2023-2024学年高二数学2019选择性试题2

知识点01圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系：

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点;

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

2、圆与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解.

有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离.

(2)几何法:

设O。的半径为八，(DO2的半径为々，两圆的圆心距为d.

当|《一4＜"＜八+々时，两圆相交；

当八+与=1时，两圆外切；

当耳+々＜1时，两圆外离；

当|4一々|=〃时，两圆内切；

当,一修＞〃时，两圆内含.

知识点诠释：

判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种

方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时,

两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关

系时，一般不用代数法.

3、两圆公共弦长的求法有两种：

方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长.

方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长.

4、两圆公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.

(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条：

(3)两圆相交时，只有2条外公切线；

(4)两圆内切时，只有1条外公切线；

(5)两圆内含时，无公切线.

【即学即练1】圆G：(x+l/+(y-3)2=36与圆G：(x-2)2+(y+l)2=l的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.外离

【答案】B

【解析】由题意得圆6：依+1)2+83)2=36的圆心为。1(-1,3),半径为6,

圆G：(x-2)2+(y+l)2=l的圆心为G(2，T)，半径为I，

则|CC\=7(2+I)2+C-1-3)2=5=6-1,

故两圆内切，

故选：B

题型精讲

题型一：判断圆与圆的位置关系

例1.（2023・新疆•高二校联考期末）己知圆G：（x-1）2+F=l，圆G：（x-4）2+y2=4,则圆G与圆G的位

置关系为（）

A.相离B.相交C.外切D.内切

【答案】C

【解析】圆G的圆心G（1，O）与圆G的圆心G（4,o）,所以两圆的圆心距为3,

又圆G的半径为1,圆G的半径为2,且圆心距等于圆G与圆G的半径之和，

所以圆G与圆的位置关系为外切.

故选：c.

例2.（2023•江苏•高二假期作业）圆。—+/-4夕+3=0和圆。2：/+夕276y=0的位置关系是（）

A.相离B.相交

C.相切D.内含

【答案】D

22

【解析】«:f+（尸2）2=1,O2:x+（y-8）=64,

所以q(O,2),4=1,O2(0,8),弓=8,

QiQ|=J（O-O）2+（2-8/=6,则依勾=6<2-4=7,

所以两圆内含.

故选：D.

例3.（2023•福建宁德•高二统考期中）已知圆G：（x-3）2+（y-6）2=9,C2：Y+V-4y=3则两圆的位置关

系为（）

A.相离B.外切C.相交D.内切

【答案】B

【解析】由圆G的方程可得圆心£（3,6）,半径R=3,

圆G的方程化为/+（丁-2?=4,得圆心。2（0，2），半径r=2,

则IGC2I=%+（6-2）2=5=R+厂，

所以两圆外切.

故选:B.

变式1.（2023・贵州毕节•高二统考阶段练习）已知圆G：x2+/=i,圆G：（x-l）2+/=9,则圆«与圆C2的

位置关系为（）

A.外离B.相交C.相切D.内含

【答案】D

【解析】圆G的圆心为原点，半径为1.圆G的圆心为0,0），半径为3,

因为|CG|=i<3-i

所以圆G与圆G的位置关系为内含.

故选：D

变式2.（2023•全国•高二专题练习）圆O：》2+/=1与圆C:/+/+6了+5=0的位置关系是（〉

A.相交B.相离C.外切D.内切

【答案】C

【解析】圆。是以o（o,o）为圆心，半径4=1的圆，

圆C:x2+V+6y+5=0改写成标准方程为x2+（y+3>=4,则圆C是以C（0,—3）为圆心，半径0=2的圆，

则|OC|=3,{+与=3,所以两圆外切，

故选：C.

【方法技巧与总结】

利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注

意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求

出两圆圆心距d和两圆的半径R和广，再根据d与H+八d与R—r的大小关系来判定即可.

题型二：求两圆的交点

例4.（2023・全国•高二专题练习）圆/+/-2工-3=0与x2+K-4x+2y+3=0的交点坐标为.

【答案】（1，-2）和（3,0）

X+y：一°、c，两式相减得x=y+3,将其代入x2+y2_2x_3=0中得N=0或y=-2,

【解析】联立22

X2+/-4X+2^+3=0

x=3x=\

进而得…或

y=-2

所以交点坐标为（1，-2）,（30）

故答案为:（L-2）和（3,0）

例5.（2023•高二课时练习）若一个圆经过点〃（2,-2）及圆/+/-6.0与圆x2+/=4的交点，求此圆的

方程.

22

x=7x——

J

【解析】联立一+/-8=0与犬+>2=4解得「或，即两圆交点坐标为与

4Vr24母

y=-r-y=---

33

4+4+2Z)-2E+F=0

(2—逑］-+—+-D+^^E+F=0,解

设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点坐标代入得:

9933

\/

4322n3口二八

—+——+—D-----E+F=0

9933

D=-3

得：＜E=0,所以此圆的方程为：X2+/-3X-2=0.

F=—2

例6.（2023・全国•高二专题练习）求圆/+/一2%一3=0与圆/+/一41+2产3=0的交点的坐标.

x2+/-2r-3=0

【解析】由题设,相减可得V=%一3,

x2+/一4工+2y+3=0

所以—+(1—3)2-2%-3=2x2-8x+6=0»解得x=l或x=3,

当x=l时，歹=1-3=-2；当x=3时，y=3-3=0；

所以交点坐标为(1,-2)、(3,0).

变式3.(2023・高二课时练习)证明下列两圆相切，并求出切点坐标：C,:X2+/+2X+2J；+1=0,

2

C2:x+y-6x+8^4-9=0.

【解析】G:/+/+2x+2y+1=0=>1+1『+[+1?=],所以圆心为,半径为4=1；

。2：/+/一6x+8y+9=0=（%-3『+（y+4）2=16,所以圆心为。2（3,-4）,半径为4=4；

所以两圆心间的距离为<。2|=1（-1一3）2+（—1+4）2=5,且斗+弓=5,因此|。。2|=《+弓，故两圆相外切;

1

x=—

J?+/+21+2），+1=0解得5

故切点为・

x2+y2-6x+Sy+9=0

【方法技巧与总结】

直接联立两圆方程求交点.

题型三：由圆的位置关系确定参数

例7.（2023・全国•高二课堂例题）在平面直角坐标系xQy中，O为坐标原点，点/（0,3）,若圆

U（x-3『+（y-3）2=/上存在动点M满足|设4|=2|阳，贝卜的取值范围是.

【答案】［3,7］

【解析】设M（x,y）,因为动点加满足|必|=2|图，所以+&_3）2=2&,化简得

x2+y2+2y-3=0.

又动点M在圆C上，所以圆x2+V+2y-3=0与圆C有公共点，所以―24心+（3+1,4r+2，解得

34r47.

故答案为：［3,7］

例8.（2023・高二课时练习）已知。Q与OQ的方程分别为（x-l）2+/=l,（x+l）2+V=/&>］）,若两圆相

交，贝什的取值范围是.

【答案】l<r<3

【解析】所以"l<d<r+l,

即厂一1<2<厂+1,

所以1<厂<3.

故答案为：l<r<3.

例9.（2023•高二课时练习）若圆一加=o与圆/+产一4%_5=0内切，则加的值是

【答案】1或25

【解析】由f+j?一〃?=0,得彳2+^2=〃?，则圆心为。（0,。），半径为4=（加>0）,

由X?+「-4工一5=0,得（犬一2）2+/=9,则圆心为。（2,0）,半径与=3,

因为圆42+'2一〃?=：0与圆工2+,2-4工一5=0内切，

所以|耳_弓|=|而一3卜2,所以赤—3=2或砺_3=_2，

解得〃?=25或阳=1,

故答案为：25或1

变式4.（2023•福建宁德•高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知圆G：x2+/-6x+2y+15-/=o与

圆G：x?+y2+（10-2b）x-2勿-1=0相交于力（X|,必）,8（々,力）两点，且满足x：+y：=X；+货,则

h=.

【答案】4

4

【解析】根据题意，圆/+/一6%+2歹+15-。2=0,

则（-6丫+22-4（15-〃2）=_20+4/>0,则〃<_石或括，

其圆心为“，且”的坐标为1-',即（3,-1）

圆GIx~+j广+（10—2b）x—2.by-1=0,

根据C2表示的是圆，则（10-助）2+（-2冲2+4=（10-2@2+4方+4>C恒成立,

其圆心为N,且N的坐标为-子）即他-5,6）,

两圆的相交于/（网,必），8（%,力）两点，则的垂直平分线为MN,

又由Z（x”J,8（々,力）满足x；+y；=x；+y；,

即|0/|=|。叫，点。也在直线MN上，

则有士-1-^0=三b，即弘=5-6,解可得65

3-0b-54

变式5.（2023•上海嘉定•高二上海市育才中学校考阶段练习）己知圆C：（x+l）2+（y-4）2=/&>o）和点

41,oL。为坐标原点，若圆C上存在点尸满足|PO|=21PM，则r的最大值为.

【答案】6

【解析】设尸（XJ），由|P0|=21PM，得后，=2小（x_§+y2,整理得/+/-以+3=0,

即点P在圆（x-2y+/=i上，其圆心为8（2,0）,半径为1,

又点尸在圆C:（x+iy+（y-4）2=〃上，圆心。（一1,4）,半径为『，

因此圆（x-2>+/=1与圆（x+厅+（歹-4）2=，有公共点，

即有|一半忸。41+乙且忸C|=5,解得44"6,

所以『的最大值为6.

故答案为：6

变式6.（2023・全国•高二专题练习）已知圆01：（》-姆+（产2）2=9与圆02：（》+〃）2+3+2）2=呐切,则

m2+〃2的最小值为

【答案】2

【解析】圆«的圆心为（加,-2）,半径为「=3,圆外的圆心为（f，-2）,半径为4=1,

，两圆的圆心距d=|"?+"|,

；两圆内切，.1|"，+”|=2,可得/+“2+2"?〃=4n4-（〃/+"2）=2〃i"V"「+/,

所以苏+/Z2.当且仅当网=同=1时,取得最小值,〃/+〃2的最小值为2.

故答案为：2.

变式7.（2023・全国•高二专题练习）已知圆心在原点的单位圆G和圆C2:/+/-6x+8y+25-/w=0外切,

【答案】16

【解析】圆G圆心为（0,0）,半径为1,圆C2：（x—3）2+3+4）2=加，圆心为（3,4）,且机>0,半径为标，

所以圆心距4=J32+42=5，因为两圆外切，所以1+诟=5,所以〃?=16.

故答案为：16

变式8.（2023・全国•高二专题练习）已知点”（1,〃?），8（1,2石-机），若圆0/+贯+2工=0上有且只有一点

P，使得以1PB,则实数m的一个取值为.（写出满足条件的一个即可）

【答案】指+2（答案不唯一）

【解析】由题知，圆C:/+j?+2x=0,

BP（X+1）2+/=1,圆心为（-1,0）,半径r=l,

设中点为M,因B（l,2V5-/n）,

则"（1,右），闷=22一“，

以N8为直径的圆为（欠-以+U-君）=,

因为圆C:x2+/+2x=0上有且只有一点尸，使得R41PB,

则圆C与圆M相切，

又=+（b-0『=3,

即有2一司+1=3或2_司-1=3,

解得〃7=6±2或〃2=6±4.

故答案为：y/s+2

题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长

例10.（2023・全国•高二专题练习）圆/+/-4》+4了-12=0与圆/+/=4的公共弦所在的直线方程

为.

【答案】x-y+2=0

【解析】联立卜-72=0,两式相减得》r+2=0.

[x+/=4

故答案为：x-y+2=0

例11.（2023•福建福州•高二福建省福州高级中学校考期中）圆G：/+/-4》+1=0与圆G：

x2+1/-2x-2y+l=0的公共弦长为.

【答案】2

【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为2x-2y=0,

圆G：x2+/-4x+l=0的标准方程为（x-2>+/=3,其圆心G（2,0）,半径4=6;

圆心G（2,0）到公共弦2x-2y=0的距离d=J"?=应

V22+22

所以公共弦长为2代2_/=2J三=2.

故答案为：2

例12.（2023・全国•高二专题练习）已知圆£：（工-4）2+。-3）2=16与圆G：x2+y2-2x+2y-9=0,若两

圆相交于4B两点,则|力同=

【答案】2币

【解析】圆G的方程为（x—4）“+（y—3）~=16,即/+/一8工—6y+9=0①，

又圆G：x2+y2-2x+2y-9=0②，

②一①可得两圆公共弦所在的直线方程为6x+8y-18=0,

圆G的圆心（4,3）到直线的距离d[24：；4:18|=3,

A/62+8“

所以|/8|=2jl6-9=277.

故答案为：2币.

变式9.（2023•上海•高二专题练习）已知圆/+/=4与圆x2+/-2o:+y-5=0相交，则它们的公共弦所在

的直线方程是

【答案】2x-y+}=0

【解析】由题意，・・・圆X2+J?=4与圆x2+V-2x+y-5=0相交，

两圆的方程作差得2x-y+l=0,

即公式弦所在直线方程为2x-y+l=0.

故答案为：2x-y+l=0.

变式10.（2023•全国,高二专题练习）圆Q：/+/-13=0与圆Q：/+/-61+5=0的公共弦所在直线方

程为.

【答案】x-3=0

【解析】圆4：/+/-13=0的圆心为（0,0）,半径为4=旧，

圆。2:x~+-6戈+5=（）的圆心为（3,0）,半径为4=2,

则4-&vao/=3<，i+2，则两圆相交，

故将两圆方程相减可得：6x-18=0,即x-3=0,

即圆。：/+/-13=0与圆。2：/+/-6》+5=0的公共弦所在直线方程为x-3=0,

故答案为：x-3=0

变式11.（2023・湖南长沙,高二长郡中学校考期末）圆G：/+/-2*+10>-24=0与圆

22

C2:x+y+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为.

【答案】x-2y+4=0

[解析】联立两圆的方程得F；+[一:+°，

x2+y2+2x+2y-S^0

两式相减并化简，得x-2y+4=0,

所以两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.

故答案为：x-2y+4=0.

变式12.（2023•全国•高二专题练习）已知圆£：（x-a）2+/=4与。2：*2+3-与2=1&,北1<）交于48两点.

若存在。，使得|/回=2,则b的取值范围为.

【答案】卜百,6]

【解析】圆G：（X-〃）2+V2=4的圆心G（a，0），半径4=2,圆C?:f+a-6）2=1的圆心G（0力），半径4=1

若两圆相交，则h-4<C[G<4+弓，所以1<J/+b2<3,即1</+/<9，

又两圆相交弦AB所在直线方程为：（x-a）2+炉-X?-（y-/?）2=4-1即2ax-2by-a2+62+3=0

-0-a2+b24-

所以圆心G（〃，°）到直线48的距离4=，圆心色（0力）到直线N3的距离

d4a2+4/

\0-2h2-a2+h2+?>\

“2

+462

2

=百

所以卜,则<d4a2+4/

则弦长|/却=2MY=2后至=2,»所以/+〃=3,

2

,2+b-3|

d2=0

=0

2+4h2

若存在。，使得|48|=2,则〃43,即-6«64百，所以6的取值范围为卜百,

故答案为：［-73,#|.

变式13.（2023•广东湛江•高二湛江二H■一中校考期中）己知圆G:/+/+4》+1=0和圆

22

C2:x+y+2x+2y+\=0,则圆G与圆G的公共弦的弦长.

【答案】2

【解析】圆G：（x+2）2+/=3的圆心C1-2,0）,半径4=6，

圆G：。+1）?+3+=1的圆心02（-LT），半径2=1，

所以IGC?|=0<4+々=1+如，满足两圆相交有公共弦，

两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：（/+V+叙+1）-卜2+V+2x+2y+1）=0,即x-y=0,

所以圆心c,（-2,0）到直线X-y=0的距离4=与4=72,则公共弦长为2妤彳=243^2=2.

故答案为：2.

【方法技巧与总结】

求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可.这是因为若两圆相交，其交点坐标

必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两

圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用.

题型五：圆的公切线条数

例13.（2023•江西景德镇•高二统考期中）圆«:（工一3）2+（夕+4）2=25与圆。2：/+/+以-盯-44=0的公

切线条数为（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【答案】C

【解析】圆Q的圆心为a（3,-4）,半径为。=5,

圆仪的标准方程为（x+2y+（y-4）2=64,圆心为仪（一2,4）,半径为々=8,

所以，|。。2|="（3+2）2+（-4-4）2=屈,所以，,一引

即圆。1与圆。2相交，故两圆的共有2条公切线.

故选：C.

例14.（2023・全国•高二专题练习）圆G:（x+2f+（y+4）2=25与圆q：。+1>+/=9的公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】圆G：（x+2）2+3+4）2=25的圆心坐标为（-2,-4）,半径为5：

圆6：（》+1）2+必=9的圆心坐标为（-1,0）,半径为3,

所以两圆的圆心距为

因为5-3<Ji7<5+3，所以两圆相交，

所以两圆的公切线有2条.

故选：B.

例15.（2023・安徽合肥•高二统考开学考试）若两圆》2+/+6疯+9〃L9=0（加>0）和

/+「-4m—1+4〃=05>0）恰有三条公切线，则_1+；的最小值为（）

m4〃

11一

A.—B.-C.1D.4

164

【答案】C

【解析】圆f+/+6疯+9加-9=0（〃?>0）的标准方程为1+3诟『+/=9,圆心为Cj—3诟,0）,半径

为「=3,

圆-1+4〃=0（〃>0）的标准方程为一+卜一2〃/=1,圆心为G（0,26），半径为弓=1,

因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则|CC|=卜而一0『+（0-28j=.+<=4，

即9〃?+4/7=16,

..1+±=9»1±4«0+OLj畀卜/吗2U的2j^Ql,

m4n164〃J16V加4〃J164〃）

当且仅当例="，即3机=4〃=4时，等号成立，

m4/7

故工+」的最小值为1.

m4〃

故选：C.

变式14.（2023•广东佛山•高二校联考阶段练习）已知圆G：/+/一41+2在+。2+3=0和圆G：

/+『+21_4"+4。2_1=0,则圆G与圆。2的公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】两圆的标准方程分别为(x-2y+(y+a)2=l和(x+iy+(y-2a)2=2,

圆心分别为G(2,-。)，G(T，2a),半径分别为｛=1,

圆心距|CC|=J(-l-2『+[2a-(-a)]2=371+a2>3，故|GG|>4，

所以圆G与圆外离，所以圆G与圆有4条公切线.

故选：D

变式15.(2023•福建厦门•高二统考期末)已知圆G：/+_/-2mx+苏-9=0与圆C2:-2y=0,若G

与G有且仅有一条公切线，则实数〃?的值为()

A.+1B.±72C.+y/3D.±2

【答案】C

【解析】圆G：x2+y2-2/wx+相2_9=0可化为G：(X-〃?)2+/=9,圆心为J(肛0),半径为0=3,

圆C2：x2+y2-2y=0可化为G：x2+(y_l)2=l,圆心为6(0,1),半径为4=1,

乂a与C?有且仅有一条公切线，

所以两圆内切，

因此h-川=口£|，即J(m-O)2+(O-l/=2,

解得m-±6>

故选：C

变式16.(2023・四川南充•高二统考期末)已知点4(2,2),5(-2,-1),若点/到直线/的距离为1,点8到

直线/的距离为4,则满足条件的/有()条

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为点/到直线/的距离为1,

所以直线/为以A为圆心，1为半径的圆的切线，

同理直线/还是以8为圆心，4为半径的圆的切线，

即直线/为圆A与圆8的公切线，

由题意，满足点A到直线/的距离为1,点8到直线/距离为4的直线/的条数即为圆A与圆B的公切线条数,

因为|力8|=](2+2『+(2+1)2=5=1+4,所以两圆外切，

所以两圆的公切线有3条，即满足条件的直线/有3条.

故选：C.

题型六：圆的公切线方程

例16.（2023・河北廊坊•高二校联考开学考试）同时与圆G:（x-iy+（y-2『=2和圆C2：（x-3y+（y-4）2=2

都相切的一条直线方程为.

【答案】x+y-5=0（或x-y+3=0或x-y-l=0,答案不唯一）

【解析】（x-l『+（六2『=2的圆心为G（l,2）,半径为「灰,

（工一3）2+（了-4＞=2的圆心为。2（3,4）,半径为4=0，

故|C,C2|=J（3-1?+（"2）2=2垃=八',

所以圆G与圆G两圆外切，

将两个圆的方程相减即得x+y-5=o,这是内公切线方程.

由于两圆的半径相等，故外公切线与直线GG平行，

因为直线GG的方程为三=F，即x-y+i=o,

设外公切线方程为x-y+/«=0,

ffl

由l*1=&,得加=3或，”=-1,

V2

即两条外公切线方程分别为'7+3=0和x-y-l=0.

故答案为：x+y-5=0（或x-y+3=0或x-y-1=0,答案不唯一）

例17.（2023•全国•高二专题练习）写出与圆。：/+/=1和a：（x-3）2+V=i都相切的一条直线方

程.

【答案】y=±乎。-｝或＞=±1中任何一个答案均可

【解析】圆》2+『=1的圆心为G（O,O）,半径为4=1,

2

圆O2:（X-3）+/=1的圆心为G（3,0）,半径为4=1,

则口。2|=3＞外+4,

所以两圆外离，

由两圆的圆心都在X轴上，则公切线的斜率一定存在，

设公切线方程为尸=履+6,即Ax-y+6=0,

’275,2君

k=---k------

5或«，或左=0fk=0

解得36一乂6=1或

h,3V5b=-l

b=-----b=---

55

所以公切线方程为"土乎（-》或'=±1.

故答案为：夕=1.（答案不唯一，写其它三条均可）

例18.（2023・全国•高二专题练习）已知圆q：/+/=i,圆Q:（x-2）2+/=4.请写出一条与两圆都相切的

直线方程：.

【答案】x+与+2=0（或x-岛+2=0）

【解析】圆«：/+/=1圆心口（0,0）,半径4=1,

圆。2:（x-2『+/=4圆心O?（2,0）,半径4=2,

由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为

如图所示，

则4^=上=；,即/。|=1/。2，所以"）=4（2-%,-打）,

AC/2<2Z22

解得％=-2,%=0,所以4（-2,0）,

设公切线/：y=k（x+2）,所以圆心Q到切线/的距离4=平1=1,解得左=±走，所以公切线方程

S+K3

为卜=±^^（乂+2）,即x+>/Jy+2=0或+2=0.

故答案为：x+与+2=0（或x-岛+2=0）

变式17.（2023•全国•高二专题练习）写出与圆XZ+/=1和圆/+/+6x—匕+9=0都相切的一条直线的方

程.

【答案］》=1或3x-4y+5=0或7x+24y+25=0（三条中任写一条即可）

【解析】圆/+/=1的圆心为（0,0）,半径为4=1；

圆/+_/+6x-8y+9=0的圆心为（-3,4）,半径为“=4；

(0,0)与(-3,4)的距离为5=4+大所以两圆外切.

4

过(0,0)与(-3,4)的直线方程为y=-x.

由图可知，直线x=l是两圆的公切线，

4

由，y=——3x解得少=—晨4设《(＞4日、，

x=1')

44

设两圆的一条公切线方程为y+§=Mx-l),丘-了-：一左=0,

4

(0,0)到直线丘-了-5-左=0的距离为1，

所以两圆的一条公切线方程为-金7-k]4+(7=0,即7乂+24产25=0.

X2+I；2=]

由22一，oc八两式相减并化简得3工-勺+5=0,

5+_/+6x-8y+9=0

所以两圆的公切线方程为x=l或3x-4y+5=0或7x+24y+25=0.

故答案为：x=l或3x-4y+5=0或7x+24y+25=0(三条中任写一条即可)

3.IJ+5-O

7/24.25-0

变式18.(2023・全国•高二专题练习)已知圆G：x2+/-4x-2y+3=0与圆。2：，+「一品-6夕+7=0,则

圆£与圆G的公切线方程是.

【答案】x+y-l=o

【解析】圆C：x2+y2-4x-2y+3=0,即(x-2『+(y-l『=2,圆心为C[2,l),半径1及.

22

[g]C2:x+-8x-6y+7=0,BP(x-4)+(y-3)'=16,圆心为。2(4,3),半径4=3亚.

圆心角|GG|=，石彳=2逝=「-弓|，所以两圆内切，

X2+/-4X-2J+3=0X=1

由，21J

X+/-8X-6J；+7=0'y=o

所以两圆切点的坐标为(1,0),

3-1

Q,c,=}==1，所以公切线的斜率为T，

C'J4-2

所以公切线的方程为歹=-l(x-l),即x+y-l=0

故答案为：x+y-l=0

变式19.(2023•广东深圳•高二校考阶段练习)圆G=1与圆G：》2+/-8x-9=0的公切线方程

为.

【答案】x=—1

【解析】圆&：/+/-8》-9=0,BP(X-4)2+/=25,

得G(0,0)，4=lC(4,0)，4=5,

所以^61=4-4=4

故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，

22

,[x+y-8x-9=0z[x=-l

由2，।得n

x+y=\[y=o

所以切点为(T,0),

故公切线方程为x=-L

故答案为：x=—1.

题型七：圆系问题

例19.(2023•高二课时练习)经过直线x+y+l=0与圆/+/=2的交点，且过点(1,2)的圆的方程

为.

??11

[答案]J+y2_：/_：、一丁=0

444

【解析】由己知可设经过直线x+y+l=0和圆/+)，=2的圆系方程为

-2+%(x+y+l)=0,

又因为圆过点(1,2),所以1+4-2+和+2+1)=0,解得：2=-43，

4

故所求圆的方程为/+/一：1工一1；P一I二1二0.

444

3111

故答案为：,+V一二=0.

444

例20.(2023・高二课时练习)过圆x2+V-2y-4=0与x2+V-4x+2y=0的交点，且圆心在直线

/:2x+4y-l=0上的圆的方程是.

【答案】x2+y2-3x+y~l=0

【解析】设圆的方程为一+丁―4x+2y+〃x2+r—2y-4）=0（/lH-l）,

贝Ij（l+；l）x2_4x+（l+/l）y2+（2_2；l）y_4/i=0,

2242—2Z42八匚山、1同、*1/L-yr（22—1）

n即nx—-X+———y——-=0,所以圆心坐标为；--,

把圆心坐标（三代入2x+4y-l=0,可得2=?，

所以所求圆的方程为/+/一3x+y-l=0.

故答案为：x2+y2-3x+y-}=0.

例21.（2023•江苏•高二专题练习）曲线3/-尸=3与夕=/-右-8的四个交点所在圆的方程是.

【答案】（x-4）2+（y-2>=49

【解析】根据题意得到：3x2-/-4（x2-2x-8）=3-4y,化筒得到答案.3/-丁=3,y=/-2x-8,故

3x2_y2_4廿-2x-8）=3-4y,

化简整理得到：x2+y2-Sx-4y-29=0,即（x-4>+3-2产=49.

故答案为:（X-4）2+（^-2）2=49.

变式20.（2023・安徽铜陵•高二铜陵一中校考期中）经过直线x-2y=0与圆f+V-dx+Zy-d：。的交点，

且过点（1,0）的圆的方程为.

【答案】x2+y2+3x-\2y-4=0

【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：

x2+/-4x+2y-4+/l（x-2y）=0

•••所求圆过点（1,0）

-7+4=0

解得彳=7

所以圆的方程为一+/-4苫+2y-4+7（x-2y）=0,x2+y2+3x-\2y-4=0.

故答案为：x2+y2+3x-}2y-4^0.

变式21.（2023•高二校考课时练习）过两圆/+/—为一了一2=0与d+y2+4x-4），-8=0的交点和点（3,1）的

圆的方程是.

।a

【答案】x2+y2-yX+y+2=0

【解析】设所求圆的方程为：（x2+/—x-y-2）+/l（，+y2+4x-4y-8）=0

7

将（3,1）代入得：A=-j

i?

，所求圆的方程为：x2+y2-jx+y+2^0

本题正确结果：x2+y2-yx+y+2=0

变式22.(2023•浙江杭州•高二校考期末)己知一个圆经过直线，：2x+y+4=0与圆。“2+炉+2》-仙=0的

两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.

■fr22261232_

［答案］x%-—y+—=0

【解析】可设圆的方程为d+y+2x-4y+〃2x+y+4=0)=0.

即?+y2+2(1+/l)x+(/l—4)y+44=0.

此时圆心坐标为卜1-4——,

当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，

4-2

2(-1-2)+^^+4=0,

Q

解得几屋，

则所求圆的方程为葭夕+/=0,

故答案为X2+y~-+=0.

变式23.(2023•江西九江,高一统考期中)经过两圆f+/+6x—4=0和》2+/+6^-28=0的交点，且圆心

在直线x-y-4=0上的圆的方程为

【答案】x2+y2-x+7y-32=0

【解析】由题可先设出圆系方程；x2+y2+6x-4+〃x2+/+6y-28)=0,则圆心坐标为；(-/，-鼻)，

14-A1+4

又圆心在直线x—y-4=0上，可得；二-4=0,解得2=—7.

1+21+2

所以圆的方程为：x~+y2—x+7y—32—0.

故答案为：x~+—x+1y—32=0.

【方法技巧与总结】

求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交点，而是利用

它们的直线系方程(圆系方程).

(1)直线系方程：若直线4：4X+8/+G=0与直线(：4x+层了+G=。相交于点P，则过点P的直

2

线系方程为：A］(J,x+S1^+C1)+/i2(J2x+S2y+C2)=0(A,+##0)

简记为：书+44=。(片+若30)

当4x0时，简记为：/1+〃2=0（不含，2）

（2）圆系方程：若圆G：x2+y2+0x+&y+E=O与圆C2：x2+y2+。2x+E2y+£=O相交于Z,8两

22，22

点，则过1,8两点的圆系方程为：x+y+P,A-+£1J；+^+A（x+y+D2x+E2y+F2）=O（A^-l）

简记为：q+2c2=0（/lw-l）,不含C2

当；l=-l时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）+与-g=0

注意：与圆C共根轴/的圆系Q:C+/l/=0

强化训练

一、单选题

1.（2023・高二单元测试）已知圆C:x?+/-2x+〃?=0与圆（x+3），+（y+3p=4外切，点尸是圆C上一动点,

则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为（）

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

【解析】由（7:一+/一2』=0化为标准方程为（M+J-m,

即圆心C（l,0）,半径为Ji二/，

由（x+3『+（y+3『=4知其圆心为（-3,-3）,半径为2,

而两圆外切则有：2+J1-〃?="（1+3『+（0+3/=>/«=-8.

因为圆心C（L0）到直线5x+12y+8=0的距离d==1，

所以点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为1+3=4.

如图所示：此时P、/两点重合.

故选：C.

2.（2023•广东东莞・高二东莞实验中学校考期中）圆9：工2+/—2%=0与圆O2：/+V+外=。的位置关

系是()

A.外离B.外切C.