坐标即可.【详解】解：设点坐标为，点到直线的距离为：，解得或，∴点坐标为或.故选：AC.113．【多选】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知，两点到直线：的距离相等，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可.【详解】由题意可得：，整理得，则，解得或.故选：AB.（五）两平行线间的距离求两条平行直线间距离的两种方法：(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).题型12：求两平行线间的距离121．（2023秋·全国·高二阶段练习）求下列两条平行线之间的距离：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】根据给定条件利用平行线间距离公式直接计算即可得解.【详解】（1）因为直线可化为，又直线，所以直线与的距离为.（2）因为直线可化为：，又直线，所以直线与的距离：.122．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）两条直线：；：．则与之间的距离为．【答案】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线：；：，所以两平行线间的距离.故答案为：123．（2023秋·江苏连云港·高二东海县石榴高级中学校考阶段练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】B【分析】根据两条平行线间的距离公式求解.【详解】将直线化为，因为直线与直线平行，设两条平行线间的距离为，所以根据两平行线之间的距离公式.故选：B124．（2023秋·全国·高二阶段练习）两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算.【详解】由题意可得，再由平行线的距离公式得.故选：B125．（2023秋·重庆綦江·高三统考阶段练习）已知两条平行直线：，：间的距离为，则．【答案】【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得的值，由两平行线间距离公式可得的值，由此计算可得答案．【详解】根据题意，两条平行直线，，必有，解可得，则即，变形可得，又由两条平行直线间的距离为，则有，解可得或，故.故答案为：．126．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．－1【答案】AC【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案.【详解】直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求.故选:AC．题型13：距离公式的综合应用131．【多选】（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角是B．若直线：，则C．点到直线的距离是1D．过点与直线平行的直线方程是【答案】ACD【分析】由斜率与倾斜角的关系判断A，由直线的位置关系判断B，D，由点到直线的距离公式判断C，【详解】对于A，直线的斜率为，故倾斜角是，故A正确，对于B，直线的斜率为，两直线斜率乘积为1，不垂直，故B错误，对于C，由点到直线的距离公式得，故C正确，对于D，过点与直线平行的直线方程为，得，故D正确，故选：ACD132．【多选】（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，，，，P，Q分别是线段，上的动点，则下列说法正确的是（

）A．点M到直线的距离为 B．若，则点Q的坐标为C．点M关于直线对称的点的坐标为 D．周长的最小值为【答案】BCD【分析】求出直线AB的方程利用点到直线的距离公式计算可判断A；求出过M且与AB平行的直线方程，可得点坐标可判断B；设点M关于AB对称的点为，根据点关于直线对称求出坐标可判断C；求出点M关于y轴对称的点的坐标，利用的周长为可判断D．【详解】对于A，由题意可得直线AB的方程为，故M到AB的距离为，故A错误；对于B，过M且与AB平行的直线方程为，当时，即得，故B正确；对于C，如图，设点M关于AB对称的点为，则解得，故，故C正确；对于D，点M关于y轴对称的点的坐标为，则的周长为．故D正确．故选：BCD．133．【多选】（2023·江苏·高二专题练习）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（

）A．周长的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为4【答案】BCD【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断.【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，可知，对于选项A：可得周长，当且仅当四点共线时，等号成立，所以周长的最小值为，故A错误；对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为，则，可得，所以的最小值为，故B正确；对于选项C：因为，设到直线：的距离为，可得，所以的最小值为，故C正确；对于选项D：作，垂足为，因为直线的斜率，则，可得，则，可得，所以的最小值为4，故D正确；故选：BCD.134．【多选】（2023秋·江苏·高二阶段练习）已知直线，，，则下列结论正确的是（

）A．当，到直线距离相等时， B．当时，直线的斜率不存在C．当时，直线在轴上的截距为2 D．当时，直线与直线平行【答案】CD【分析】当，到直线距离相等时，或，A错误，直线斜率为，B错误，取，则，C正确，计算，D正确，得到答案.【详解】对选项A：，解得或，错误；对选项B：时，，直线斜率为，错误；对选项C：时，，取，则，正确；对选项D：时，，，不过A点，，，正确；故选：CD（六）直线的对称问题有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称：①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．题型14：直线的对称问题141．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知直线，则点关于l的对称点的坐标为.【答案】【分析】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解.【详解】设对称点，线段中点为，则，解得，点关于直线的对称点坐标为.故答案为：.142．（2023秋·江苏·高二专题练习）点关于直线的对称点的坐标为．【答案】【分析】设对称点坐标为，然后由斜率乘积等于，和的中点在直线上，列方程组可求得结果.【详解】设的对称点坐标为，则，解得，即所求对称点的坐标是．故答案为：143．（2023秋·高二单元测试）已知点与点关于直线对称，则的值为．【答案】【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案.【详解】因为、，所以的中点为，因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上，所以，即，故答案为：144．（2023秋·高二课时练习）直线关于直线对称的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，因为点在直线上，所以，即，所以所求直线方程为，故选：A.145．（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线的方程为．【答案】【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程.【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线l上，所以，即直线的方程为．故答案为：146．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为.【答案】或【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果.【详解】

直线交轴于点，交轴于点，设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上，所以，则的中点在直线上，所以①，又②，联立①②可得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.147．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】点关于直线的对称点为可得的方程，再根据相互平行可得答案.【详解】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得，即，相互平行，的斜率为，故.故选：C.148．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【答案】.【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：149．（2023·全国·高二课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程．【答案】【分析】联立方程组求得两直线的交点，再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，得出方程组，求得点点的坐标为，进而求得直线的方程.【详解】联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为，可得点也在直线上．再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，可得，解得，即点的坐标为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故直线的方程为.1410．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解；（2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解【详解】（1）因为，所以．设直线的方程为（，且）．在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点的坐标为．把点的坐标代入直线的方程，得，解得，所以直线的方程为．（2）由，得，所以与的交点坐标为．另取上不同于A的一点，设关于的对称点为，则，得，即点的坐标为．所以过与的直线的方程为，即．1411．（2023秋·广西南宁·高二校考阶段练习）已知直线和点(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求直线关于点对称的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；（2）根据相关点法分析运算即可.【详解】（1）设，由题意可得，解得，所以点的坐标为.（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，则，解得，由于在直线上，则，即，故直线关于点的对称直线的方程为.1412．（2023秋·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出点关于轴对称点坐标，直线即为反射光线所在直线，由直线方程中令得纵截距．【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为.因为，所以反射光线所在直线的方程为.令，得反射光线所在直线在轴上的截距为.故选：C．1413．（2023·全国·高二专题练习）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．【答案】【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程.【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为，则，解得：，即,由对称性可知，点在直线上，所以，直线的方程为，即.

故答案为：1414．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为.【答案】7【分析】结合图象，求出点关于直线的对称点为，的最小值即为，解出即可.【详解】如图：

设点，关于直线的对称点为，则，解得则，则,故答案为：1415．（2023秋·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点、，在直线上，则的最小值等于.【答案】12【分析】求出关于的对称点的坐标，则即为的最小值.【详解】设关于的对称点为则，解得，，，则，所以的最小值是12.故答案为：.1416．（2023·全国·高二专题练习）在直线上求两点P，Q，使得：(1)P到与的距离之差最大；(2)Q到与的距离之和最小．【答案】(1)(2)【分析】(1)设点B关于l的对称点的坐标为，连接，可得的坐标为，结合图象可知当且仅当三点共线时，最大，联立直线l与的方程，求解即可；(2)点C关于l的对称点为，可求得的坐标为，结合图象可得当且仅当Q，A，三点共线时，最小，联立直线与l的方程求解即可.【详解】（1）解：如图，设点B关于l的对称点的坐标为，连接，则，即，

所以①．因为的中点在直线l上，所以，即②．由①②得，所以点的坐标为．于是所在直线的方程为，即．易知||，当且仅当三点共线时，最大．所以联立直线l与的方程，解得，即l与的交点坐标为，故点P的坐标为．（2）解：如图，设点C关于l的对称点为，可求得的坐标为，

所以所在直线的方程为．易知，当且仅当Q，A，三点共线时，最小，所以联立直线与l的方程，解得，即与l的交点坐标为，故点Q的坐标为．一、单选题1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案.【详解】由可得：，令，解得：，所以，设直线关于点的对称直线方程为：，则到直线与的距离相等，所以，解得：，即（舍去）或.故直线关于点的对称直线方程为：.故选：D.2．（2023秋·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.【详解】点到直线的距离为.故选：A.3．（2023秋·四川成都·高二校联考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对所求式子配方整理，把问题转化为，求直线上一点，到直线同侧的两点间的距离之和的最小值，就是将军饮马求最值问题，先对其中一点作关于直线的对称点，进一步把问题转化为，求两点间的距离，求解即可.【详解】该式子是表示点到点、点的距离之和，又，上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值（如图）.设点关于直线的对称点为，则有，解得，即，所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.故选：D.4．（2023·全国·高二专题练习）点(1,1)到直线的距离是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(1,1)到直线的距离.故选：A.5．（2023秋·全国·高二期中）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】联立两直线方程，即，由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.故选：D6．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】先求直线和的交点，设所求直线方程为，可得在x，y轴上的截距，结合题意列式求解即可.【详解】联立方程，解得，所以直线和的交点为，由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为，可知所求直线方程为，令，可得；令，可得；可知直线在x，y轴上的截距分别为，，由题意可得，整理得，解得或，所以所求直线方程为或.故选：C.7．（2023秋·高二课时练习）两平行直线和间的距离是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线间距离公式计算.【详解】直线化为，因此所求距离为，故选：A．8．（2023秋·高二课时练习）点，P在直线上，，则P点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由点到直线的距离，可判断满足条件的点的个数.【详解】因为点到直线的距离为，所以P点的个数是1个.故选：B.二、多选题9．（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）已知直线过直线和的交点，且原点到直线的距离为3，则的方程可以为（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求得和的交点坐标，然后根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合原点到直线的距离确定正确答案.【详解】由解得，即交点为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，符合题意，A选项正确.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由解得，直线的方程为，C选项正确.故选：AC10．（2023·江苏·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（

）A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是【答案】AC【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D；【详解】由关于，的对称点分别为，而，从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；由关于，的对称点分别为，从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错.故选：AC11．（2023秋·云南昆明·高二校考阶段练习）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为3【答案】BCD【分析】设，利用斜率公式判断A，利用距离公式判断B，化折线为直线，利用两点之间线段最短判断C，根据几何意义判断D.【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.故选：BCD12．（2023秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知点，点在直线上，且直线与直线垂直，则（

）A．直线的斜率是2B．直线的方程是C．点的坐标是D．【答案】ABC【分析】根据直线垂直求得直线斜率判断A，根据点斜式方程求解直线方程判断B，联立直线方程得点坐标判断C，根据两点距离公式计算判断D.【详解】与直线垂直的直线的斜率，故选项A正确；又直线过点，所以直线方程为，即，故选项B正确；联立，解得，所以点的坐标是，故选项C正确；根据两点距离公式得，故选项D错误.故选：ABC.三、填空题13．（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）已知点为直线与直线的交点，则点到直线的最大距离为．【答案】【分析】先求得直线与直线的交点，然后根据直线所过定点求得正确答案.【详解】由解得，所以，直线即，由解得，所以直线过定点，所以点到直线的最大距离为.故答案为：14．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为.【