2024-2025学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.2 用二分法求方程的近似解教案 新人教A版必修第一册

2024-2025学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一册教材分析本节课选自《2024-2025学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一册》，在学生学习了指数函数、对数函数的基础上，进一步探讨方程的近似解法。本节内容通过二分法这一算法，将数学问题转化为实际操作，既巩固了学生对函数性质的理解，又培养了学生的动手能力和解决问题的能力。二分法的教学与实践相结合，让学生体会数学在生活中的应用，加深对数学学科的认识，符合高中生的认知发展需求，体现了数学学科的实用性和工具性。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过用二分法求解方程近似解的过程，学生将掌握从具体问题中抽象出数学模型的能力，培养逻辑思维和推理能力，进而提高解决问题的效率。学生能够理解算法思想，运用数学语言和符号进行准确表达，加强数学运算的熟练度和准确性，体会数学在解决实际问题中的广泛应用，从而提升数学学科的综合素养。重点难点及解决办法重点：理解二分法的基本原理，掌握运用二分法求解方程近似解的方法。

难点：如何正确确定初始区间，以及如何精确判断区间端点的取舍。

解决办法：通过具体案例和图示，引导学生直观感受二分法的原理，明确其步骤和条件。针对难点，采用以下策略：

1.通过分析函数性质，教授学生如何选择合适的初始区间，确保包含方程的根。

2.利用数轴和具体示例，讲解区间端点的取舍规则，强调精确度与效率的平衡。

3.设计互动环节，让学生动手实践，互相讨论，教师巡回指导，及时解答学生疑惑，帮助学生突破难点。教学方法与手段1.教学方法：

(1)讲授法：通过生动的语言和直观的图示，向学生讲解二分法的原理和步骤，确保学生理解算法的基本概念。

(2)讨论法：在讲解完二分法的基本原理后，组织学生进行小组讨论，让学生通过互相交流，探讨如何选择初始区间和判断区间端点的取舍，促进学生的思维碰撞和知识内化。

(3)实验法：安排学生在计算机上使用数学软件（如几何画板、Mathematica等）进行二分法实验，通过实际操作体验算法的执行过程，增强学生的实践能力和直观感受。

2.教学手段：

(1)多媒体设备：利用PPT展示二分法的步骤、案例和关键公式，通过动态图示和视频演示，帮助学生更直观地理解算法的执行过程。

(2)教学软件：使用数学软件进行现场演示，通过实时调整参数和观察结果，让学生清晰地看到二分法的每一步变化，提高学生对算法过程的理解。

(3)网络资源：提供在线数学资源和自主学习平台，鼓励学生在课后使用这些资源进行复习和拓展学习，实现课堂学习与自主学习的有效结合。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过学校在线学习平台，发布预习资料，包括二分法的概念和基本步骤的PPT，要求学生提前了解二分法的原理。

设计预习问题：围绕二分法的应用，设计问题，如“如何确定初始区间？”“二分法的基本步骤有哪些？”引导学生自主思考。

监控预习进度：通过学习平台的数据反馈，了解学生的预习情况，及时调整教学计划。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照要求，自主学习二分法的相关知识。

思考预习问题：学生尝试回答预习问题，记录自己的理解和不解之处。

提交预习成果：学生将预习笔记和问题通过平台提交，以便教师了解预习效果。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：培养学生的自主学习能力和对知识的初步感知。

信息技术手段：利用在线平台，实现资源的快速共享和预习进度的监控。

作用与目的：

让学生提前接触二分法，为课堂学习打下基础。

培养学生独立思考和自主学习的能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过一个实际问题引入二分法，如寻找某数的平方根。

讲解知识点：详细讲解二分法的步骤，如何选择初始区间，以及如何进行区间的划分。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生合作解决具体的数学问题，如用二分法求方程的近似解。

解答疑问：针对学生在讨论中产生的疑问，进行个别或集体解答。

学生活动：

听讲并思考：学生专心听讲，积极参与教师提出的问题。

参与课堂活动：在小组讨论中，学生共同探讨问题，应用二分法解决实际问题。

提问与讨论：学生针对不懂的问题提出疑问，与同学和老师共同讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生理解二分法的理论知识。

实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中掌握二分法的应用。

合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队合作能力。

作用与目的：

加深学生对二分法理论知识的理解，并通过实践活动，提高学生的应用能力。

培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据本节课内容，布置相关习题，要求学生在课后完成。

提供拓展资源：向学生推荐相关的学习资料，如高级算法书籍和网络资源。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进。

学生活动：

完成作业：学生独立完成作业，巩固课堂所学知识。

拓展学习：利用教师提供的资源，进一步探索二分法的高级应用。

反思总结：学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主完成作业，进行拓展学习。

反思总结法：引导学生通过反思，不断提升学习能力。

作用与目的：

巩固学生对二分法的理解和应用能力。

拓宽学生的知识视野，提高学生的自我反思和自我提升能力。知识点梳理1.二分法的基本概念

-二分法的定义：二分法是一种在有序数组中查找特定元素或在连续函数上寻找根的算法。

-二分法的应用场景：适用于求解单调连续函数的根、查找有序数组中的元素等。

2.二分法的执行步骤

-确定初始区间：选择一个包含目标根的区间，确保函数在该区间的两端点取值异号。

-缩小区间：根据函数值的符号，不断将区间一分为二，逐步逼近目标根。

-判断停止条件：当区间足够小，或者函数值足够接近0时，停止迭代。

3.二分法的算法分析

-时间复杂度：二分法的时间复杂度为O(logn)，其中n为迭代次数。

-空间复杂度：二分法只需常数级别的额外空间，空间复杂度为O(1)。

4.二分法的注意事项

-初始区间的选择：应确保区间端点异号，避免函数在区间内没有根。

-精度控制：根据实际问题，设定合适的精度要求，以确定迭代停止的条件。

-边界处理：在编写代码时，注意处理边界条件，避免出现死循环或遗漏根。

5.二分法在实际问题中的应用

-求解方程的近似解：利用二分法求解一元二次方程、对数方程等连续函数的近似根。

-查找有序数组中的元素：在有序数组中查找特定元素或满足条件的元素位置。

6.二分法的数学原理

-中值定理：连续函数在区间两端点异号时，至少存在一个根。

-二分法的递推关系：通过不断二分，区间长度以2的负指数幂递减，逼近根。

7.二分法的教学策略

-结合实际案例：通过实际问题引入二分法，使学生理解算法的实用性和价值。

-动手实践：鼓励学生编写代码或使用数学软件，亲身体验二分法的执行过程。

-理论与实践相结合：在讲解算法原理的同时，注重培养学生的动手能力和解决问题的能力。

本节课的知识点梳理涵盖了二分法的基本概念、执行步骤、算法分析、注意事项、实际应用、数学原理和教学策略。这些知识点与教材紧密相关，旨在帮助学生全面理解和掌握二分法，为解决实际问题打下坚实基础。板书设计1.标题：用二分法求方程的近似解

-二分法原理与应用

2.二分法步骤

-确定初始区间

-缩小区间

-判断停止条件

3.注意事项

-初始区间选择

-精度控制

-边界处理

4.算法分析

-时间复杂度：O(logn)

-空间复杂度：O(1)

5.实际应用案例

-求解方程近似解

-有序数组元素查找

6.数学原理

-中值定理

-二分法递推关系

7.教学策略

-结合实际案例

-动手实践

-理论与实践相结合

板书设计以清晰的结构和简洁明了的方式呈现二分法的核心知识点，突出重点，使学生能够直观地把握二分法的基本原理和步骤。同时，板书设计注重艺术性和趣味性，激发学生的学习兴趣和主动性。反思改进措施（一）教学特色创新

1.实践性强：本节课通过数学软件的现场演示和学生的动手实验，使学生在实践中掌握二分法的应用，增强了学习的体验感和实用性。

2.互动性高：课堂中组织了小组讨论和问题解答环节，鼓励学生提问和分享，提高了学生的参与度和思考深度。

（二）存在主要问题

1.学生参与度不均：在小组讨论中，部分学生参与度不高，可能是因为问题难度不适宜或学生准备不足。

2.教学评价单一：目前对学生的学习评价主要依赖课后作业和课堂问答，缺乏过程性评价和多元化评价手段。

（三）改进措施

针对学生的参与度问题，我计划在今后的教学中：

1.分层次设计问题，确保问题难度适中，既能激发学生的思考，又不会让学生感到过于困难。

2.增加课堂互动，通过抽问、小组竞赛等方式，鼓励更多学生参与到课堂讨论中来。

针对教学评价单一的问题，我将：

1.引入课堂观察表，对学生在课堂上的表现进行记录，作为过程性评价的一部分。

2.结合线上平台的使用，设置在线测试和讨论区，鼓励学生在课后进行知识巩固和问题探讨，丰富评价方式。课后作业1.求方程$e^x-2=0$的近似解，要求精度为$10^{-6}$。

2.用二分法求函数$f(x)=\ln(x)-1$在区间$[2,3]$内的根，并说明你的初始区间选择。

3.给定有序数组$[1,3,5,7,9,11,13,15]$，用二分法查找元素$9$的位置。

4.求解方程$x^3-6x+9=0$的近似解，要求精度为$10^{-4}$。

5.用二分法求函数$f(x)=x^2-4$在区间$[1,2]$内的根，并说明你的初始区间选择。

答案：

1.近似解为$x\approx0