平均數的變異數分析 ANOVA

平均數的變異數分析

ANOVA

Cheng-FongWong2024/8/81大綱變異數分析介紹變異數分析

檢定k個母體平均數是否相等事後比較2024/8/82變異數分析介紹變異數分析(ANOVA)可用來檢定三個或三個以上得自觀察型或實驗型研究的資料母體平均數是否相等。我們可以使用這些樣本資料的結果進行以下假設檢定。2024/8/83H0：

1

=

2

=

3

=

...=

k

Ha：所有母體平均數不全相等變異數分析介紹如果拒絕H0

，我們不能下結論說所有的母體平均數都不相等。拒絕H0

意指至少有兩個母體平均數不相等2024/8/84變異數分析介紹變異數分析的假設每個母體之反應變數均呈常態分配。所有反應變數的變異數，記為

2，均相等由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。2024/8/85變異數分析

檢定k個母體平均數是否相等母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理內估計值比較變異數之估計值：F檢定ANOVA表2024/8/86母體變異數之處理間估計值

2之處理間估計值的概念，稱之為處理間均方(MSTR)。

MSTR的分子稱為處理間平方和(SSTR)。

MSTR的分母為SSTR的自由度。組間平方和SSTR母體變異數之處理內估計值共同變異數

2之處理內估計值的概念，稱之為誤差均方(MSE)。MSE的分子稱為誤差平方和(SSE)。MSE的分母為SSE的自由度。2024/8/88誤差平方和SSE比較變異數之估計值：F檢定假设虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從MSTR自由度為k-1，MSE自由度為nT–k的F分配。如果k個母體平均數不全相等，則因MSTR高估2，MSTR/MSE值將提高。因此，當MSTR/MSE之值太大，使其不似來自F分配時，我們將拒絕H0。假設

檢定統計量

拒絕法則

其中F

值係由分子自由度k-1，分母自由度nT-k

之F分配查表而得。H0：

1

=

2

=

3

=

...=

k

Ha：所有母體平均數不全相等F=MSTR/MSE假设F>F，拒絕H0MSTR/MSE之抽樣分配此圖顯示顯著水準為

時的拒絕域，其中F

為臨界值。不拒絕H0拒絕H0F

臨界值MSTR/MSEANOVA表

SST除以它的自由度nT-1，即為總樣本異變數，其為將nT個觀察值視為同一組樣本計算而得。變異來源平方和自由度均方F處裡SSTRk-1MSTRMSTR/MSE誤差SSEnT-kMSE

總和SSTnT-k

例題變異數分析 國家電腦產品公司(NCP)係生產印表機與傳真機的公司，它在亞特蘭大、達拉斯、西雅圖三地均設有工廠。為瞭解到底有多少員工知道全面品管的概念，我們從每間工廠各隨機選取6名員工參加品質認知測驗。18名員工的測驗成績及各個工廠的樣本平均數、樣本變異數及樣本標準差均列於下表。變異數分析

廠1 廠2 廠3

觀察值 亞特蘭大達拉斯 西雅圖

1 85 71 59 2 75 75 64 3 82 73 62 4 76 74 69 5 71 69 75 6 858267

樣本平均數 79 74 66

樣本變異數 34 20 32

樣本標準差5.834.475.66範例變異數分析處理間均方 因為樣本數均相同

x=(79+74+66)/3=73

SSTR=6(79-73)2+6(74-73)2+6(66-73)2=516

MSTR=516/(3-1)=258誤差均方

SSE=(6–1)34+(6–1)20+(6–1)32=430

MSW=430/(18-3)=28.67=範例變異數分析虛無與對立假設

H0:

1

=

2

=

3

Ha:所有母體平均測驗成績不全相等 其中：

1=母體1平均測驗成績

2=母體2平均測驗成績

3=母體3平均測驗成績變異數分析F檢定 假設虛無假設為真，此時MSTR與MSE為兩個相互獨立的2之不偏估計值。對一個常態分配母體而言，兩個相互獨立的母體變異數2之估計值的比，所形成的抽樣分配必服從F分配。因此，假设虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從分子自由度為

k–1，分母自由度為n–k的F分配。拒絕法則 假设F=MSTR/MSE>3.68，則拒絕H0變異數分析檢定統計量

F=MSB/MSW=258/28.67=9.00結論

由於F=MSTR/MSE=258/28.67＝9.00大於臨界值F=3.68。因此，我們有充分的證據拒絕三個母體平均數相等的虛無假設。換言之，變異數分析支持NCP公司中，三家工廠平均測驗成績不全相等之結論。變異數分析ANOVA表

變異來源平方和自由度均方F

處理

516 2258.009.00

誤差 430 15 28.67

總和 946 17多重比較

〔MultipleComparisons〕在ANOVA分析裡，有三組〔含〕以上之組別接受不同的自變項〔IV〕的處理，但是ANOVA的結果只能解釋這三組〔以上〕之間『有無差異』，而無法解釋『兩組間的差異』。多重考驗次數越多，越容易犯錯〔a，當H0為真時，拒絕H0之機率〕，因此衍生出一些校正a值的考驗方法。2024/8/820事前比較

〔apriori,plannedcomparison〕因為有理論基礎或假設作引導，所以在實驗前就已經決定要做的組間比較

2024/8/821事後比較

〔aposteriori,post-hoc,unplannedcomparison〕實驗發現有顯著的F值時，才會做的組間比較杜凱氏考驗〔Tukey’sHSD〕組間樣本數相等雪費法〔Scheffe’s〕每一組有不相等的樣本數2024/8/822雪費LSD程序假設變異數分析已提供拒絕母體平均數相等之虛無假設的統計證據。此時，費雪最低顯著差異(LSD)程序可用以決定哪些母體平均數間存在差異。2024/8/823雪費LSD程序假設

檢定統計量拒絕法則

其中ta/2值係查自由度為nT

–

k之t分配表而得。2024/8/824H0:

i

=

jHa:

i

j假设t<-ta/2或t>ta/2，拒絕H0以檢定統計量為基礎之雪費LSD程序假設

檢定統計量

拒絕法則

其中2024/8/825H0:

i=

jHa:

i

j若|xi-xj|>LSD，則拒絕H0__雪費LSD

假設

=0.05,虛無與對立假設(1)H0:

1=

2

Ha:

1

2統計檢定量

|x1-x2|=|79-74|=5結論 我們無法下「亞特蘭大之平均測驗成績與達拉斯之平均測驗成績不相等」之結論。2024/8/826雪費LSD虛無與對立假設(2)

H0:

1=

3

Ha:

1

3統計檢定量

|x1-x3|=|79-66|=13結論 由於此值大於6.59，我們可以拒絕亞特蘭大廠與西雅圖廠之平均測驗成績相等之假設。2024/8/8