新高考数学一轮复习讲义 第28讲 等差数列（含解析）

第28讲等差数列（精讲）题型目录一览①等差数列基本量的计算②等差数列的性质及其应用③等差数列的前n项和④等差数列中中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系⑤等差数列的判定与证明一、知识点梳理一、知识点梳理一、等差数列的有关概念1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示，定义表达式为SKIPIF1<0（常数）SKIPIF1<0．2.等差中项的概念若三个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项，且有SKIPIF1<0．二、等差数列的有关公式1.等差数列的通项公式如果等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，那么它的通项公式是SKIPIF1<0．2.等差数列的前SKIPIF1<0项和公式设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．三、等差数列的常用性质已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为公差，SKIPIF1<0为该数列的前SKIPIF1<0项和．1.通项公式的推广：SKIPIF1<0．2.在等差数列SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．3.SKIPIF1<0，…仍是等差数列，公差为SKIPIF1<0．4.SKIPIF1<0，…也成等差数列，公差为SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0也是等差数列．四、等差数列的前n项和公式与函数的关系SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0是等差数列⇔SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）．【常用结论】1.等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．2.等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3.等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．4.若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为等差数列，且前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一等差数列基本量的计算策略方法解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．【典例1】在等差数列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则201是数列的第几项（

）A．59 B．60 C．61 D．62【答案】C【分析】根据等差数列的定义求出公差，从而求出通项公式，再根据SKIPIF1<0，构造关于SKIPIF1<0的方程，解方程即可．【详解】等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设公差为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；∴通项公式为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故选：C．【典例2】在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差即可求解作答.【详解】在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【题型训练】一、单选题1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求SKIPIF1<0.【详解】设等差数列的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：A.2．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】根据等差数列的性质运算求解.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.3．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】利用等差数列的基本量计算可得答案.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：C4．（2023·广西·统考模拟预测）设SKIPIF1<0为等差数列，若SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】D【分析】由等差数列的基本量法列方程组求解．【详解】由题意得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故选：D.5．（2023·四川凉山·三模）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由等差中项性质得SKIPIF1<0，利用等差数列通项公式求基本量公差SKIPIF1<0，进而写出通项公式，即可得SKIPIF1<0.【详解】由题设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若等差数列公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0通项公式为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C6．（2023·西藏日喀则·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以乙分得SKIPIF1<0（文），丁分得SKIPIF1<0（文），故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据已知条件可求得SKIPIF1<0的值，进而可求得SKIPIF1<0的值.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D.8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的前20项和SKIPIF1<0（

）A．200 B．300 C．210 D．320【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解方程即可求出SKIPIF1<0，再由等差数列的前SKIPIF1<0项和即可得出答案.【详解】因为数列SKIPIF1<0为等差数列，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.二、填空题9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公差是．【答案】-3【分析】设SKIPIF1<0的公差为d，由等差数列的通项公式可得答案.【详解】设SKIPIF1<0的公差为d，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】先由等差数列的通项公式化简SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再由等差数列的通项公式把SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0即可求出答案.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据下标和性质求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可求出公差SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为等差数列，则通项公式为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即可写出通项公式．【详解】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若在数列SKIPIF1<0每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先计算出等差数列SKIPIF1<0的公差，进而得到新的等差数列SKIPIF1<0的公差，从而求出SKIPIF1<0的通项公式，求出新数列的第SKIPIF1<0项.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设在数列SKIPIF1<0每相邻两项之间插入三个数所得新数列为SKIPIF1<0，则新的等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，首项为SKIPIF1<0，所以新数列的通项公式为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型二等差数列的性质及其应用策略方法利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq\f(na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．【典例1】已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．40 C．50 D．45【答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D【典例2】已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据等差中项的概念，列方程，求的m+n=12，再根据等差中项的定义，可知m和n的等差中项为6.【详解】：∵m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，由等差中项的概念得：m+2n=16①,2m+n=20

②①+②得：3m+3n=36，即m+n=12．∴m和n的等差中项为6．故选：C【点睛】本题考查了等差中项的概念，是基础题．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)【答案】B【分析】根据等差数列的性质计算.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．14 B．12 C．28 D．36【答案】C【分析】根据等差数列的性质计算.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选:C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．15 C．5SKIPIF1<0 D．10SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据等差数列的性质计算.【详解】∵数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B4．（2023·青海西宁·统考二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前5项和为（

）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】B【分析】根据等差数列的等差中项性质解决即可.【详解】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前5项和为SKIPIF1<0．故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B6．（2023·陕西榆林·统考三模）一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据等差数列的性质，求得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0，即可求解.【详解】由等差数列的前3项之和为12，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由第4项为0，即SKIPIF1<0，因为第2项、第4项、第6项依次成等差数列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.7．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据等差数列性质得到SKIPIF1<0，得到答案.【详解】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C8．（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为SKIPIF1<0尺，前九个节气日影长度之和为SKIPIF1<0尺，则谷雨这一天的日影长度为（

）A．SKIPIF1<0尺 B．SKIPIF1<0尺 C．SKIPIF1<0尺 D．SKIPIF1<0尺【答案】A【分析】根据题意，分别设十二个节气为SKIPIF1<0，再运用等差中项求解.【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：SKIPIF1<0，且其公差为SKIPIF1<0，依题意有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以谷雨这一天的日影长度为SKIPIF1<0尺，故选：A9．（2023·全国·高三专题练习）“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为等差数列”的（

）．A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，但数列SKIPIF1<0不是等差数列；若数列SKIPIF1<0为等差数列，根据等差数列的性质可知，SKIPIF1<0成立.所以，“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为等差数列”的必要不充分条件.故选：C.10．（2023·全国·高三专题练习）公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据等差数列通项求出SKIPIF1<0，再利用基本不等式即可求出SKIPIF1<0，对于CD选项，利用特殊值法反驳即可.【详解】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0公差不为零,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，B正确，A错误，取SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,C,D均不正确,故选：B.二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=【答案】e【分析】由等差中项的性质计算即可.【详解】由等差数列性质可知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：e12．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】1【分析】由等差数列的性质求解．【详解】SKIPIF1<0是等差数列，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：1.13．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】74【分析】根据等差数列的性质列式计算即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以由等差数列的性质可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：7414．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，则SKIPIF1<0＝.【答案】3【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.【详解】由SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根得SKIPIF1<0＝3.又数列SKIPIF1<0为等差数列，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝3.故答案为：315．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】21【分析】根据题中条件，判断数列SKIPIF1<0为等差数列，再计算基本量即可得出结果．【详解】由SKIPIF1<0知，数列SKIPIF1<0是等差数列，∴SKIPIF1<0成等差数列．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：21.题型三等差数列的前n项和策略方法在等差数列中，SKIPIF1<0，…仍成等差数列；SKIPIF1<0也成等差数列．【典例1】设SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】根据等差数列前SKIPIF1<0项和公式进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，所以由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B【典例2】已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A【题型训练】一、单选题1．（2023·江西赣州·统考二模）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．7 B．10 C．11 D．13【答案】C【分析】设出公差，列出方程组，求出公差和首项，得到答案.【详解】设公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（

）A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层【答案】D【分析】设该塔共有SKIPIF1<0层，根据等差数列的求和公式计算即可.【详解】设该塔共有SKIPIF1<0层，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），即该塔共有SKIPIF1<0层.故选：D3．（2023·江西新余·统考二模）记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】A【分析】由等差数列和等差数列的前SKIPIF1<0项和公式代入求解即可得出答案.【详解】由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0①，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0②，由①②可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去).故选：A.4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（

）个球．

A．12 B．20 C．55 D．110【答案】C【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.【详解】由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（

）A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸【答案】B【分析】依题意列方程组求出等差数列的首项和公差即可求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊这5位士兵身高依次所成等差数列为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0丁的身高为SKIPIF1<0，故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列SKIPIF1<0的公差和首项，再根据前SKIPIF1<0项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列SKIPIF1<0的公差，再根据前SKIPIF1<0项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，首项为SKIPIF1<0，依题意可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.方法二：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.7．（2023·陕西安康·统考三模）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根据等差数列的性质，求得SKIPIF1<0，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由等差数列的性质，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.8．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）在等差数列{an}中，a3+2a5+a9=10，则数列{an}前10项的和为（

）A．20 B．24 C．25 D．28【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式求出首项和公差的关系，最后根据等差数列求和公式计算即可.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0前10项的和SKIPIF1<0.故选：C.9．（2023·全国·高三专题练习）在项数为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，最后SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，所有项的和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用等差数列的基本性质求出SKIPIF1<0的值，利用等差数列的求和公式可得出关于SKIPIF1<0的等式，解之即可.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由等差数列的性质可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.10．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）设SKIPIF1<0为正项等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0，结合基本不等式，即可求解.【详解】由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.11．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据等差数列前n项求和公式可得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，计算即可求解.【详解】SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.12．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据等差数列得性质和前SKIPIF1<0项和公式计算即可.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根据等差数列前SKIPIF1<0项和公式和通项的性质，推出SKIPIF1<0，结合选项可得答案.【详解】因为SKIPIF1<0是等差数列，所以SKIPIF1<0.根据题意SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选项A，B正确；又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选项C正确；对于选项D，SKIPIF1<0，根据题意无法判断SKIPIF1<0是否为零，故选项D错误.故选：ABC14．（2023·辽宁·校联考一模）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】设等差数列公差为d，由题目条件，可得SKIPIF1<0，由此可得各选项正误.【详解】设等差数列公差为d，则由题目条件有：SKIPIF1<0.A选项，SKIPIF1<0，故A错误；B选项，SKIPIF1<0，故B正确；C选项，SKIPIF1<0，故C正确；D选项，注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0为单调递减数列，则SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC.三、填空题15．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等差数列公式求解.【详解】设数列SKIPIF1<0的公差为d，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0；故答案为：-3.16．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0．【答案】9【分析】将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0拆分为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解方程即可得出答案．【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．17．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前10项的和为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可得SKIPIF1<0，解方程求出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，再由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式求解即可.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前10项的和为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.18．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】70【分析】设公差为d，化简已知得SKIPIF1<0，再利用等差数列的求和公式计算即得解.【详解】设公差为d，因为SKIPIF1<0是等差数列，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：7019．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前60项的和为．【答案】7260【分析】确定SKIPIF1<0是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案.【详解】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等差数列，则SKIPIF1<0是等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，故前60项的和为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<020．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】4【分析】先利用SKIPIF1<0关系式，求出公差，进而用通项公式和求和公式得到方程组，求出SKIPIF1<0.【详解】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则等差数列的公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.故答案为：421．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值可求得等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的首项及公差，进而可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出其比值即可.【详解】解：设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0又已知SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0故SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.题型四等差数列中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系策略方法等差数列中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系数列的前项和和通项的关系：则【典例1】已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据通项与前n项和的关系，分SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两种情况分别求解即可.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时也满足SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故选：D【典例2】已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由数列的前SKIPIF1<0项和公式求得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，验证SKIPIF1<0后得答案．【详解】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．验证SKIPIF1<0时上式不成立，SKIPIF1<0,故选C．【点睛】本题主要考查由数列的前SKIPIF1<0项和求数列的通项公式，是中档题．已知数列前SKIPIF1<0项和，求数列通项公式，常用公式SKIPIF1<0，将所给条件化为关于前SKIPIF1<0项和的递推关系或是关于第SKIPIF1<0项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用SKIPIF1<0