新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题14 空间向量与立体几何（原卷版）

第第页专题14空间向量与立体几何一、知识速览二、考点速览知识点1空间向量的概念及有关定理1、空间向量的有关概念（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；（5）共面向量：平行于同一个平面的向量2、空间向量的有关定理（1）共线向量定理：对空间任意两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.（2）共面向量定理：如果两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，那么向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使SKIPIF1<0.（3）空间向量基本定理：如果三个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，那么对空间任一向量SKIPIF1<0，存在有序实数组{x，y，z}，使得SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0叫做空间的一个基底．知识点2两个向量的数量积及其运算1、空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在空间任取一点O，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则∠AOB叫做向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，其范围是[0，π]，若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互相垂直，记作SKIPIF1<0.②非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量积SKIPIF1<0．（2）空间向量数量积的运算律①结合律：SKIPIF1<0；②交换律：SKIPIF1<0；③分配律：SKIPIF1<0.2、空间向量的坐标表示及其应用设，，向量表示坐标表示数量积SKIPIF1<0SKIPIF1<0共线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0SKIPIF1<0模SKIPIF1<0SKIPIF1<0夹角SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点3空间中的平行与垂直的向量表示1、直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量SKIPIF1<0的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量SKIPIF1<0为直线l的方向向量．（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0叫做平面α的法向量．2、空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线l的方向向量为SKIPIF1<0，平面α的法向量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面α，β的法向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点4利用空间向量求空间角1、异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是直线a，b的方向向量．2、直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，SKIPIF1<0为l的方向向量，SKIPIF1<0为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则SKIPIF1<0.3、二面角（1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，如图a.（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为SKIPIF1<0，平面β的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则SKIPIF1<0，如图b，c.知识点5利用空间向量求空间距离1、点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)(如图)．2、点到平面的距离已知平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内的任一点，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一点，过点SKIPIF1<0作则平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0（如图）.3、线面距和面面距线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。（1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。（2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。一、用基向量表示指定向量的方法（1）结合已知向量和所求向量观察图形．（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．【典例1】如图所示，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【典例1】已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：B，C，D三点共线．【典例2】如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线；（2）若点SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0的中心，求证：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线．【典例3】在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，试用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0四点共面；【典例4】如图，在几何体ABCDE中，SKIPIF1<0ABC，SKIPIF1<0BCD，SKIPIF1<0CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求证：A，B，D，E四点共面；三、空间向量数量积的应用1、求夹角：设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而可求两异面直线所成的角；2、求长度（距离）：运用公式SKIPIF1<0，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；3、解决垂直问题：利用SKIPIF1<0，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。【典例1】若SKIPIF1<0为非零向量，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0一定（）A．共线B．相交C．垂直D．不共面【典例2】如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0都是正方形，且二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【典例3】如图，正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（2）求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值.四、利用空间向量证明空间线面位置关系1、利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示【典例1】如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；

【典例2】如图所示，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0是直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【典例3】如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．五、用向量法求异面直线所成角的一般步骤（1）建立空间直角坐标系；（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．【典例1】在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角的余弦值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】如图，四棱锥SKIPIF1<0内接于圆柱，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为圆柱的两条母线，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为正方形，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，当四棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为．六、用向量法求解直线与平面所成角的方法如图所示，设直线l的方向向量为SKIPIF1<0，平面α的法向量为SKIPIF1<0，直线l与平面α所成的角为φ，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为θ，则有SKIPIF1<0.【典例1】如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对角线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点．则SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成角的余弦值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】如图，已知菱形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角.

【典例3】如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，E，F分别是棱SKIPIF1<0，BC，AC的中点，SKIPIF1<0．（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．七、利用向量法解二面角问题的策略1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小【典例1】如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（）A．－SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．－SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值.易错点1忽视零向量点拨：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在下列命题中：①若向量SKIPIF1<0共线，则向量SKIPIF1<0所在的直线平行；②若向量SKIPIF1<0所在的直线为异面直线，则向量SKIPIF1<0一定不共面；③若三个向量SKIPIF1<0两两共面，则向量SKIPIF1<0共面；④已知空间的三个向量SKIPIF1<0，则对于空间的任意一个向量SKIPIF1<0总存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【典例2】（多选）以下四个命题中错误的是（）A．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若空间向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．对于空间向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若SKIPIF1<0，则P、A、B、C四点共面易错点2忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同点拨：两异面直线所成角的范围是SKIPIF1<0。两向量的夹角的范围是SKIPIF1<0，需要注意两者的区别与联系。【典例1】已知直平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKI