2023苏教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第2章 圆与方程

第2章圆与方程

(全卷满分150分，考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1.已知直线ax+by+c=0过点M(cosa,sin<1),则()

A.a2+b2<lB.a2+b2^l

C.a2+b2^c2D.a2+b2>c2

2.若圆心坐标为(2,-1)的圆截直线x-y-l=0所得的弦长为2vx则这个圆的方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=2B.(x-2)2+(y+l)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=8D.(x-2)2+(y+l)2=16

3.圆(x+D，(yT)2=4上到直线l:x+y+V5=0的距离为1的点共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名.赵

州桥始建于隋代,是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的石拱桥.小明家附近的一座

桥是仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米，

当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为()

A.10米B.10鱼米

C.66米D.6西米

5.若圆x2+y2-2ax+2y+l=0与圆x2+y2=l关于直线y=x-l对称,过点C(-2a,a)的圆P与y轴相切,

则圆心P的轨迹方程为()

A.y2-4x+4y+8=0B.y2+2x-2y+2=0

C.y'-2x-y-l=0D.y-+4x-2y+5=0

6.若圆M:x'+y2+ax+by-ab-6=0(a>0,b>0)平分圆N:x~+y2-4x-2y+4=0的周长，则2a+b的最小值为

()

A.8B.9C.16D.20

7.已知圆C的圆心为原点0,且与直线x+y+4&=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两

条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为()

A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)

8.已知实数x、y满足X2+62)』，则害的取值范围是()

A.(V3,2]B.[1,2]C.(0,2]江曲］

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.已知圆G：(x-2cos9)2+(y-2sin。)'=1与圆Czd+y3，则下列说法正确的是()

A.对于任意的圆G与圆C,始终相切

B.对于任意的9,圆G与圆&始终有四条公切线

C.当0=J时，直线1：7^-丫-1=0被圆G截得的弦长为B

D.P,Q分别为圆G与圆C?上的动点，则PQ的最大值为4

10.已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=25,直线1:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,则下列命题正确的是()

A.直线1恒过定点⑶1)

B.y轴被圆C截得的弦长为4V6

C,直线1与圆C恒相交

D.直线1被圆C截得的弦长最长时，直线1的方程为2x-y-5=0

11.已知实数X,y满足方程x2+y2-4x+l=0,则下列说法错误的是()

A.y-x的最大值为巡-2B.x2+y2的最大值为7+4百

C*的最大值为噂D.x+y的最大值为2+8

12.如果A(2,0),B(l,1),C(T,l),D(-2,0),比是以OD为直径的圆上的一段圆弧,力是以BC为

直径的圆上的一段圆弧,就是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线。,那么下面说

法正确的是()

A.曲线Q与x轴围成的图形的面积为三

B.为与瓦^的公切线方程为x+y-V2-l=0

C.6所在圆与&所在圆的交点弦所在直线的方程为x-y=0

D.比所在圆截直线y=x所得的弦长为日

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.过P(2,2)作圆C:(x-l)2+y2=l的切线,则此切线方程为.

14.设集合A={(x,y)|x2+(y-l)2=l},B={(x,y)|(x-t)，y?=9},且ACBW。,则实数t的取值范围

是—•

15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆G:x+y2=2,圆C2:(x-+(y-V17)2=8,若过第四象限

的直线1是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线1的方程为

16.如图所示，已知以点A(T,2)为圆心的圆与直线L：x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线1

与圆A交于M,N两点,Q是MN的中点，直线1与L交于点P.

(1)当|MN|=2V1©时，直线1的方程为;

(2)的•BP=.(本题第一空3分,第二空2分)

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+l=0.

(1)求圆C的圆心坐标及半径；

(2)若直线1经过(2,0),并且被圆C截得的弦长为28,求直线1的方程.

18.(本小题满分12分)已知圆C:x"+y'+mx+my-4=0关于直线x+y+l=0对称.

(1)求圆C的标准方程；

(2)是否存在直线与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等?若存在,求出该直线的方程;若不存

在,请说明理由.

19.(本小题满分12分)如图，已知aABC的AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足的=

而？，点T(T,1)在AC边所在直线上且满足方•AB=0.

⑴求AC边所在直线的方程；

(2)求aABC外接圆的方程；

(3)求过点N(-2,0)的4ABC外接圆的切线方程.

20.(本小题满分12分)已知圆C的圆心在x轴上,且圆C经过点A(T,0),B(l,2).

(1)求线段AB的垂直平分线的方程；

⑵求圆C的标准方程；

⑶已知直线l:y=kx+l与圆C相交于M、N两点,且MN=2V2,求直线1的方程.

21.(本小题满分12分)已知圆C:(x+3)2+(y-4)2=16,直线1:(2m+l)x+(m-2)y-3nr4=0(mWR).

⑴若圆C截直线1所得的弦AB的长为2V求m的值；

(2)若圆C与直线1相离,设MN为圆C的动直径，作MP11,NQ11,垂足分别为P,Q,当m变化时,

求四边形MPQN面积的最大值.

22.(本小题满分12分)为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路M0N进行分

流，已知穿城公路M0N自西向东到达城市中心点0后转向东北方向(即N40B=空).现准备修

建一条城市高架道路L,L在M0上设一出入口A,在0N上设一出入口B.假设高架道路L在AB

部分为直线段,且要求市中心0到直线AB的距离为10km.

⑴求两站点A,B之间距离的最小值；

⑵公路M0段上距离市中心30km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,设立一个以C为圆心,5

km为半径的圆形保护区，问如何在古建筑群C和市中心0之间设计出入口A,才能使高架道路L

及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)？

答案全解全析

1.D由cos2a+sin2a=1可得点M在单位圆x2+y2=l上，

所以直线ax+by+c=0和圆x"+y2=l有公共点，

所以圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离其即a2+b2>c2.

>Ja2+b2

2.B设圆的半径为r,

:圆心(2,-1)到直线x-y-l=0的距离d二"/=>/2,

V2

=2y/r^2=2我,解得一=4,

圆的方程为(x-2)?+(y+l)2=4.故选B.

3.C由题知，圆心(T,1)到直线l:x+y+&=0的距离为㈡笄=1〈2,则直线1与圆相交，由圆的半径为2知，圆上

V2

到直线的距离为1的点有3个.

4.C根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示.

设圆0的半径为R米，当水面跨度是20米,拱顶离水面4米时,水面为AB,M为线段AB的中点，即AB=20米,0M=(R-4)

米，

利用勾股定理可知,AM?=(受f=0A2-0M2,即100=泊(RY)?,解得R哼当水面上涨2米后，即水面到达CD,N为线段CD

的中点，此时0N=(R-2)米,故CD=2CN=2J/?2_(R_2)2=6e(米).故选C.

5.D由条件可知x2+y2-2ax+2y+l=0的半径为1,并且两已知圆圆心连线的斜率是T,

由x?+y2-2ax+2y+l=0得(x-a)2+(y+l)2=a：其圆心为(a,T),半径为|a|,所以—'解得a=l,所以C(-2,1).

la2=1,

设P(x,y),由条件可知PC=|xl,即+2)2+(y-l)2=|x|,

两边平方后，整理得y，4x-2y+5=0.故选D.

6.A两圆方程相减得(a+4)x+(b+2)y-abT0=0,此为相交弦所在直线的方程，

圆N的标准方程是(x-2)2+(y-l)2=l,圆心为N(2,1),将⑵1)代入相交弦所在直线的方程，得2(a+4)+b+2-abT0=0,

则工+91,

ab

因为a>0,b>0,

所以2a+b=(2a+b)仁+9=4+2+£》4+2l~x^=8,当且仅当2即a=2,b=4时,等号成立.故选A.

\ab/abyabab

7.A依题意得圆C的半径r~,4^-4,所以圆C的方程为x2+y2=16.

+12

因为PA,PB是圆C的两条切线，

所以OA1AP,OBIBP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),bGR,则线段OP的中点坐标为(4,

所以以0P为直径的圆的方程为(x-4)，(泻了=42+(丁,化简得X?+产8x-by=0,因为AB为两圆的公共弦,所以

直线AB的方程为8x+by=16,即8(x-2)+by=0,bGR,所以直线AB恒过定点(2,0).

8.B如图所示:

设P(x,y)为圆x2+(y-2)2=l上的任意一点,

则点P到直线x+V3y=0的距离PM二

2

点P到原点的距离为P0=

所以3=舞=鬻=2sinNP0M,

设圆x2+(y-2)2=l与直线y=kx相切，

则」==1,解得k=±遍，

所以NPOM的最小值为30°,最大值为90°,

所以？sin/POMWl,

所以lW3=2sin/POMW2.

故选B.

9.ACD由已知得G(2cos6,2sin9),Cz(O,0),GC2=J(2cos8)2+(2sin0)2=2,两圆半径之和为1+1=2,故两圆始

终外切,始终有三条公切线,A正确,B错误；

当()=2时,C.(V3,1),C,到直线1的距离d=产的川=1,则弦长为2、病百=V3.C正确；

6J(国2+(-I)Z27

由于两圆外切，且3cz=2,因此PQ““x=CC+l+l=4,D正确.

故选ACD.

10.ABC直线1的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,由。解得;1所以直线1恒过定点(3,D，A正

确；

在圆C的方程中，令x=0,得1+(y2产=方,解得y=2±2乃，则y轴被圆C截得的弦长为4跖B正确；

因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,故点(3,1)在圆C内，所以直线1与圆C一定相交,C正确;

直线1被圆C截得的弦长最长时,直线过圆心(1,2),则2m+l+2(m+l)-7m-4=0,解得m=-i故直线1的方程为9+

|y-|=0,即x+2y-5=0,D错误.故选ABC.

11.CD将x'+yz-4x+l=0变形得，(x-2),+yJ3,它表示圆心为⑵0),半径为g的圆.对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表

示直线y=x+z的纵截距，当此直线与圆有公共点时,需Wg,解得-乃-2WzW正-2,所以y-x的最大值为泥-2,

故A中说法正确;对于B,x'+y2的几何意义是圆上的点与原点的距离的平方，易知原点与圆心的距离为2,则原点与

圆上的点的最大距离为2+V3,所以/+/的最大值为(2+遍)2=7+4百，故B中说法正确;对于的几何意义是

圆上的点与原点连线的斜率，贝吆的最大值为tan60°=V3,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直

线y=-x+m的纵截距，当此直线与圆有公共点时,粤1<75,解得-遍+2WmW乃+2,所以x+y的最大值为遍+2,故D

V2

中说法错误.故选CD.

12.BC连接BC,交y轴于点Q,过点B作BN±x轴于点N,过点C作QUx轴于点M,连接QN,如图.

各段圆弧所在圆的方程分别为

CD:(x+1)2+y2=1;CB:x2+(y-1)2=1;BA:(x-l)2+yM.

由题意知曲线Q与x轴围成的图形由一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆组成，所以围成的图形的面积为

2X2+%2=n+2,故A错误;

42

易知直线QN的方程为y=-x+l,公切线1平行于直线NQ,且两直线间的距离为1,设直线l:y=-x+b(b>0且b#l),

则陪1,解得b=V2+l,所以直线1:x+y-奁-1=0,故B正确；

V2

将或所在圆与诧所在圆的方程相减,得交点弦所在直线的方程为x-y=0,故C正确；

曲所在圆的圆心为(-1,0),(-1,0)到直线y=x的距离<1=当,所以曲所在圆截直线y=x所得的弦长为2卜闺=

记,故D错误.

故选BC.

13.答案x=2或3x-4y+2=0

解析圆C:(x-l)2+y』的圆心为(1,0),半径为1,

当过点P的直线垂直于x轴时,直线斜率不存在,方程是x=2,

:圆心C(l,0)到直线的距离d=l=r,

二直线x=2符合题意.

当过点P的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0.

•.•直线是圆C:(x-l)z+y2=l的切线，

圆心C(l,0)到直线的距离d'i,解得k=l,

-早空2-

Vl+fc4

此时直线方程为3x-4y+2=0.

综上，切线方程为x=2或3x-4y+2=0.

14.答案[-V15,-V3]U[V3,<15]

解析圆(x-t)2+y2=9的半径大于圆x2+(y-l)2=l的半径.

当两圆外切时,有J(0-t)2+(1-0/=3+1,解得t=±V15;

当两圆内切时,有J(0-t)2+(1-0)2=3-1,解得t=±V3.

当t>0,即圆(x-t)?+y2=9的圆心在y轴右侧时,实数t的取值范围为［百,VI引；

当t<0,即圆(x-t)，yJ9的圆心在y轴左侧时，实数t的取值范围为［-g,-8］.

故实数t的取值范围为［-反,一遮］U［V3,VT5］.

15.答案3x-5y-2g=0

解析由圆的方程可知圆C,的圆心为G(0,0),半径r产四，圆&的圆心为€2(717,717),半径0=2e,贝llkjCz=

1,C1C2=V34.

由题意知直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=kx+b,直线1与圆CbC2的切点分别为A,B,连接CC,AG,BC2,过

C作C.DZ/AB交BCz于点D,如图.

二1为圆Cz的切线，，BC2_LAB,

又GD〃AB,；.CDJ_C2D,

2V2-V21

•.而NDCG=^==—,

J34-(2V2-V2)24

1-13

k=tan(45°-ZDC1C2)=~1=

1+J5

二直线1的方程为y=1x+b,即3x-5y+5b=0,

又直线1与圆G相切，...黑=V2,解得b=±噌,

V345

又直线1过第四象限，...b=-等，

直线1的方程为3x-5y-2g=0.

16.答案(l)x=-2或3x-4y+6=0(2)-5

解析⑴设圆A的半径为R.•.咽A与直线L：x+2y+7=0相切,

.•.R=^tn=2倔.♦.圆A的方程为(x+l)2+(y-2)2=20.

V5

①当直线1的斜率不存在时，易知直线1的方程为x=-2,此时MN=2V19,符合题意.

②当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,则AQ1MN.

MN=2V19,?.AQ="20-19=1.

.­.AQ=^L=1,解得k=：,.•.直线1的方程为3x-4y+6=o.

综上，直线1的方程为x=-2或3x-4y+6=0.

(2)VAQ±BP,：.AQ•BP=O,：.~BQ•丽=画+而)•~BP=^A•~BP+AQ•~BP=~BA'JP.

当直线1的斜率不存在时,【＞(-2,彳)，则丽=(0,-1)，

又瓦5=(1,2),.•.诙•乔=明•BP=~5.

当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k'(x+2).

由仅=fc'(x+2),徨/-4fc'-7-sfx.KB=(s-sfc,\

田L+2y+7=0行pK1+2VT+2J-BP一(i+2k"i+2”

综上所述,BQ•品为定值,其定值为-5.

17.解析（1）圆x2+y2-2x+4y+l=0可化为（xT）2+（y+2）J4,（3分）

所以圆心坐标为（1,-2）,半径为2.（4分）

（2）由题意及（1）得圆心到直线1的距离d=j22-（点）2=1.

当直线1的斜率不存在时,直线1的方程为x=2,此时直线1被圆C截得的弦长为2V5,符合题意；（7分）

当直线1的斜率存在时,设直线1的方程为y=k（x-2）,即kx-y-2k=0,

由题意得端型=1,解得k^,

y/k2+l4

所以直线1的方程为:x-y-M,即3x-4y-6=o.（9分）

综上所述,直线1的方程为x=2或3x-4y-6=0.（10分）

18.解析⑴由题意知圆C的圆心为解得m=l,（3分）

.,.圆C的方程为x2+y，x+y-4=0,其标准形式为（x+J+（/+：）=/（6分）

（2）存在.由（1）知圆心为半径为手，因此原点在圆内，

则截距相等的切线不过原点.（8分）

设截距相等的切线的方程为x+y+a=0,aWO,

则后担=乎,解得a=-2或a=4,经检验均符合题意，（10分）

V22

.,.切线方程为x+y-2=0或x+y+4=0.(12分)

19.解析(1),.'AT•A6=0,

：.ATIAB,又T在直线AC上,

/.AC±AB,

/.△ABC为直角三角形.

又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,

/.AC边所在直线的斜率为-3,

又•.•点T(T,1)在AC边所在直线上，

AAC边所在直线的方程为y-l=-3(x+l),即3x+y+2=0.(4分)

⑵由隐-n解得-°S则点A的坐标为(0,-2),(6分)

2%十y十z—u,——乙,

"：BM=MC,

...M(2,0)为RtAABC斜边上的中点，即为RtAABC外接圆的圆心，

又AM=J(2-0)2+(0+2)2=2V2,

/.△ABC外接圆的方程为(x-2T+y2=8.(8分)

(3)易知切线的斜率存在.设切线方程为y=k(x+2),

则=272,解得k=l或k=T,(11分)

切线方程为x-y+2=0或x+y+2=0.(12分)

20.解析(1)设线段AB的中点为D,则D(0,1).

由圆的性质，得CD_LAB,所以ka,Xk.=-1,所以kco=-l,

所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-x+l.(4分)

(2)因为圆心C在x轴上，也在线段AB的垂直平分线，即y=-x+l上,所以令y=0,得x=l.(6分)

所以圆心为C(l,0),r=CA=l-(-l)=2,

所以圆C的标准方程为(x-l)2+y2=4.(8分)

(3)设F为线段MN的中点，则CF11,FM=FN=&.设圆心C到直线1的距离为d,贝d-CF=J4-(V2)2=y[2,(10分)

又d岑等,所以k=l,所以直线1的方程为y=x+L(12分)

Vfc2+1

21.解析(1)圆C的圆心为C的3,4),半径r=4,

22

由弦AB的长为2VH,得点C到直线1的距离d=卜喏了=J4