2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第五章 函数应用综合拔高练

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第五章函数应用

综合拔置)练

五年高考练

考点1函数零点、方程的根与函数图象的关系

1.(2020全国I理,12)若2a+log2a=平+210g4b厕()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

2.(2020天津,9)已知函数；若函数g(x);f(x)-|kx2-2x|(k£R)恰有4

个零点，则k的取值范围是()

A.(-oo,-0u(2V2,+oo)

B.(-OO,-|)U(0,2V2)

C.(-oo,0)U(0,2V2)

D.(-°°,0)U(2V2,+oo)

3.(2018课标全国1,9)已知函数除):=f(x)+x+a.若g(x)存在2

个零点，则a的取值范围是()

A.[-l,0)B.[0,+oo)

C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

4.(2017课标全国ID,12)已知函数f(x)=x2-2x+a(exT+e”+i)有唯一零点厕

a=

A11C1

----

2B.32D.1

5.(2021北京,15)已知f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论：

⑴若k=0,则f(x)有两个零点;

(2)31<<0,使得1:仅)有一个零点；

(3)51<<0,使得1:仅)有三个零点；

(4)31<>0,使得1:仅)有三个零点.

以上正确结论的序号是.

:或E,x<入当入=2时,不等式

f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点，则A的取值范围

是.

2x

7.(2018天津,14)已知a>0,函数f(x)={^2+^+^；:'若关于的方程

f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是.

考点2函数模型的应用

8.(2020全国新高考1,6)基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基

本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所

需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染

病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足

Ro=l+rT.有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始

阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(In2*669)()

A.1.2天B.1.8天C25天D.3.5天

9.(2020全国ID理,4)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.

有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的

Logistic模型:嗔)=]+四黑53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时标志

着已初步遏制疫情厕t*约为(In19«3)()

A.60B.63C.66D.69

三年模拟练

应用实践

1.(2021江西抚州期末)用二分法求函数f(x)=log2x+a-2x零点的近似值时，如果

确定零点所处的初始区间为C，乡,那么a的取值范围为()

A.(-oo,2)

B.(|,+8)

D.（-8,2）U（|,+8）

11

2.（2020山东日照期中）函数f（x）5等的零点所在的区间为（）

则）B.（/

3.（2020安徽芜湖调研）如图所示，一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到

一个"E"图案.设剪去的小矩形的一条边长为x,其邻边长为y,剪去部分的面积

为20,若2WXW10,设y=f（x）,则函数y=f（x）的图象是（）

0—210^0\~2rtr%

4.（2020江西南昌调研）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x-2的零点为a,

函数g（x）=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是（）

A.a<l<bB.a<b<l

C.l<a<bD.b<l<a

(-2x<-2,

5.(2020陕西宝鸡期末)已知函数f(x)=ax2-x+2,函数g(x)=%；f2a<2,若函数

2,x>2,

y=f(x)-g(x)恰好有2个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,0)

B.(-oo,0)U(0,|)

D.(-OO,0)U(L+8)

6.(2022广西柳州一模)5G技术的数学原理之一是著名的香农公

式:C=Wlog2(l+它表示在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C

取决于信道带宽W.S是信道内所传信号的平均功率,N是信道内部的高斯噪声功

率怖叫作信噪比.按照香农公式，在不改变W的情况下,将信噪比宝从1999提升至

入使得C增加了20%,则人的值约为(参考数据:1g2^0.3,10396^9120)()

A.9121B.9119

C.9919D.10999

7.(2022北京一零一中学期末)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,

现给某病人静脉注射了该药物2500mg,设经过x小时后，药物在病人血液中的

量为ymg.

(Dy与x的关系式为;

(2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时，才有疗效;而低于500

mg时，病人就有危险,则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过

小时.(参考数据：0.823工0.6,0.872弋020.899。0.11)

8.(2020福建龙岩一中月考)已知函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2.

(1)求m,n的值；

(2)若不等式f(x)-k>0在x£[0,5]上恒成立，求k的取值范围；

⑶令g(x)二修,若函数F(x)=g(2x)-「2x在x£[-1,1]上有零点,求实数r的取值范

围.

迁移创新

9.（2022山西太原期中）国庆节期间,某商场进行如下的优惠促销活动：

优惠一:一次购买商品的价格，每满60元立减5元；

优惠二:在优惠一之后，每满400元再减40元.

例如，一次购买商品的价格为140元，则实际支付金额为140-5xM=140-

L6UJ

5x2=130（元），其中冈表示不大于x的最大整数.又如，一次购买商品的价格为

880元厕实际支付金额为880-5x［嘤］-40x2=730（元）.

L6UJ

（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次

支付好，还是一次性支付好?请说明理由；

（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件.小明趁商场促销，想多购买

几件该商品,其预算不超过500元,试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价

格最低.最低平均价格是多少？

本章达标检测见增分测评卷P9

答案与分层梯度式解析

第五章函数应用

综合拔IWJ练

五年高考练

1.132a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),

令f(x)=2x+log2X,则f(a)<f(2b),

易知f(x)在(0,+8)上单调递增，

所以a<2b,故选B.

2.P令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kwR)恰有4个零点，即y=f(x)与

y=h(x)的图象恰有4个不同交点.

当k=/时,h(x)斗*2xH，+2x|在同一直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图

象，如图1所示.

此时y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4

个零点才非除A,B;

当k=l时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象如图2所示.

此时函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点，不符合题意才非除C.故选D.

3。令h(x)=-x-a,由题意可知函数f(x)与h(x)的图象存在2个交点，如图，

月㈤

当x=0时,h。=-a而图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点，需要-

、1,即笑-1.故选(：.

4.C由函数f(x)有零点彳导x2-2x+a(ex：L+ex+1)=0有解，即(x-l)2-l+a(ex；+e-

x+i)=O有解,

令t=x-L则上式可化为t2-l+a(et+e-t)=0,即a=嘉.

令h(t)二冷，易得h(t)为偶函数，

由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点，则此交点的横坐标

为0,

所以a=y与故选C.

5.答案(1)(2)(4)

解析令f(x)=|lgx|-kx-2=0,^#|lgx|=kx+2,

所以f(x)的零占个数即函羲g(x)与h(x)图象的交点个数.

当k=0时，如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点厕f(x)有两个零点，故⑴正确；

当k>0时，如图b,存在h(x)=kox+2的图象与函数g(x)=|lgx|(x>l)的图象相切

的情况，此时h(x)与g(x)的图象有两个交点，当0<k<k。时,g(x)与h(x)的图象有三

个交点，则f(x)有三个零点，故(4)正确；

&k<0而如图c,g(x但标x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有

一个交点，如图d,故⑵正确，⑶不正确.

综上，正确结论的序号为⑴⑵(4).

图C

图d

6答案(l,4);(l,3]U(4,+oo)

解析当人=2时,不等式f(x)<0等价于

俨22,或产<2,

lx-4<0"^U2-4x+3<0,

gp2<x<4或l<x<2,

故不等式f(x)<0的解集为(L4).

易知函数y=x-4(x£R)有一个零点xi=4,函数y=x2-4x+3(x£R)有两个零点

X2二1X：—3

在同二坐标系中作出这两个函数的图象，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以

下两种情形:①两个零点为L3,结合图可知,此时入>4.②两个零点为1,4,结合图可

知，此时1<入43.

综上，入的取值范围为(L3]U(4,+8).

7.答案(4,8)

解需设g(x)=f(x)-ax而题意可知方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数

y=g(x)有2个零点，即y=g(x)的图象与x轴有2个交点，满足条件的y=g(x)的图

象有以下两种情况：

情况一：

情况二：

=:，不等式组无解.

="8a>0,

综上，满足条件的a的取值范围是(4,8).

8.13因为Ro=3.28,T=6且Ro=l+rT,所以指数增长率r=攀=0.38,设累计感染

病例数增加1倍需要的时间为t天厕I(t)=2I(0),gpeJ2,即e。38t=2,两边取自然

对数得lne0-38t=ln2,即0.38t=ln2,又In2+0.69,所以t=占a然*1.8.故选B.

U.3OU.Jo

9.CI(t*)=—书=0.95K,整理可得严(9=19,两边取自然对数得0.23(广

53)=lnl9,解得566,故选C.

三年模拟练

ir若零点所处的初始区间为G，3

则fe)f(*(-2+W)(T+a-l)<。

解得2<a<|,所以a的取值范围为(2.|),故选C.

11

2.B易知f(x)在R上单调递增，其图象是一条连续的曲线.」(§=(『(券<0,f

11

削削(3>。,

・•・f(x)的零点所在的区间为质斗故选B.

3.A由题意知2乂丫=20,「冲=10,4=32<410),故选A.

4.A令f(x)=ex+x-2=0,则ex=2-x,

令g(x)=lnx+x-2=0厕Inx=2-x,

设yi=ex,y2=lnx,y3=2-x,

x

在同一平面直角坐标系中作出函数yi=e,y2=lnx,y3=2-x的图象，如图.

•.,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,

「•yi=ex与y3=2-x图象的交点的横坐标为a,y2=lnx与y3=2-x图象的交点的横

坐标为b面图象知a<1<b,故选A.

5.13依题意得f(x)与g(x)的图象有2个不同的交点，且f(x)的图象恒过点(0,2).

当a=0时,f(x)=2-x,止匕时f(x)与g(x)的图象仅有1个交点，舍去.

当a<0时,f(x)的图象开口向下且恒过点(0,2),此时f(x)与g(x)的图象一定有2个

不同的交点.

当a>0时,f(x)的图象开口向上且恒过点。2),对称轴为直线x=/且《>0.

当f(x)与g(x)的图象仅有1个交点时,可求得a=l，

要使f(x)与g(x)的图象有2个不同的交点，只需0<2<去

综上，实数a的取值范围是(-8,0)U(o,0.

故选B.

6.13由题意得把喘雷产=20%,

.•.^=1.2,.-.log2(l+X)=1.2log22000,

.•・1+入=200012,/.A=200012-1,

y.lg200012=1.2lg2000=1.2(lg2+3)*1.2x(0.3+3)=3.96,

.-.2OCX)12=103.96英120,/.A=2000i2_i=9119.

7.答案(l)y=2500x0.8x(2)7.2

解析⑴由题意知，经过x小时后，药物在病人血液中的量y=2500x(1-

20%)x=2500x0.8x,即y与x的关系式为y=2500x0.8\

(2)令2500x0.8x2500,即0.8x>0.2.

.・•0.8&02y=0.8x是单调递减函数，

/.x<7.2,

要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.

8.解析⑴由函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2,

可得l-3m+n=0,4-6m+n=0,解得m=l,n=2.

(2)由⑴可得f(x)=x2-3x+2.

由不等式f(x)-k>0在x£［0,5］上恒成立，可得不等式k<f(x)在x£［0,5］上恒成立，

,.,f(x)=x2-3x+2=(%-，工

「.f(x)=x2-3x+2在x£［0,5］上的最小值为f(|)=T，k<q.

⑶由⑴得g(x)="=x+|-3.

•