2023年09月八年级数学上册第二章轴对称100题培优训练有难度【含答案】

一、单选题

1.如图，直角三角形ABC中，AC=BC,AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出

发,以相同的速度分别沿A—C—B和A—B—C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE,

①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线.以上结论正确的

有（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.如图，在等腰a/lBC中，AB=AC,^BAC=120°,4D_LBC于点D,点P是CA延长线上一点,

点O在40延长线上，OP=0B,下面的结论：@LAP0-LOBD=30°；②ABPO是正三角形；

@AB-AP=A0-,⑥S四边形AOBP=2S&BOC,其中正确的个数是（）

P

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10,AB=8,将AB沿AE翻折，使点B落在B,处，AE为

折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接4C'.若CF=

/1

3,则吃的值为（）

4.已知如图将长方形ABCD沿GH折叠后A点落在点E,D点落在点F,请分析以下结论:

①N1=N3；②GE平分NHGB；③GH平分NAGE；④2N2-Nl=180°.

A.1B.2C.3D.4

5.如图，D为/BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,/DBC=NDCB,过D作DEJ_AC

于E,DF_LAB交BA的延长线于F,则下列结论：①△CDE空Z\BDF；②CE=AB+AE；

③NBDC=NBAC；④NDAF=NCBD.其中正确的结论有（）个

6.如图，AB为。。的直径，P为弦BC上的点，ZABC=30°,过点P作PDJLOP交。0于点D,过

点D作DE〃AB交AB的延长线于点E.若点C恰好是AD的中点，BE=6,则PC的长是（）

7.平行四边形ABCD中，A.ACB=45°,AC,BD交于点。，E是BC边上一点，连接

AE,过点B作BF1AE并延长交AC于点G,交CD于点H,已知,AF=

3,EF=1,则下列结论：①ZBAE=2乙CBH；②S“BE=2夕;③BE=近CO;@GH=

CH中正确的个数是（）.

AD

H

B'

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（1,1）,（3,1）,若正方形ABCD第1次沿x

轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第

2021次翻折后点C对应点的坐标为（）

B.(3,3)

C.(-3,3)D.(-3,-3)

9.如图，在矩形4BCC中，AB=5,BC=5g,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接4P,

以点A为中心，将线段/P逆时针旋转60。到4Q,连接DQ,则线段DQ的最小值为（）

D

BP

5

A.B.5V2c55/3D.3

2

10.如图，在矩形纸片ABCD中，4）=9,AB=7,点、F是BC上一点，点E在4。上，将

矩形纸片沿直线EF折叠，点A落在点A处.点B恰好落在边CD上的点B处，交AD

于点G,若CB'=3,则四边形EFB'G的面积等于（）

A.苧B.皇C.苧D.噜

二、填空题

11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点0,点E在AD上，且DE=CD,连接OE,NABE弓

ZACB,若AE=2,则0E的长为.

12.对于坐标平面内的点，先将该点向右平移I个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为

点的斜平移，如点P（2,3）经1次斜平移后的点的坐标为（3,5）.已知点A的坐标为（1,0）.如

图，点M是直线I上的一点，点A关于点M的对称点为点B,点B关于直线1的对称点为点C.若点

B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7,6）,则点B的坐标为及n的值

13.如图，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点,

连接MN,DN,且NDNM=NDBC,当ADMN是等腰三角形时，线段BN的长

14.如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四

边形纸片ABCD的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形EFGH.图中EF,FG,

GH,HE表示折痕，折后B.D的对应点分别是M,N.若48=8cm,AD=10cm,zB=

60°,则纸片折叠时AH的长应取

15.如图，在RtAABC中，Z.ABC=90°，AB=5,BC=8,点P是射线BC上一动点，

连接AP,将AABP沿AP折叠，当点B的对应点B落在线段BC的垂直平分线上时，BP

的长等于.

16.如图，正方形ABCD中，4B=6,点E在边上，且DE=2.将△ADE沿AE对折

至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG,CF.

下列结论：

①AABG=^AFG；

（2）AGAE=45°；

③BG=GC；

@AG//CF；

⑤ACFE是等腰三角形.

其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

17.如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，DC=2BD=4,以点D为顶点作正方形

DEFG,且DE=BC,连接AE,AG.若将正方形DEFG绕D点旋转一周，当AE取最小值时，AG的

长为________

18.如图，AD,BE在AB的同侧，AD=2,BE=2,AB=4,点C为AB的中点，若NDCE=

120°,则DE的最大值是.

19.如图，在平面直角坐标系中，点4,A2,A3...A”在x轴上，Bi,B2,...Bn

在直线丫=4》上.若4(1,0),且，^A2B2A3...^AnBnAn+1都是等边三角

形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1,S2,S3...sn,则sn可表示

20.如图，等腰△力BC底边BC的长为4cm,面积是12cm腰AB的垂直平分线EF交AC于点

F,若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则4BDM的周长最小值为cm.

三、解答题

21.在△ABC中，ABAC=a,AB=AC,过点A作zEAF=(使点E,A,尸按顺时针的顺序排列

),过点C作直线CM1直线AE,垂足为点M,直线CM交直线AF于点N,连接BN.

BB

N

J

AC

(1)如图1,若a=90。，4£4尸的边都在NB4C的内部，作点C关于4E的对称点C'.

①皿E+4B4F=▲。,BN▲CW：(填域“=”)

②求证：MN=CM+BN.

(2)如图2,若a=130。，4EAF的边都在ZBAC的夕卜部，当4M=4,MN=^BN,△力CN的面

积为12时，请直接写出CM的长；

(3)若90。＜戊＜180。，4EAF有一条边在NB4C的内部，请直接写出线段MN,BN,CN之间的

等量关系.

22.如图，在ABC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，

使点C落在AB边的C点，那么△ADC的面积是多少平方厘米？

23.如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A(-2,2),B(一4,-2),C(-

1,-2).在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的AABC，.

24.阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且

NAED=NB,延长DE与BC的延长线交于点F,NBAC和/BFD的角平分线交于点G.那么AG

与FG的位置关系如何？为什么？

解：AG±FG.将AG、DF的交点记为点P,延长AG交BC于点Q.

因为AG、FG分别平分NBAC和NBFD（已知）

所以/BAG=A,£（角平分线定义）

又因为NFPQ=▲+NAED,▲=▲+ZB

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

NAED=NB（已知）

所以/FPQ=L（等式性质）

（请完成以下说理过程）

25.已知NAOB=90。，0M是NAOB的平分线，按以下要求解答问题：

（1）如图1,将三角板的直角顶点P在射线0M上移动，两直角边分别与OA,0B交于点C,D.

（图1）

①比较大小：PCPD.（选择或或"="填空）；

②证明①中的结论.

（2）将三角板的直角顶点P在射线0M上移动，一直角边与边OA交于点C,且OC=1,另一直角

边与直线0B,直线0A分别交于点D,E,当以P,C,E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求

OP的长.（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求0P的长）.

26.证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

(要求：在给出的AA8C中用尺规作出A3、AC边的中点M、N,保留作图痕迹，不要求写作

法，并根据图形写出已知、求证和证明)

27.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合)，满足

ZDEF=ZB,且点D.F分别在边AB、AC±.

(1)求证：△BDE^ACEF；

(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分NDFC.

28.将一个矩形纸片。4BC放置于平面直角坐标系中，点。(0,0),点8(10,6)，点A在x轴，点C

在y轴.在AB边上取一点£),将4080沿CD翻折，点B恰好落在边04上的点E处.

图1图2备用图

(1)如图1,求点£坐标和直线CE的解析式;

(2)点P为x轴正半轴上的动点，设。P=t.

①如图2,当点P在线段04(不包含端点A,0)上运动时，过点P作直线/||y轴，直线/被4

CED截得的线段长为4求4关于f的函数关系式，并直接写出自变量f的取值范围；

②在该坐标系所在平面内找一点G,使以点C,E,P,G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点

G的坐标.

29.在长方形纸片ABC。中，点E是边CD上的一点，将ZL4ED沿4E所在的直线折叠，使点。落在点F

处.

(1)如图1,若点F落在对角线4c上，且NBAC=54。，求ND4E的度数.

(2)如图2,若点F落在边BC上，且=6,AD=10,求CE的长.

(3)如图3,若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G,且4B=6,AD=10,求CG的长.

30.已知RtAABC中，AC=BC=2.一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC,BC

于E.F两点

(1)如图1,当隽马且PE_LAC时，求证：器马；

PB3PF3

(2)如图2,当需=1时(I)的结论是否仍然成立？为什么？

(3)在(2)的条件下，将直角/EPF绕点P旋转，设NBPF=a(0°<a<90°).连结EF,当

△CEF的周长等于2+|乃时，请直接写出a的度数.

图1图2备用图

31.已知：如图，AD、BC相交于点O,AD=BC,NC=ND=90。.

求证：AO=BO,CO=DO.

cD

32.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。

举例：如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心。

应用：如图2,CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=：AB,求NAPB的

度数。

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上，试探究PA的长。

33.如图，四边形ABCD中，AB=BC,NABC=60。，P为四边形ABCD内一点，且

ZAPD=120°.证明：PA+PD+PCNBD.

34.如图，CN是等边△ABC的外角NACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D,连接

AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CN于点E,P.

(1)依题意补全图形.

(II)若/ACN=a,求/BDC的大小(用含a的式子表示).

(III)若PA=x,PC=y,求PB的长度(用x,y的代数式表示).

35.如图

A

图④

(1)动手操作：

如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c，处，折痕为EF,若

ZABE=20°,那么NEFC'的度数为▲.

(2)观察发现：

小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为

AD,展开纸片(如图②)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后

得到△AEF(如图③).小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.

(3)实践与运用：

将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC边交

于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展

开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ(如图④)，求/MNF的大小.

36.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，ZBAD=ZCAD,CE〃AD,CE交BA的延长线于

(1)求CE的长；

(2)求证：△ABC为等腰三角形.

(3)求^ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.

37.如图，AAEF中，ZEAF=45°,AG_LEF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将

△AFG沿AF折叠得到^AFD,延长BE和DF相交于点C.

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得

到AADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由.

(3)若EG=4,GF=6,BM=3/，求AG、MN的长.

38.如图，正方形ABC。的边04,0C都在坐标轴上，点B的坐标为(3,3).将正方形ABC。绕点4顺

时针旋转矶0。<a<90。)，得到正方形2DEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,

(2)求NP4G的度数；

(3)当41=42时，求点P的坐标;

(4)在(3)的条件下，直线PE上是否存在点M,使以点4G,M为顶点的三角形是等腰三角

形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由.

39.如图1,在△A8C的外接圆。O中，A8=5是(DO的直径，CDLAB,垂足为D,且CD=2,E为

AB的中点.连接CE交A8于点P,其中

(1)连接OE,求证：OEJ_A&

(2)若线段4。与8。的长分别是关于x的方程x2—(m+2)x+〃-1=0的两个根，求〃?，〃的值；

(3)如图2,过户点作直线/分别交射线CA,C8(点C除外)于点M,N,则就+击的值是否

为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

40.如图所示，在△ABC中，AB=AC,^BAC=80°,P在△ABC内，^PBC=10°,Z.PCB=30°,

求ZPAB的度数？

(1)如图1,P是锐角AABC内一动点，把AAPC绕点4逆时针旋转60。得到△AP，。，连接PP，，

这样就可得出P4+PB+PC=BP+PP'+P'C,请给出证明过程.

(2)图2所示的是一个锐角为30。的直角三角形公园(/8=30。，4c=90。)，其中顶点4、B、

C为公园的出入口，AB=20km,工人师傅准备在公园内修建一凉亭P,使该凉亭到三个出入口的距

离PA+PB+PC最小，求这个最小的距离.

42.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角NBDC=120。的等腰三角形，M是AB延长线上一

点，N是CA延长线上一点，且/MDN=60。.试探BM,MN,CN之间的数量关系，并给出证明.

43.如图，aZBC中，AB^AC.^A=108°,BD平分AABC交AC于。点.

求证：BC=AC+CD.

44.如图，矩形A8CD中，AB=6,BC=8,E为4。边上一动点，过点E作EFJ.BC于点F,连接

AF,将aABF沿4F进行翻折，得到△力B'F,连接EC.

（1）B,F+CF等于

(2)当点8,落在线段EC上时(不与端点重合)，四边形4FCE的周长等

于.

45.如图，在nABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆

心，大于：BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所

得四边形ABEF是菱形.

(I)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；

(II)若菱形ABEF的周长为16,AE=4V3,求NC的大小.

D

46.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且

BCLOC于点C,点A的坐标为(2,2V3),ABH百，NB=60。，点D是线段0C上一点，且

0D=4,连接AD.

(1)求证：AAOD是等边三角形；

(2)求点B的坐标；

(3)平行于AD的直线1从原点0出发，沿x轴正方向平移.设直线1被四边形OABC截得的线

段长为m,直线1与x轴交点的横坐标为t.

①当直线I与x轴的交点在线段CD上(交点不与点C,D重合)时，请直接写出m与t的函数

关系式(不必写出自变量t的取值范围)

如图1,数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形力BCD进行如下操作：①

分别以点B,C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E,F,作直线EF交BC于点

0,连接Z。；②将AAB。沿A。翻折，点8的对应点落在点P处，作射线AP交CO于点Q.

在矩形ABCD中，AD=5,AB=3.求线段CQ的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接。Q，如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长;

方案二：将AABO绕点。旋转180。至△/?£?()处，如图3.经过推理、计算可求出线段CQ的长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

48.已知命题：“P是等边△ABC内的一点,若P到三边的距离相等,则PA=PB=PC.

(1)写出它的逆命题.判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明.

(2)进一步证明:点P到等边AABC各边的距离之和为定值.

49.如图

［感知］如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE,易知：

△ADC^ABEA

(1)［探究］如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且

AD=BE,△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由.

(2)［拓展］如图③，在△ABC中，AB=AC,Z1=Z2,点D、E分别在BA、FB的延长线上,

且AD=BE=CF,若AF=2AD,SAABF=6,贝USABCD的大小为

50.已知。。的直径为10,点4,点8,点C在。。上，NCA3的平分线交。。于点D.

(1)如图①，若BC为。。的直径，AB=6,求AC,BD,CD的长；

(II)如图②，若/CAB=60。，求的长.

51.如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的

外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF

绕点A顺时针方向旋转60。得到线段AM,连接FM.

(1)求AO的长;

(2)如图2,当点F在线段BO上，且点M,F,C三点在同一条直线上时，求证：

AC=V3AM；

(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.

52.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,fiC=10,若A。平分N8AC交8C于点

D,求8。的长.

53.(本题10分)如图，已知：AB是。O的直径，点C在。O上，CD是。O的切线，ADLCD于

点D.E是AB延长线上一点，CE交。O于点F,连结OC,AC.

(1)求证：AC平分NDAO.

(2)若NDAO=105。,ZE=30°.

①求/OCE的度数.

②若。O的半径为2V2,求线段EF的长.

54.在回4BCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，E。的延长线与边4D交于点F,连接

BF、DE如图1.

DFI)

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若DE=DC,^CBD=45°,过点C作DE的垂线，与OE、BD、BF分别交于点G、H、P如

图2.

①当CD=JIU.CE=2时，求BE的长；

②求证：CD=CH.

55.如图，已知在△ABC中，△ABC的外角NABD的平分线与/ACB的平分线交于点O,MN过

点O,且MN〃BC,分别交AB、AC于点M、N.求证：MN=CN-BM.

DBC

56.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，P是线段。尸的中点，连接PG,PC,若〃BC==

60°,证明：PGJ_PC且PG=KPC.

57.如图所示，AD是/BAC的平分线，DE_LAB于E,DFLAC于F,且BD=CD,那么BE与CF

相等吗？为什么？

E

58.问题提出：如图①，将一张直角三角形纸片AABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折

痕，4CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿ACBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩

形(其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形)，我们称这样

两个矩形为“叠加矩形

图①图②图③

知识运用：

(1)如图②，正方形网格中的aABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；

(2)如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC,使其顶点A在格

点上，且aABC折成的“叠加矩形”为正方形；

(3)若一个锐角三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？结合图③，

说明理由。

拓展应用：

(4)如果一个四边形一定能折成"叠加矩形"，那么它必须满足的条件是什么？

59.如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计，某学习小组利用课余时间测

量主塔顶端到桥面的距离.勘测记录如下表:

活

“测量主塔顶端到桥面的距离

动

内

容

成

组长：XXX组员：XXXXXXXXXXXX

员

测

量

测角仪，皮尺等

工

具

测

里E说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A、C,

示D,B在同一条直线上，EFLAB,点A,C分别

意AcDB与点B,D关于直线EF对称

图

测乙4的大小28°

量AC的长度84m

数

CD的长度12m

据

请利用表中提供的信息,求主塔顶端E到AB的距离(参考数据：sin28°，0.47,cos280”

0.88,tan28°«0.53).

60.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异

线，称这个三角形为特异三角形.

(1)如图1,△ABC中，ZB=2ZC,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.

求证：AE是△ABC的一条特异线.

(2)如图2,已知BD是△ABC的一条特异线，其中NA=30°,NABC为钝角，求出所有可

能的NABC的度数.

(3)如图3,△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角

度数为整数，请求出其特异线的长度；若它的顶角度数不是整数，请直接写出顶角度数.

61.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展开(如图①);

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线

段BN(如图②).

如图②所示建立平面直角坐标系，请解答以下问题：

(I)设直线BM的解析式为y=kx,求k的值；

(II)若MN的延长线与矩形ABCD的边BC交于点P,设矩形的边AB=a,BC=b；

(i)若a=2,b=4,求P点的坐标；

(ii)请直接写出a、b应该满足的条件.

62.如图，BE,CF是△ABC的角平分线，ANLBE于N,AMLCF于M,求证：MN〃BC.

63.(1)图(1)中，C点为线段AB上一点，AACM,△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？

说明理由；

(2)如图(2)C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此

时AN与BM相等吗？说明理由；

(3)如图(3)C点为线段AB外一点，Z\ACM,△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说

明理由.

64.如图，已知等边△ABC边长为1,D是△ABC外一点且NBDC=120。，BD=CD,NMDN=60。求

△AMN的周长.

65.已知：△ABC中，记/BAC=a,ZACB=|3.

(1)如图1,若AP平分NBAC,BP,CP分别平分△ABC的外角NCBM和NBCN,BD±AP

于点D,用a的代数式表示NBPC的度数，用p的代数式表示NPBD的度数.

(2)如图2,若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD_LAP于点D,猜想(1)中的两个

结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论.

66.正方形ABCD的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F,连接DF.求NAFD的度数.

67.如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC,AO=AD,/BAC=/OAD=90。，点O是

(1)求证：()B=DC；

(2)求NDCO的大小；

(3)设/AOB=a,那么当a为多少度时，△COD是等腰三角形.

68.如图，在△ABC中，点。在线段4B上，点E在线段4c上，EF||CD交4B于点F,N1+42=

180°.

c

AFDB

⑴求证：AC||DG；

(2)若CD平分乙4CB,CG平分NCDB,交BC于点G,且乙4=40。，求乙4cB的度数.

(3)若CD平分乙4C8,DG平分/CDB,交BC于点G,求NCD8和NB关系并说明理由.

69.如图，在Rt^ABC中，z/CB=90。，AB=10cm,AC=6cm,动点P从B出发沿射线BC以

Icm/s的速度运动，设运动时间为t(s).

(1)求BC边的长.

(2)当AABP为等腰三角形时，求t的值.

70.已知：如图，BD为AABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=

B4,过E作EF_LAB,F为垂足.求证：

①ZL4B0三AEBC；

②AE=CE；

③BA+BC=2BF.

71.如图，在AABC中，E是4。上的一点，EB=EC,Z.ABE=Z.ACE,请说明AD1

BC.

解：因为EB=EC(已知)，

所以乙EBC=Z.ECB(①).

又因为乙4BE=/ACE(已知)，

所以/.ABE+乙EBC=/.ACE+乙ECB(②).

KP/.ABC=Z.ACB.

所以AB=AC(③).

在AABE和^ACE中，

AB=ZC(已姐

EB=EC(己糊，④

AE=AE(④)

所以三ZiACE(⑤).

W/-BAD=/.CAD(⑥).

所以AD1BC(⑦).

72.如图，已知△ABC,ZB=40°.

(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆0,并标出。O与边AB,BC,AC的切点D,E,F

(保留痕迹，不必写作法)；

(2)连接EF,DF,求NEFD的度数.

73.如图：

(1)如图1,已知：在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,直线m经过点A,BD_L直线m,

CE,直线m,垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并

且NBDA=NAEC=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？若成

立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

C

B

DAE

图2

(3)拓展与应用：如图3,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不

重合)，点F为/BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若

ZBDA=ZAEC=ZBAC,试判断△DEF的形状.

图3

74.将一个直角三角形纸片A3。，放置在平面直角坐标系中，点A(遍，0),点8(0,1),点0

(0,0).过边上的动点M(点M不与点O,A重合)作MN_LA8于点N,沿着MN折叠该纸

片，得顶点A的对应点月'，设。"=〃7,折叠后的△4WW与四边形。A7N8重叠部分的面积为S.

(I)如图①，当点4与顶点8重合时，求点"的坐标；

(II)如图②，当点A',落在第二象限时，AM与。8相交于点C,试用含加的式子表示S；

(Ill)当S=乌时，求点M的坐标(直接写出结果即可).

图①图②

75.已知：等边△ABC,CE〃AB,D为BC上一点，且/ADE=60。，求证：AADE是等边三角形.

BD

76.已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC,ADLBC于点D,以AC为边作等边三角形ACE,直

线BE交直线AD于点F,连接FC.

(I)如图1,120o〈NBAC<180。，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M.

①求证：ZFEA=ZFCA；

②猜想线段FE,AD,FD之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)当60o<NBAC<120。，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究

线段FE,AD,FD之间的数量关系，并直接写出你的结论.

77.在6X6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块(或两块)小正方形，使涂黑的

四个(或五个)小正方形组成一个轴对称图.

78.如图，已知直线PA交。O于A、B两点，AE是。O的直径，点C为。。上一点，且AC平分

ZPAE,过C作CDJ_PA,垂足为D.

E

(1)求证：CD为。O的切线；

(2)若CD=2AD,。。的直径为10,求线段AB的长.

79.如图，在△ABC中，AB=AC,BO平分乙4BC交4c于点。，过点4作AE||BC交的延长线于点

E.

(1)若484C=40。，求NE的度数；

(2)若F是DE上的一点，且4F=AD,判断BD与EF的数量关系，并说明理由.

80.如图，△A8C是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重

合).

(I)如图1,若点。是8c边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向8运动(与C、B不

重合).求证：BP=AQ-,

(II)如图2,若。是C8延长线上一动点，与点尸同时以相同的速度由8向C8延长线方向运

动(Q不与B重合)，过产作PELAB于E,连接PQ交AB于。，在运动过程中线段EO的长是否

发生变化？如果不变，求出线段EO的长；如果发生改变，请说明理由.

81.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BD平分/ABC,交AC于点D,AF1BD,垂足

为点E,交BC于点F.求证：AD=CF.

D

BFc

82.如图，四边形ABCD为菱形，ZBAD=60°,E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重

合），直线CE绕C点顺时针旋转60。与直线AD相交于点F,连接EF.

（1）如图①，当点E在线段BD上时，ZCEF=度；

（2）如图②，当点E在BD延长线上时，试判断/DEF+/DFE与/CEF度数之间的关系，并说

明理由；

（3）如图③，若四边形ABCD为平行四边形，/DBC=NDCB=45。，E为直线BD上的动点（点

E不与点B和点D重合），射线CE绕C点顺时针旋转45。与直线AD相交于点F,连接EF,探究

/DEF+NDFE与/CEF度数之间的关系.（直接写出结果）

83.小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30。，AC长等米，钓竿AO的倾斜角是60。,

其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60。，求浮漂B与河堤下端C之间的距离（如图②）.

84.在△ABC中，AB=AC,BDJ_AC于D,CEJ_AB于E,BD、CE相交于F.

求证：AF平分/BAC

85.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作。O交BC于点D,过点D作AC的垂线交AC

于点E,交AB的延长线于点F.

D

（1）求证：DE与。0相切;

(2)若CD=BF,AE=3,求DF的长.

86.将AABC的NC折起，翻折后角的顶点位置记作C，，当C，落在AC上时（如图1）,易证:

N1=2N2.当C点落在CA和CB之间（如图2）时，或当C落在CB、CA的同旁（如图3）时,

N1、/2、/3关系又如何？请写出你的猜想，并就其中一种情况给出证明.

CB

图1

图3

87.四边形ABCD中，^A=90°,AB=AD,DE平分Z.ADC,AE=2时，乙AED=,

CD=6V5，求DE的长.

88.在等腰三角形ABC中，三条边分别为a、b、c,已知a=3,且b、c是关于x的方程x2+mx+2-

y=0的两个实数根、求小ABC的周长。

89.如图，在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.

求证:DE=DF.

A

90.若等腰三角形两边为4,1(),求底角的正弦值

91.在长方形4BC。中，AB=6,AD=8,点E是AD边上的一点，将△ABE沿BE折叠，点4的对应点

为点F,射线EF与线段BC交于点G.

D(E)

(1)如图1,当E点和。点重合时•，求证：BG=DG；

(2)如图2,连接DF,CF,若。F=CF,求△CDF的面积.

92.已知△力BC和△4DE都是等边三角形，连接BD,将BD绕点B逆时针旋转60。得到BF,连接CE,

EF.

D____A

(1)如图1,求证：①△ADB/△AEC；

②四边形BCEF是平行四边形；

(2)如图2,M,N分别是BC,BE的中点，若△4DE的顶点E在4B边上，AB=6,AD=2,求

MN的长.

93.直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分NBCD.

B

(1)在图1中，若/BCE=40。，求/ACF的度数;

(2)在图1中，若/BCE=a,直接写出/ACF的度数(用含a的式子表示);

(3)将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出NACF与/BCE的度数

之间的关系，并说明理由.

94.如图1,已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和小OFA均为边长为a的等边三角

形，点P为边BC上任意一点，过P作PM〃AB交AF于M,作PN〃CD交DE于N.

(I)那么/MPN=，并求证PM+PN=3a；

(2)如图2,联结OM、ON.求证：OM=ON；

(3)如图3,0G平分NMON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形，并说明理由.

95.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点

(不与点A、B重合)，连接PA、PB、PC、PD.

(1)如图①，当PA的长度等于时，ZPAB=60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角

形；

(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系(点A

即为原点O),把APAD、△PAB,△PBC的面积分别记为，、S2、S3.坐标为(a,b),试求2sls3

一S22的最大值，并求出此时a,b的值.

（图①）(图②)

96.在AABC中，48=AC,点Z）为线段8c上一个动点（不与B、C重合），以4。为一边向4。的左

侧作△4DE,使4D=4E,Z.DAE=^BAC,过点E作BC的平行线，交直线AB于点R连接BE.

(1)如图1,若ZBAC=/.DAE=60°,判断ABEF的形状并说明理由;

(2)若zBAC=Z.DAE+60°,如图2,判断ABE尸的形状，并说明理由.

97.已知边长为4a的正方形ABCD中，P是对角线/C上的一个动点（与点4,C不重合），过点P作

PELPB,PE交射线DC于点E,过点E作EF14C,垂足为点F.

（德川图）

（1）当点E落在线段CD上时（如图所示），设4P=x,z\PEF的面积为y,求y与x之间的函数关

系式，并写出函数的定义域;

（2）在点P的运动过程中，APEC能否为等腰三角形？如果能，试求出4P的长，如果不能，试说

明理由.

98.

B/~~i~CBCD

DS2图3

图1

(1)如图1,在△ABC中，NACB=2NB,NC=90。，AD为/BAC的平分线交BC于D,求

证：AB=AC+CD.(提示：在AB上截取AE=AC,连接DE)

(2)如图