专题13难点探究专题整式中的规律探究问题压轴题八种模型全

专题13难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【类型一数字类规律探索之单项式问题】 1【类型二数字类规律探索之排列问题】 3【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】 6【类型四数字类规律探索之算术平方根问题】 8【类型五数字类规律探索之新运算问题】 11【类型六数字类规律探索之等式问题】 15【类型七图形类规律探索之数字问题】 19【类型八图形类规律探索之数量问题】 22【典型例题】【类型一数字类规律探索之单项式问题】例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）观察这一系列单项式的特点：，，，，…那么第8个单项式为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，，，…可推导一般性规律为：第个单项式为：，进而可得答案．【详解】解：由，，，，…可推导一般性规律为：第个单项式为，∴第8个单项式为．故选：A．【点睛】本题考查了单项式的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据所给的式子，分别找出分式的分母和分子的规律，从而求出第n个单项式.【详解】解：，，，，第n个单项式是.故选：C.【点睛】本题考查的是探索数字规律，解题的关键要利用已知式子找出所存在的规律.2.（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）一组数据，，，，…请按这种规律写出第十个数是．【答案】【分析】由所给的单项式可得第个单项式为，当时即可求解．【详解】∵，，，，…，∴第个式子的指数是，系数是，则第个单项式为，当时，，故答案为：．【点睛】此题考查了数字的变化规律，通过所给的单项式，探索出系数与次数的关系是解题的关键．3．（2023秋·七年级课时练习）观察下列单项式：．解决下列问题：(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【答案】(1)，系数的绝对值的规律是(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)(4)第2022个单项式是，第2023个单项式是【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；（2）观察次的变化，从而可求解；（3）结合（1）（2）进行分析即可；（4）根据（3）进行求解即可．【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是，系数的绝对值为，是从1开始的奇数，∴系数的绝对值的规律是．（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）解：由（1）问得：符合规律是，∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，∴第个单项式是．（4）解：第2022个单项式是，第2023个单项式是．【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．【类型二数字类规律探索之排列问题】例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为．（1）第行第列的数字是．（2）数字在图中的第行，第列．【答案】【分析】（1）根据第行的第1至第列是非零数字，可得第行第列的数字是；（2）观察数据发现第行第1个数字为，进而根据，即可求解．【详解】解：（1）观察数据发现根据第（为奇数）行第1至第列有非零数字，可得第行第列的数字是；故答案为：0．（2）第1行第1个数字为第3行第1个数字为第5行第1个数字为……∴第行的第1个数字为∵∴第行第1个数字为，∴数字在图中的第行，第列故答案为：，．【点睛】本题考查了数字类规律，有理数的乘方运算，找到规律是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东韶关·七年级校考期中）观察下列一组数：、、、、……，它们是按一定规律排列的，那么第11个数是，第n个数是．【答案】【分析】观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是代入数值即可的答案．【详解】观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是，第11个数是．故答案为：；．【点睛】解题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题．2．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；第二行数的规律为，∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，∴，故答案为：1024；．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列三行数：，4，，16，，64，……0，6，，18，，66，……，1，，4，，16……(1)第①行数第七个数是，那么第二行数第七个数是_____，第三行第七个数是_____．(2)列式计算：取每行的第9个数，求这三个数的和．【答案】(1)，(2)这三个数的和是【分析】（1）根据各行数的特点，可以发现第二行和第一行对应数字的关系，第三行和第一行对应数字的关系，即可得到第二行第七个数和第三行第七个数；（2）根据（1）发现的关系，可以写出每行的第九个数，然后相加即可解答本题．【详解】（1）解：由题目中的数据可知，第二行中的每个数是第一行对应数字加2，第三行中的每个数是第一行对应数字的，∵第①行第七个数是，∴第二行第七个数是，第三行第七个数是，故答案为：，；（2）∵第①行第一个数是，第一个数是，第一个数是，…，∴第一行第9个数是第二行第9个数是第一行第9个数是这三个数的和是：答：这三个数的和是．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出规律解答．【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（

）A．1 B．3 C．9 D．7【答案】D【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．【详解】解：，，，，，，，…，归纳可得：个位数每四次循环，∵，∴与的个位数相同，是7；故选D【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．【变式训练】1．（2023·全国·七年级专题练习）计算：，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（

）A．1 B．3 C．7 D．5【答案】C【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到的个位数字．【详解】解：由，，，，，……可知计算结果中的个位数字以循环出现的，∵，∴的个位数字是7，故选：C．【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．2.（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律，丙求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案．【详解】解：∵，，，，，……，∴尾数每4个一循环，∵，又∵，∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，∴505组相加后个位数字为0，∵，∴的个位数字为4，故C正确．故选：C．【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式：，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是．【答案】7【分析】根据，，，，，，得出末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，由得出的末尾数字与的末位数字相同是7，从而得到答案．【详解】解：，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，，末位数字为3，，3的1，2，3，4，5，6，7，，次幂的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，，的末尾数字与的末位数字相同是7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了尾数特征及数字规律类探索，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，是解题的关键．【类型四数字类规律探索之算术平方根问题】例题：（2023春·广西梧州·七年级统考期末）有一列数按如下顺序排列：，，，，，，…，则第2015个数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知数据可知，第个数为，据此可求得答案．【详解】根据已知数据可知，第个数为，所以，第个数是．故选：D．【点睛】本题主要考查找一组数的规律，解题的关键是根据已知数据归纳总结出规律，并牢记乘方的运算法则（负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数）．【变式训练】1．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是．【答案】【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，…这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，这一列数中的第个数应是，故答案为：．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．2．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）将、、、按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是．1

第1排

第2排

1

第3排

1

第4排

1

第5排……

……【答案】【分析】题中数据以、、、为一个循环组，据此即可求解．【详解】解：观察可知，题中数据以、、、为一个循环组且每排中的数据个数与排数相同∵∴表示第个数∵∴表示的数为故答案为：【点睛】本题考查规律问题．根据图形找到一般规律是解题关键．3．（2023春·江西新余·七年级新余四中校考期中）按要求计算下列各题(1)计算：__________，__________，__________，__________；(2)求的值．【答案】(1)，，，；(2)【分析】（1）直接根据算术平方根计算格式即可；（2）根据（1）各式对代数式变形成，然后计算即可解答．【详解】（1）解：，，，．故答案为，，，．（2）解：．【点睛】本题主要考查了数字的变化类规律、有理数加减混合运算等知识点，根据题意、归纳出规律、并应用规律是解答本题的关键．4．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校联考期中）先观察下列各式：；；；；(1)计算：_________；(2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________；(3)应用上述结论，计算的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案；（2）利用以上所得规律可得；（3）利用所得规律求解可得．【详解】（1）解：，故答案为：；（2），故答案为：；（3）．【点睛】本题考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于．【类型五数字类规律探索之新运算问题】例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1，，由此规律可进行求解．【详解】解：由题意时，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，；从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，∴第2020次运算结果1，故选：A．【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解．【变式训练】1.（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．．．，依此类推，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求．【详解】解：∵，∴，，，，，∴每四次运算结果循环出现，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）定义：若是不为1的有理数，则称为的差倒数．如2的差倒数为．现有若干个数，第一个数记为，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，若，则．【答案】【分析】根据规定进行计算，得出：，，，发现3个一循环，按照这个规律计算即可．【详解】∵，∴，，由此可以看出，，，三个数不断循环出现．因为，，所以．故答案为：．【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，关键是发现循环的规律，然后利用规律进行计算分析判断．3．（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则，例如，，若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数（n为正整数），则．【答案】4750【分析】由所给的规定，分别求出，，，，再分析其中的规律，从而可求解．【详解】解：，，，，，，，，，从第5个数开始，以4，2，1，这三个数循环出现，，．故答案为：4750．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的条件总结出存在的规律．4．（2023·江苏·七年级假期作业）有一列数，，，，，，，第1个数，第2个数，且从第2个数起，每一个数都等于它的前后两个数之和，即，，，，…．据此可得，…请根据该列数的构成规律计算：(1)，；(2)，；(3)计算这列数的前2022个数的和．【答案】(1)0，1(2)，1(3)0【分析】（1）根据，，再根据，，，，，即可求出、的值．（2）从（1）中找出规律，6个数一个循环，根据这规律再把所要求的数代入即可求出答案；（3）根据（1）得出的规律，6个数相加得0，即可求出答案．【详解】（1）解：，；（2）解：，，，；（3）解：根据（1）中6个数一个循环，6个数相加，∵．【点睛】此题考查了数字的变化类；解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．【类型六数字类规律探索之等式问题】例题：（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第4个等式：．(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由．【答案】(1)(2)第n个等式为，理由见解析【分析】（1）观察等式，即可求解；（2）由各个等式结构即可得出规律．【详解】（1）解：∵第1个等式为，第2个等式为，第3个等式为，∴第4个等式为，故答案为：；（2）解：第n个等式为，∵第1个等式为，第2个等式为，第3个等式为，第4个等式为，……，∴第n个等式为．【点睛】本题是与分式有关的规律问题．确定各分式分子、分母的规律即可．【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期中）已知，观察下列等式；；；；…(1)猜想：________；(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①________；②________．(3)求的值是多少？【答案】(1)(2)①；②(3)【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案；（2）①利用（1）中得到的结论得出结果为即可；②将原式变为，再利用（1）中的结论即可得出结果；（3）将原式化为，再利用（1）中得到的结论得出结果即可．【详解】（1）解：由已知条件可得：；故答案为：；（2）①，②，，，，故答案为：；（3），，，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式运算的应用和规律，做题的关键是读懂题意，能够利用规律解决问题，能够在一系列运算中发现规律．2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）找规律，完成下列各题：(1)如图①，把正方形看作，．(2)如图②，把正方形看作，．(3)如图③，把正方形看作，．(4)计算：．(5)计算：．【答案】(1)(2)(3)，(4)(5)【分析】（1）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；（2）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；（3）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；（4）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；（5）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；【详解】（1）解：如图①，把正方形看作把正方形看作，，故答案为：．（2）解：如图②，把正方形看作把正方形看作，，故答案为：．（3）解：如图③，把正方形看把正方形看作，，故答案为：，．（4）解：，故答案为：．（5）解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算的综合，理解图示规律，掌握有理数的混合方法是解题的关键．【类型七图形类规律探索之数字问题】例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（

）A．128 B．216 C．226 D．240【答案】C【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．【详解】解：由图可得：，，，，即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，所以，故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．【变式训练】1．（2023春·山东济南·六年级统考开学考试）填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律．根据图中数字的规律，（

）2468512177237228A．450 B．463 C．465 D．526【答案】B【分析】结合表格找出其中的规律，求出，，再计算即可．【详解】解：由表可得：，；，；，；∴，；∴．故选：B．【点睛】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：，．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值是（）A．86 B．52 C．38 D．74【答案】A【分析】先看每个图形中的左上的数字：0，2，4，6，依次增加2；同理得出每个图形右上角和左下角的数字也是依次增加2；有以上规律可以求出第四个图形的右上角和左下角的数；再看右下角的数与其它三个数的关系：；，；右下角的数=右上角的数×左下角的数+左上角的数；由此求解即可．【详解】解：第四图右上角的数是：；左下角的数是：；那么右下角的数就是：；即

故选：A．【点睛】本题稍复杂，不但要考虑相邻两个图形中数字的变化规律，还要找出每个图形中四个数之间的规律．3.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的值为196，则（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，所以，带入数值求出即可．【详解】解：通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，所以，当时，，是正整数，．故选：C．【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．4.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第（为正整数）个三角形中，用表示的式子为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，，，第二个数的数字规律为：2，，，，，由此即可得到答案．【详解】解：由题意可得：三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，，，三角形上边第二个数的数字规律为：2，，，，，三角形下边的数的数字规律为：，，，，第个三角形中的数的规律为：，故选：B．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第个三角形中的数的规律为：，是解题的关键．【类型八图形类规律探索之数量问题】例题：（2023·全国·七年级假期作业）用火柴棒按如图的方式搭图形．(1)按图示规律完成下表：图形标号①②③④⑤……火柴棒根数59__________________……(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)(3)61【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；（2）由（1）进行总结即可；（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，第2个图形的火柴棒根数为：，第3个图形的火柴棒根数为：，第4个图形的火柴棒根数为：，第5个图形的火柴棒根数为：，故答案为：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第个图形需要火柴棒根数为：．答：第个图形需要火柴棒根数为：；（3）解：当时，，所以搭第15个图形需要61根火柴棒．【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．【变式训练】1．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（

）A．6074 B．6072 C．6070 D．6068【答案】C【分析】根据题意可得第n个图案中的“”的个数为个，即可求解．【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数（个），第2个图案中的“”的个数（个），第3个图案中的“”的个数（个），…，第2023个图案中的“”的个数（个），故选：C．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，……，以此类推．那么摆第八个图形需要（

）根火柴．A．24 B．27 C．25 D．28【答案】C【分析】根据给出的图形，得到第个图形需要根火柴，进而求出第八个图形所需要的火柴数．【详解】解：由图可知，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要根火柴，摆第三个图形需要根火柴，∴第个图形需要根火柴，∴摆第八个图形需要根火柴；故选C．【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到第个图形需要根火柴．3．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：(1)有4张桌子，用第一种摆设方式，可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？(2)用含有n的代数式表示：有n张桌子，用第一种摆设方式可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？(3)一天中午，餐厅要接待80位顾客共同就餐，但餐厅只有20张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大桌子．若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，并说明理由．【答案】(1)人；人(2)人；人(3)第一种方式来摆餐桌，理由见解析【分析】（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；（2）旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题；（3）结合（2）中的结论，进行分析即可．【详解】（1）有4张桌子，用第一种摆设方式，可以坐的人数为：；用第二种摆设方式，可以坐的人数为：；答：用第一种摆设方式，可坐18人；用第二种摆设方式，可坐12人；（2）第一种：1张桌子可坐的人数为：；2张桌子可坐人数为：；3张桌子可坐人数为：；故当有张桌子时，能坐的人数为：人；第二种：1张桌子能坐的人数为：；2张桌子能坐的人数为：；3张桌子能坐的人数为：；故当有张桌子时，能坐的人数为：人；（3）选择第一种方式来摆餐桌．理由如下：第一种方