2024届辽宁省锦州市中考四模数学试题含解析

2024届辽宁省锦州市中考四模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，AB是。O的弦，半径OC_LAB于点D,若。。的半径为5,AB=8,则CD的长是（）

A.2B.3C.4D.5

2.如图，在AA5C中，边上的高是（）

A.ECB.BHC.CDD.AF

3.桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边的黑点，则B球一次反弹后击中A球的概率是（）

4.定义：如果一元二次方程or2+〃x+c=0（.刈）满足a+6+c=0,那么我们称这个方程为"和谐”方程；如果一元二次方

程a/+取+c=o（〃舛）满足a-Hc=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是

“美好”方程，则下列结论正确的是（）

A.方有两个相等的实数根B.方程有一根等于0

C.方程两根之和等于0D.方程两根之积等于0

2

5.直线y=§x+4与x轴、y轴分别交于点A和点3,点C,。分别为线段A5,的中点，点P为上一动点，

PC+尸。值最小时点P的坐标为（）

53

A.(-3,0)B.(-6,0)C.0)D.(——，0)

22

6.如图，AB是。。的直径，点C,D,E在。O上，若NAED=20。，则NBCD的度数为()

A

V\

(\o、

BIP

A.100°B.110°C.115°D.120°

7.下列计算正确的是()

A.2x-x=lB.x2»x3=x6

C.(m-n)2=m2-n2D.(-xy3)2=x2y6

8.点A(a,3)与点B(4,b)关于y轴对称，则(a+b)2。*的值为()

A.0B.-1C.1D.72°i7

9.地球上的陆地面积约为149000000千米2,用科学记数法表示为()

A.149x106千米2B.14.9x107千米2

C.1.49x108千米2D.0.149x109千2

10.如图所示，NE=NF=90,NB=NC,AE=AF,结论：®EM=FN；②CD=DN；③；

®AAGV=AABM,其中正确的是有（）

C

1B

N

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CELAB,垂足E在线段AB上，连接EF、CF,

则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)ZDCF=-ZBCD,(2)EF=CF；(3)

SABEC=2SACEF;(4)NDFE=3NAEF

12.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=5,点E是边C£＞的中点，将A沿AE折叠后得到△A尸E.延长A尸

交边5c于点G,则CG为

13.因式分解：3a3-6a2b+3ab2=

14.新田为实现全县“脱贫摘帽”，2018年2月已统筹整合涉农资金235000000元，撬动800000000元金融资本参与全

县脱贫攻坚工作，请将235000000用科学记数法表示为

15.如图，已知△4BC和△AOE均为等边三角形，点OAC的中点，点。在A射线3。上，连接OE,EC,若45=4,

则OE的最小值为.

16.小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家

餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：

评价条数等级

五星四星三星二星一星合计

餐厅

甲53821096129271000

乙460187154169301000

丙4863888113321000

（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在________（填“甲”、

“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）（1）如图1,半径为2的圆O内有一点P,切OP=L弦AB过点P,则弦AB长度的最大值为；

最小值为.

（2）如图2,△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中NABC=90。，AB=80米，BC=60米，现在他利用周边地的情况,

把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘.已知葛叔叔想建的鱼塘

是四边形ABCD,且满足NADC=60。，你认为葛叔叔的想法能实现吗？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大

值；若不能，请说明理由.

A

图②

18.(8分)已知：如图，四边形ABCD中，AD〃BC,AD=CD,E是对角线BD上一点，且EA=EC.

（1）求证:四边形ABCD是菱形;

(2)如果NBDC=30。，DE=2,EC=3,求CD的长.

cos30°-cot45°

cos60°

20.（8分）如图，AA5C和A3EC均为等腰直角三角形，且/4。8=/5E。=90。，AC=4五,点P为线段BE延

长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角ACPZ>,线段5E」与CZ>相交于点F.

（2）连接3。请你判断AC与5。有什么位置关系？并说明理由；

（3）若PE=1,求APB。的面积.

21.（8分）（1）计算：枢-2sin45°+（2-n）0-（—）-1；

3

（2）先化简，再求值，一・（足-"），其中。=0,b=-242.

a"-ab

22.（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：

3+2收=a+/2,善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b夜=（m+n拒）一（其中a、b、m、n均为整数），贝第a+be^n?+2i?+2mn应.

.•.a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b&的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

当a、b、m>n均为正整数时，若a+b百=（m+n0），用含m、n的式子分别表示a、b,得2=,b

_________5

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n,填空：_+=（+73）2；

（3）若a+4月=（加+〃石「，且a、b、m、n均为正整数，求a的值.

23.（12分）如图,矩形。45c摆放在平面直角坐标系xQy中，点A在x轴上，点。在y轴上,QA=8,OC=6.

⑴求直线AC的表达式；

⑵若直线丁=》+人与矩形Q钻C有公共点，求力的取值范围；

（3）直线/：y=Ax+10与矩形Q钻C没有公共点，直接写出左的取值范围.

备用图

24.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞.现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和

每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.

甲乙

价格（万元/台）75

每台日产量（个）10060

⑴按该公司要求可以有几种购买方案？如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资

金应选择什么样的购买方案?

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

试题分析：已知AB是。O的弦，半径OCLAB于点D,由垂径定理可得AD=BD=4,在R3ADO中，由勾股定理

可得OD=3,所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A.

考点：垂径定理；勾股定理.

2、D

【解析】

根据三角形的高线的定义解答.

【详解】

根据高的定义，AF为AA5C中5c边上的高.

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键.

3、B

【解析】

试题解析：由图可知可以瞄准的点有2个.

2

二B球一次反弹后击中A球的概率是一.

7

故选B.

4、C

【解析】

试题分析：根据已知得出方程ax2+/）x+c=0（存0）有两个根x=l和x=-1,再判断即可.

解：,把x=l代入方程ax1+bx+c=d得出：a+b+c=O,

把x=-1代入方程ax2+bx+c-0得出a-b+c-Q,

方程aj^+bx+c=Q（存0）有两个根x=l和x=T,

.*.1+（-1）=0,

即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；

故选C.

5、C

【解析】

因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C(-3,1),点D(0,1).

再由点D，和点D关于x轴对称，可知点D，的坐标为(0,-1).

设直线CD，的解析式为y=kx+b,直线CD，过点C(-3,1),D'(0,-1),

2=-3k+b__k」

所以《,解得：＜3,

-2=b

b=-2

4

即可得直线CD，的解析式为y=--x-l.

,443

令y=x-1中y=0,贝!|0=x-1,解得：x=,

332

3

所以点P的坐标为(--,0).故答案选C.

2

考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题.

6、B

【解析】

连接AD,BD,由圆周角定理可得NABD=20。，NADB=90。，从而可求得/BAD=70。，再由圆的内接四边形对角互

补得到NBCD=110。.

【详解】

如下图，连接AD,BD,

•••同弧所对的圆周角相等，.*./ABD=NAED=20。,

TAB为直径，.\ZADB=90°,

:.ZBAD=90°-20°=70°,

ZBCD=180o-70°=110°.

故选B

—T•v

E产/\

传

【点睛】

本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.

7、D

【解析】

根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幕的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A>2x-x=x,错误；

B、x2»x3=x5,错误；

C、(m-n)2=m2-2mn+n2,错误；

D、(-xy3)2=x2y6,正确；

故选D.

【点睛】

考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果.

8、B

【解析】

根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案.

【详解】

解：由题意，得

a=-4,b=l.

(a+b)2017=(-1)2017=-1,

故选B.

【点睛】

本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数得出a,b是解题关键.

9、C

【解析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小

于1时，n是负数.

解：149000000=1.49x2千米1.

故选C.

把一个数写成axion的形式，叫做科学记数法，其中lW|a|V10,n为整数.因此不能写成149x106而应写成1.49x2.

10、C

【解析】

根据已知的条件，可由AAS判定△AEB义AAFC,进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确.

【详解】

解:如图:

在小AEB^DAAFC中，有

'NB=NC

<AE=AF=90°,

AE=AF

/.△AEB^AAFC；（AAS）

，ZFAM=ZEAN,

/.ZEAN-ZMAN=ZFAM-ZMAN,

即NEAM=NFAN；（故③正确）

又,.•/E=/F=90。，AE=AF,

/.△EAM^AFAN；（ASA）

；.EM=FN；（故①正确）

由4AEB^AAFC知：ZB=ZC,AC=AB；

又•.•/CAB=NBAC,

.♦.△ACN四△ABM；（故④正确）

由于条件不足，无法证得②CD=DN；

故正确的结论有：①③④；

故选C.

【点睛】

此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、①②④

【解析】

试题解析：①'.7是AD的中点，

.\AF=FD,

.在nABCD中，AD=2AB,

AAF=FD=CD,

.\ZDFC=ZDCF,

VAD/7BC,

AZDFC=ZFCB,

AZDCF=ZBCF,

.\ZDCF=-ZBCD,故此选项正确;

2

延长EF,交CD延长线于M,

四边形ABCD是平行四边形,

；.AB〃CD,

ZA=ZMDF,

；F为AD中点，

/.AF=FD,

在4AEF和小DFM中，

ZA=ZFDM

[AF=DF,

ZAFE=ZDFM

/.△AEF^ADMF(ASA),

.\FE=MF,ZAEF=ZM,

VCE±AB,

.\ZAEC=90°,

.,.ZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

.\FC=FM,故②正确；

③；EF=FM,

SAEFC=SACFM,

VMOBE,

**•SABECV2sAEFC

故SABEC=2SACEF错误;

④设NFEC=x,贝!|NFCE=x,

:.ZDCF=ZDFC=90°-x,

ZEFC=180°-2x,

:.ZEFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,

ZAEF=90°-x,

/.ZDFE=3ZAEF,故此选项正确.

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线.

4

12、一

5

【解析】

如图，作辅助线，首先证明AE歹G之ZiECG,得到FG=CG（设为x）,NFEG=NCEG；同理可证A尸=AO=5,ZFEA

=NDEA,进而证明△AEG为直角三角形，运用相似三角形的性质即可解决问题.

【详解】

连接EG；

•.•四边形A3。为矩形，

AZD=ZC=90°,Z>C=A5=4；

由题意得：EF=DE=EC=2,ZEFG=ZD=90°；

在RtAEFG与RtAECG中,

EF=EC

EG=EG，

ARtAEFG^RtAECG(HL),

:.FG=CG(设为x),NFEG=NCEG；

同理可证：AF=AD=5,ZFEA=ZDEA,

1

ZAEG=-x180°=90°,

2

WEFLAG,可得ZkEEGs^AFE,

：,EF2=AF.FG

:.22=5*X,

,4

/.X=-9

5

4

：.CG=-,

5

4

故答案为：—.

【点睛】

此题考查矩形的性质，翻折变换的性质，以考查全等三角形的性质及其应用、射影定理等几何知识点为核心构造而成;

对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求.

13、3a(a-b)1

【解析】

首先提取公因式3a,再利用完全平方公式分解即可.

【详解】

3a3-6axb+3ab1,

=3a(a1-lab+b1),

=3a(a-b)L

故答案为：3a(a-b)i.

【点睛】

此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据

多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.

14、2.35x1

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

解：将235000000用科学记数法表示为：2.35x1.

故答案为：2.35x1.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中公忸|＜10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

15、1

【解析】

根据等边三角形的性质可得oc=」AC,ZABD=3Q°,根据“SAS”可证△ABOgZkACE,可得NACE=300=NARD,

2

当OELEC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值.

【详解】

解：•••△ABC的等边三角形，点。是AC的中点，

1

：.OC=—AC,NABZ)=30°

2

,//\ABC和小ADE均为等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

：.NBAD=/CAE,且A5=AC,AD^AE,

：./\ABD^/\ACE(SAS)

:.NACE=3(T=

当OELEC时，OE的长度最小，

•.,/OEC=90°,NACE=30°

：.OE最小值=-OC=-AB^l,

24

故答案为1

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

16、丙

【解析】

不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅.

【详解】

不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多.

故答案是：丙.

【点睛】

考查了可能性的大小和统计表.解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少.

三、解答题(共8题，共72分)

17>(1)弦AB长度的最大值为4,最小值为2逐；(2)面积最大值为(2500逝+2400)平方米，周长最大值为340

米.

【解析】

(1)当AB是过P点的直径时，AB最长；当ABJ_OP时，AB最短，分别求出即可.(2)如图在△ABC的一侧以AC

为边做等边三角形AEC,再做AAEC的外接圆，则满足NADC=60。的点D在优弧AEC上(点D不与A、C重合)，

当D与E重合时，SAADC最大值=SAAEC,由SAABC为定值，故此时四边形ABCD的面积最大，再根据勾股定理和等

边三角形的性质求出此时的面积与周长即可.

【详解】

(1)(1)当AB是过P点的直径时，AB最长=2x2=4；

当ABLOP时，AB最短，AP=y/o^-OP2=V22-l2=V3

；.AB=23

（2）如图，在AABC的一侧以AC为边做等边三角形AEC,

再做△AEC的外接圆，

当D与E重合时，SAADC最大

故此时四边形ABCD的面积最大，

VZABC=90°,AB=80,BC=60

：•AC=y/AB2+BC2=100

二周长为AB+BC+CD+AE=80+60+100+100=340（米）

SAADC=-ACX/Z=-X100X50A/3=2500A/3

22

SAABC=—ABxBC=—x80x60=2400

22

二四边形ABCD面积最大值为（2500逝+2400）平方米.

【点睛】

此题主要考查圆的综合利用，解题的关键是熟知圆的性质定理与垂径定理.

18、(1)证明见解析；(2)CD的长为2声+0.

【解析】

(1)首先证得△由全等三角形的性质可得由AO〃5c可得NAZ>E=NC5O,易得

ZCDB^ZCBD,可得BC=CZ>,易得AD=8C,利用平行线的判定定理可得四边形A3CZ>为平行四边形，由AD=C。

可得四边形A5CZ>是菱形；

(2)作EP_LC。于尸，在RtAOEF中，根据30。的性质和勾股定理可求出E尸和。歹的长，在RtACE歹中，根据勾

股定理可求出CF的长，从而可求CD的长.

【详解】

证明：(1)在AADE与ACDE中，

'EA=EC

<AD=CD，

DE=DE

/.△ADE^ACDE(SSS),

...ZADE=ZCDE,

；AD〃BC,

.,.ZADE=ZCBD,

/.ZCDE=ZCBD,

/.BC=CD,

VAD=CD,

.\BC=AD,

四边形ABCD为平行四边形，

VAD=CD,

二四边形ABCD是菱形；

(2)作EF_LCD于F.

VZBDC=30°,DE=2,

.".EF=1,DF=、y§,

VCE=3,

；.CF=2后，

.•・CD=2扬仃

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，菱形的判定，含30。的直角三角形的性质，勾股定理.证明

是解(1)的关键，作于尸，构造直角三角形是解(2)的关键.

19、走一2

2

【解析】

试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.

试题解析：原式=二百+上「=且+6-2=至—2.

2122

2

20、(1)见解析；(2)AC〃5O,理由见解析;(3)°

2

【解析】

(1)直接利用相似三角形的判定方法得出△BCEsaDCP,进而得出答案；

(2)首先得出△PCEsaDCB,进而求出NACB=NCBD,即可得出AC与BD的位置关系；

(3)首先利用相似三角形的性质表示出BD,PM的长，进而根据三角形的面积公式得到△PBD的面积.

【详解】

(1)证明：；△3CE和△尸均为等腰直角三角形，

NECB=NPCD=45。,NCEB=NCPD=90°,

:ABCEsADCP,

.PCCE

--------;

CDCB

(2)解：结论：AC//BD,

理由：VZPCE+ZECD=ZBCD+ZECD=45°,

:.NPCE=NBCD,

rPCCE

又•---=----,

CDCB

APCE^ADCB,

：.NCBD=NCEP=9Q°,

\'ZACB=90°,

：.NACB=NCBD,

J.AC//BD；

(3)解：如图所示：作于M,

VAC=4y/2,△ABC和小BEC均为等腰直角三角形,

；.BE=CE=4,

■:/\PCE^/\DCB,

ECPE„41

/.---=,BaP—尸二----,

CBBD4拒BD

:.BD=5/2，

•:NPBM=/CBD-NCBP=45°,BP=BE*+PE=4+1=5,

5J?

.,.PM=5sin450=^—

2

APBD的面积S=；BD»PM=gx后x.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定.

21、(1)72-2(2)-72

【解析】

试题分析：(1)将原式第一项被开方数8变为4x2,利用二次根式的性质化简第二项利用特殊角的三角函数值化简,

第三项利用零指数公式化简，最后一项利用负指数公式化简，把所得的结果合并即可得到最后结果；

(2)先把/-ab和“2-从分解因式约分化简，然后将。和〃的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值.

解：(1)A/8-2sin45°+(2-n)0-(-^)1

0

=242-2x^+1-3

=2&-R+1-3

=v02；

(2)•(a2-b2)

a-ab

=—y-2——(a+b)(a-b)

a(a-b)

=a+b,

当a=®b=-2立时，原式=亚+(-2五)=-[2-

22、(1)m2+3n2,2mn；(2)2,2,1,1(答案不唯一)；(3)2=7或2=1.

【解析】

(1)Va+b6=(m+"S')?，

a+by/3=m2+3n2+2m〃布,

•*.a=m2+3n2,b=2mn.

故答案为m2+3n2,2mn.

(2)设m=l,n—2,/.a=m2+3n2=l,b=2mn=2.

故答案为1,2,1,2(答案不唯一).

(3)由题意，得a=m2+3n2,b=2mn.

,."2=2mn,且m、n为正整数，

；.m=2,n=l或m=l,n—2,

/.a=22+3xl2=7,或a=r+3x22=l.

23、(1)y=—x+6；(2)—8WZ?W6；(3)k>—

-42

【解析】

(1)由条件可求得A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；

(2)结合图形，当直线平移到过C、A时与矩形有一个公共点，则可求得b的取值范围；

(3)由题意可知直线1过(0,10),结合图象可知当直线过B点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得k的取值范

围.

【详解】

解：

(1)QQA=8,OC=6

.-.A(8,0),C(0,6),

设直线AC表达式为>=丘+匕,

8k+b=Q

,解得

b=6