第六章 第3讲　机械能守恒定律-2025高三总复习 物理（新高考）

第3讲机械能守恒定律[课标要求]1．理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。2．定性了解弹性势能。3．理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。4．能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。考点一机械能的理解及守恒判断1．重力做功(1)公式：WG＝mgh。(2)特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。2．重力势能(1)表达式：Ep＝mgh。(2)重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。(3)重力做功与重力势能变化的关系①表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。②重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。3．弹性势能(1)定义：发生在弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。(2)弹力做功与弹性势能变化的关系①表达式：W＝－ΔEp。②意义：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。4．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。(2)表达式：mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)。学生用书第113页自主训练1机械能、势能的理解(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中()A．弹性势能减小B．重力势能减小C．机械能保持不变D．绳一绷紧动能就开始减小答案：B解析：游客从跳台下落直到最低点过程中，游客的重力做正功，重力势能减小，B正确；橡皮绳绷紧后形变量一直增大，弹性势能一直增大，A错误；橡皮绳绷紧后的过程，橡皮绳的弹力做负功，因此游客的机械能减小，C错误；绳绷紧后游客先加速后减速，因此游客的动能先增大后减小，D错误。自主训练2单个物体机械能守恒的判断下列物体运动过程中(忽略空气阻力)满足机械能守恒的是()A．电梯匀速下降B．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端C．物体沿着斜面匀速下滑D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升答案：B解析：电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体位移的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误。自主训练3系统机械能守恒的判断(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，小球的机械能守恒答案：BC解析：当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，C正确。1．理解机械能守恒条件的三个角度(1)只受重力作用。(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，只有动能、重力势能、弹性势能的相互转化，无其他形式能量的转化。2．判断机械能守恒的三种方法(1)定义法：利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒。(2)做功法：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。(3)转化法：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。考点二单个物体机械能守恒解答单个物体机械能守恒问题的基本思路(2023·山东潍坊模拟)如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和eq\f(1,6)圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直墙面的距离d＝eq\r(3)R。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。(1)若释放处高度h＝h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vC；(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；学生用书第114页(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？答案：(1)eq\r(2gh0)(2)FN＝2mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,R)－1))(h≥R)(3)h≤eq\f(5,2)R或h＝eq\f(9,2)R解析：(1)从A到C，小球的机械能守恒，有mgh0＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)，可得vC＝eq\r(2gh0)。(2)小球从A到D，由机械能守恒定律有mg(h－R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)根据牛顿第二定律有FN＝eq\f(mveq\o\al(2,D),R)联立可得FN＝2mg(eq\f(h,R)－1)满足的条件h≥R。(3)第1种情况：不滑离轨道原路返回，由机械能守恒定律可知，此时h需满足的条件是h≤R＋3Rsinθ＝eq\f(5,2)R第2种情况：小球与墙面垂直碰撞后原路返回，小球与墙面碰撞后，进入G前做平抛运动，则vxt＝vxeq\f(vy,g)＝d，其中vx＝vGsinθ，vy＝vGcosθ故有vGsinθ·eq\f(vGcosθ,g)＝d，可得vG＝2eq\r(gR)由机械能守恒定律有mg(h－eq\f(5,2)R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,G)可得h＝eq\f(9,2)R。对点练1．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于()A．它滑过的弧长B．它下降的高度C．它到P点的距离D．它与P点的连线扫过的面积答案：C解析：如图所示，设小环下降的高度为h，大圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根据机械能守恒定律得mgh＝eq\f(1,2)mv2，由几何关系可得h＝Lsinθ，sinθ＝eq\f(L,2R)，联立可得h＝eq\f(L2,2R)，可得v＝Leq\r(\f(g,R))，C正确，A、B、D错误。对点练2．(多选)2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，图甲为在张家口的国家跳台滑雪中心“雪如意”，图乙为跳台滑雪的示意图。质量为m的运动员从长直倾斜的助滑道AB的A处由静止滑下，为了改变运动员的速度方向，在助滑道AB与起跳台D之间用一段弯曲滑道相切衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧，圆弧轨道半径为R。A与C的竖直高度差为H，弯曲滑道末端即起跳台D与滑道最低点C的高度差为h，重力加速度为g。不计空气阻力及摩擦，则运动员()A．到达C点时的动能为mgHB．到达C点时对轨道的压力大小为eq\f(2mgH,R)C．到起跳台D点的速度大小为eq\r(2g（H－h）)D．从C点到D点重力势能增加了mg(H－h)答案：AC解析：运动员由A到C机械能守恒，则到达C点时的动能为Ek＝mgH，A正确；根据eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝mgH，FNC－mg＝meq\f(veq\o\al(2,C),R)，解得FNC＝mg＋eq\f(2mgH,R)，由牛顿第三定律得，到达C点时对轨道的压力大小为FNC′＝mg＋eq\f(2mgH,R)，B错误；从A到D，由机械能守恒定律有mg(H－h)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)，解得到起跳台D点的速度大小为vD＝eq\r(2g（H－h）)，C正确；从C点到D点重力势能增加了mgh，D错误。考点三系统机械能守恒机械能守恒定律三种表达式的理解比较项目守恒角度转化角度转移角度表达式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA增＝ΔEB减物理意义系统初状态的机械能与末状态的机械能相等系统动能的增加量(或减少量)等于系统重力势能的减少量(或增加量)若系统由A、B两个物体组成，则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等应用关键(1)必须选择参考平面；(2)初、末状态必须选用同一参考平面。(1)不用选择参考平面；(2)分清重力势能的增加量和减少量。分清哪个物体的机械能增加、哪个物体的机械能减少。考向1轻绳连接的系统常见图例三点提醒(1)明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。(3)对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒，但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。学生用书第115页如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定的光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮的两端，绳的两端分别系有可视为质点的小球1、2，质量分别为m1和m2，且m1＞m2。开始时1恰在碗口水平直径右端的A处，2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。(1)求小球2沿斜面上升的最大距离s；(2)若已知细绳断开后小球1沿碗的内侧上升的最大高度为eq\f(R,2)，求eq\f(m1,m2)(结果保留2位有效数字)。【题眼点拨】(1)看到“2在斜面上且距离斜面顶端足够远”，想到“2始终在斜面上运动”。(2)看到“当1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时”，想到“此时1在B点的速度沿着细绳方向的分速度大小等于2的速度大小”。(3)看到“1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开”，想到“细绳断开前1、2组成的系统机械能守恒，断开后1、2的机械能分别守恒”。答案：(1)eq\f(2（\r(2)＋1）m1,2m1＋m2)R(2)1.9解析：(1)设重力加速度为g，小球1到达最低点B时，1、2速度大小分别为v1、v2由运动的合成与分解得v1＝eq\r(2)v2对1、2组成的系统由机械能守恒定律得m1gR－m2gh＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)又h＝eq\r(2)Rsin30°联立以上三式解得v1＝eq\r(2×\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，v2＝eq\r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，设细绳断开后2沿斜面上升的距离为s′，对2，由机械能守恒定律得m2gs′sin30°＝eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)小球2沿斜面上升的最大距离s＝eq\r(2)R＋s′联立以上两式并代入v2解得s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R＝eq\f(2（\r(2)＋1）m1,2m1＋m2)R。(2)对1，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＝m1geq\f(R,2)代入v1解得eq\f(m1,m2)＝eq\f(2\r(2)＋1,2)≈1.9。对点练．(多选)(2022·河北高考)如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量mQ＞mP，t＝0时刻将两物体由静止释放，物体Q的加速度大小为eq\f(g,3)。T时刻轻绳突然断开，物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处于同一高度，取t＝0时刻物体P所在水平面为零势能面，此时物体Q的机械能为E。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是()A．物体P和Q的质量之比为1∶3B．2T时刻物体Q的机械能为eq\f(E,2)C．2T时刻物体P重力的功率为eq\f(3E,2T)D．2T时刻物体P的速度大小为eq\f(2gT,3)答案：BCD解析：开始释放时物体Q的加速度为eq\f(g,3)，则mQg－FT＝mQ·eq\f(g,3)，FT－mPg＝mP·eq\f(g,3)，解得FT＝eq\f(2,3)mQg，eq\f(mP,mQ)＝eq\f(1,2)，A错误；在T时刻，两物体的速度v1＝eq\f(gT,3)，P上升的距离h1＝eq\f(1,2)×eq\f(g,3)T2＝eq\f(gT2,6)，轻绳断后P能上升的高度h2＝eq\f(veq\o\al(2,1),2g)＝eq\f(gT2,18)，可知开始时P、Q距离为h＝h1＋h2＝eq\f(2gT2,9)，若设开始时P所处位置为零势能面，则开始时Q的机械能为E＝mQgh＝eq\f(2mQg2T2,9)，从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为WT＝FTh1＝eq\f(mQg2T2,9)，则此时物体Q的机械能E′＝E－WT＝eq\f(mQg2T2,9)＝eq\f(E,2)，此后物块Q的机械能守恒，则在2T时刻物块Q的机械能仍为eq\f(E,2)，B正确；在2T时刻，物体P的速度v2＝v1－gT＝－eq\f(2gT,3)，方向向下，此时物体P重力的瞬时功率大小PG＝mPg|v2|＝eq\f(mQg,2)·eq\f(2gT,3)＝eq\f(mQg2T,3)＝eq\f(3E,2T)，C、D正确。考向2轻杆连接的系统常见图例三大特点(1)平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等。(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。(3)对于杆和物体组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒。如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则()学生用书第116页A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为eq\r(gh)C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg答案：D解析：当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a落地时，b的速度为零，根据系统机械能守恒得mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，解得va＝eq\r(2gh)，B错误；b的速度在整个过程中先增大后减小，杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度g，C错误；a、b及杆组成的系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的推力为零，b只受到重力和支持力的作用，结合牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，D正确。对点练．(多选)(2023·河南洛阳模拟)半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和eq\r(3)m的小球A和B。A、B两球之间用一长为eq\r(2)R的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B两球都静止，且A球在圆环的最高点，现将A、B两球由静止释放，则下列说法正确的是()A．A、B和轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒B．B球到达最低点时的速度大小为eq\r(2gR)C．B球到达最低点的过程中，杆对A球做负功D．B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置高于圆环圆心eq\f(\r(3),2)R答案：ABD解析：球A、B和轻杆组成的系统只有动能和势能间的相互转化，系统机械能守恒，A正确；释放后B球到达最低点的过程中，由机械能守恒定律，有mAgR＋mBgR＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)，因为A、B均做半径相同的圆周运动且角速度相等，可得vA＝vB，解得vB＝eq\r(2gR)，B正确；B球到达最低点的过程中，设轻杆对A球做的功为W杆A，对A球应用动能定理可得W杆A＋mAgR＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)，又vA＝vB，解得W杆A＝0，C错误；设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，如图所示，取圆环的圆心O所在的水平面为参考平面，由系统机械能守恒可得mAgR＝mBgRcosθ－mAgRsinθ，代入数据可得θ＝30°，所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度hB＝Rcosθ＝eq\f(\r(3),2)R，D正确。故选ABD。考向3轻弹簧连接的系统题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。三点提醒(1)含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体或弹簧机械能都不守恒。(2)弹簧弹力做功与路径无关，取决于初、末状态弹簧形变量的大小。(3)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体速度相等；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)。(2023·山东威海二模)如图所示，A、B两小球由绕过轻质光滑定滑轮的细线相连，A放在固定的倾角为30°的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，使细线恰好伸直，保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知B、C的质量均为m，重力加速度为g。松手后A由静止开始沿斜面下滑，当A速度最大时C恰好离开地面，则A下滑的最大速度为()A．2geq\r(\f(m,5k)) B．geq\r(\f(2m,3k))C．eq\f(g,2)eq\r(\f(3m,k)) D．geq\r(\f(m,2k))答案：A解析：对A、B整体，由平衡条件可得mAgsin30°＝F＋mg，F为此时弹簧的弹力，因此时C恰好离开地面，则有F＝mg，联立解得mA＝4m，C恰好离开地面时，对C则有kx2＝mg，解得x2＝eq\f(mg,k)，此时A、B有最大速度，且A、B速度大小相等。开始时系统静止，弹簧被压缩，绳上无拉力，对B则有kx1＝mg，解得x1＝eq\f(mg,k)，从释放A到C恰好离开地面的运动中，弹簧的弹性势能变化量是零，在此运动中A、B、C组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可得4mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))sin30°＝mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m＋m))veq\o\al(2,Am)，解得vAm＝2geq\r(\f(m,5k))，故选A。对点练．(多选)如图所示，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C相连，另一端与物体A相连。物体A置于光滑固定斜面上，斜面的倾角θ＝30°。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连且始终与斜面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，当地重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程中，下列说法正确的是()A．刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为eq\f(mg,2)B．物体A到最高点时，A所受合力大小为mgC．物体B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大D．物体A的最大速度为eq\r(\f(mg2,2k))答案：ACD解析：刚释放物体B时，以A、B组成的系统为研究对象，有mg＝(m＋m)a，解得a＝eq\f(1,2)g，对B研究mg－FT＝ma，解得FT＝eq\f(mg,2)，故物体A受到细线的拉力大小为eq\f(mg,2)，故A正确；对于A、B物体以及弹簧组成的系统，只有弹簧的弹力和重力做功，系统机械能守恒，B减小的机械能转化为A的机械能以及弹簧的弹性势能，故当B下落至最低点时，B的机械能最小，A和弹簧组成系统的机械能最大，且此时A上升到最高位置，根据对称性可知B此时的加速度大小为a′＝a＝eq\f(1,2)g，故对B受力分析，根据牛顿第二定律可知FT′－mg＝ma′，解得FT′＝eq\f(3,2)mg，故对A、B整体研究，可得kx′＋mgsin30°－mg＝(m＋m)a′，解得kx′＝eq\f(3,2)mg，对A研究，A受到弹簧拉力、重力和绳子的拉力，则F合＝kx′＋mgsinθ－FT′＝eq\f(1,2)mg，故B错误，C正确；手拖住物块B时，物块A静止，设此时弹簧的压缩量为x0，对物块A根据平衡条件可得kx0＝mgsinθ，解得x0＝eq\f(mg,2k)，物体A上升过程中，当A和B整体的加速度为0时速度达到最大值vm，此时细线对A的拉力大小刚好等于mg，设此时弹簧的伸长量为x1，则mg－mgsinθ－kx1＝0，解得x1＝eq\f(mg,2k)，所以此时弹簧的弹性势能与初始位置时相同，对A、B和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律得mg(x0＋x1)－mg(x0＋x1)·sinθ＝eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,m)，解得vm＝eq\r(\f(mg2,2k))，故D正确。故选ACD。学生用书第117页1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。应用1．[“链条”类问题](2023·四川重庆模拟)如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，H＞L，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为()A．eq\r(g（2H－a）) B．eq\r(2g（H－a）)C．eq\r(g（2H－L－a）) D．eq\r(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2H－\f(a2,L)－L)))答案：D解析：设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得(L－a)mgH＋amgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(H－\f(a,2)))＝eq\f(1,2)Lmv2＋Lmg·eq\f(L,2)，解得v＝eq\r(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2H－\f(a2,L)－L)))，故A、B、C错误，D正确。故选D。应用2．[“液柱”类问题](多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，下列说法正确的是()A．水柱的重力做正功B．大气压力对水柱做负功C．水柱的机械能守恒D．水柱的动能是eq\f(1,4)ρgS(h1－h2)2答案：ACD解析：把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，相互抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高eq\f(h1－h2,2)的水柱移至右管，重心下降eq\f(h1－h2,2)，重力做正功，WG＝eq\f(h1－h2,2)ρgS·eq\f(h1－h2,2)＝eq\f(1,4)ρgS(h1－h2)2，A、C、D正确，B错误。应用3．[“多个小球”组合类问题](多选)如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r≪R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是()A．N个小球在运动过程中始终不会散开B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动D．第1个小球到达最低点的速度v＜eq\r(gR)答案：AD解析：在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压；冲上斜面后，后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，A正确；第一个小球在下落过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，B错误；由于小球在下落过程中速度发生变化，相互间的挤压力变化，所以第N个小球不可能做匀加速运动，C错误；当重心下降eq\f(R,2)时，根据机械能守恒定律得eq\f(1,2)mv2＝mg·eq\f(R,2)，解得v＝eq\r(gR)，但整体在AB段时，重心低于eq\f(R,2)，所以第1个小球到达最低点的速度v＜eq\r(gR)，D正确。课时测评27机械能守恒定律eq\f(对应学生,用书P403)(时间：45分钟满分：60分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)(选择题1～10题，每题4分，共40分)1．如图所示，撑杆跳运动的过程大概可以分为助跑、起跳、下落三个阶段。已知运动员和撑杆总质量为m，某次比赛中，助跑结束时恰好达到最大速度v，起跳后重心上升高度h后成功越过横杆，落在缓冲海绵垫上，撑杆脱离运动员之后会出现弹跳现象，重力加速度为g，不计空气阻力，取地面为零势能面，则下列说法正确的是()A．助跑过程中，运动员所处高度不变，运动员和撑杆整体机械能守恒B．从运动员离开地面到手脱离撑杆的过程中，撑杆的弹性势能不断增大C．运动员在最高点的重力势能Ep＝eq\f(1,2)mv2D．越过横杆后，落到海绵垫上之前，运动员机械能守恒答案：D解析：助跑加速时，运动员和撑杆的重力势能不变，但运动员和撑杆的总动能增大，所以整体的机械能增加，故A错误；从运动员离开地面到手脱离撑杆的过程中，撑杆的形变量先增大再减小，则撑杆的弹性势能先增大再减小，故B错误；撑杆脱离运动员之后会出现弹跳现象，说明撑杆的弹性势能并没有全部转化为运动员的机械能，那么运动员在最高点的重力势能必然小于起跳前人和杆的总动能eq\f(1,2)mv2，故C错误；运动员越过横杆后在空中下落过程中，只有重力做功，其机械能守恒，故D正确。2．(2021·海南高考)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力，则人的落水点到滑梯末端的水平距离为()A．4.0m B．4.5mC．5.0m D．5.5m答案：A解析：设人从滑梯由静止滑到滑梯末端的速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝4eq\r(5)m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝eq\f(1,2)gt2可得t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×1.0,10))s＝eq\r(\f(1,5))s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x＝vt＝4eq\r(5)×eq\r(\f(1,5))m＝4.0m，故选A。3．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是()A．2R B．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)答案：C解析：设B球的质量为m，则A球的质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR＝eq\f(1,2)×(2m＋m)v2＋mgR，B球继续上升的过程，由动能定理可得－mgh＝0－eq\f(1,2)mv2，联立解得h＝eq\f(R,3)，B球上升的最大高度为h＋R＝eq\f(4,3)R，故选C。4．一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则()A．A球的最大速度为2eq\r(gl)B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为eq\r(\f(8（\r(2)＋1）gl,3))D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1答案：B解析：根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为vA∶vB＝(ω·2l)∶(ωl)＝2∶1，D错误；对于A、B两球组成的系统，由机械能守恒定律可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，B正确；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得mg·2lcosθ－2mg·l(1－sinθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,B)，解得veq\o\al(2,A)＝eq\f(8,3)gl(sinθ＋cosθ)－eq\f(8,3)gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sinθ＋cosθ有最大值，则vA的最大值为vAm＝eq\r(\f(8（\r(2)－1）gl,3))，A、C错误。5．(多选)(2023·山东烟台一模)如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为θ的斜面上，其半径为R，A、C分别为细管的最高点和最低点，B、D为细管上与圆心O处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为m的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在A点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自A向B沿着细管开始滑动。以过直线BOD的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．小球不能返回到A点B．小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大C．小球在C点时的机械能为2mgRsinθD．小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为mgeq\r(1＋3sin2θ)答案：BD解析：小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球能返回到A点，故A错误；小球在A点时速度为零，重力的瞬时功率为零，小球从A到B的过程中，速度逐渐增大，速度沿斜面的分量v1也逐渐增大，根据瞬时功率表达式P＝mgsinθ·v1可知小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大，故B正确；小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球在C点时的机械能为mgRsinθ，故C错误；根据机械能守恒可得mgRsinθ＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)，根据牛顿第二定律可得FN＝meq\f(veq\o\al(2,D),R)，解得FN＝2mgsinθ，管的底部对小球的支持力为FN′＝mgcosθ，小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为F＝eq\r(FN′2＋Feq\o\al(2,N))＝mgeq\r(1＋3sin2θ)，故D正确。故选BD。6．如图1所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4m，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5N，空气阻力不计，B点为AC轨道中点，重力加速度g取10m/s2，下列说法错误的是()A．最高点时小球所受的合外力竖直向下B．图2中x＝25m2/s2C．小球在B点受到的轨道作用力为10ND．小球质量为0.2kg答案：C解析：在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A正确；由题图2可得在最高点，小球的速度veq\o\al(2,C)＝9m2/s2，由牛顿第二定律得mg＋FC＝meq\f(veq\o\al(2,C),R)，解得小球的质量m＝0.2kg，故D正确；小球从A运动到C的过程中，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋mg×2R，解得x＝veq\o\al(2,A)＝25m2/s2，故B正确；小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋mgR，解得veq\o\al(2,B)＝17m2/s2，小球在B点受到的轨道作用力为FB＝meq\f(veq\o\al(2,B),R)＝8.5N，故C错误。故选C。7．(多选)(2024·四川成都模拟)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是()A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度gB．小球从B点运动到C点的过程中，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大答案：AD解析：在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会做加速运动加速一段距离，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，速度为零，小球机械能最小，由小球和弹簧组成的系统在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确。8．(2023·江苏常州二模)如图所示，两个完全相同的轻质小滑轮P、Q固定在天花板上，一段不可伸长的轻质细绳通过滑轮，两端分别系住小球A、B，现用一轻质光滑小挂钩将小球C挂在滑轮P、Q之间的水平细绳的中间位置上，静止释放小球C，在小球C下降的某时刻，拉小球C的细绳与水平方向成θ角。已知三小球A、B、C的质量均为m，A、B小球始终没有与P、Q相撞，忽略一切阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列关于小球C在下降过程中说法正确的个数为()①A、B、C三小球组成的系统机械能守恒②小球C重力做功的瞬时功率先变大后变小③A、B、C三小球的速度大小的关系为vA＝vB＝vCsinθ④当θ＝53°时小球C下降到最低点A．4个 B．3个C．2个 D．1个答案：A解析：忽略一切阻力，A、B、C三小球组成的系统，机械能没有向其他形式的能量转化，机械能守恒，①正确；小球C在下降过程中，小球C速度先增大后减小，由P＝mgv可知，小球C重力做功的瞬时功率先变大后变小，②正确；由小球C速度分解如图甲所示，由对称性可知vA＝vB，又vCsinθ＝vA可得vA＝vB＝vCsinθ，③正确；设滑轮P、Q之间的水平细绳的长度为2l2，小球C下降到最低点时，下降的高度为h，滑轮与小球C之间长度为l1，如图乙所示，小球C下降到最低点过程中，三球组成的系统机械能守恒，2mg(l1－l2)＝mgh，又h＝eq\r(leq\o\al(2,1)－leq\o\al(2,2))，解得l2＝eq\f(3,5)l1，此时cosθ＝eq\f(l2,l1)＝eq\f(3,5)，得θ＝53°，④正确。说法正确的个数为4个。故选A。9．(多选)(2024·河北石家庄模拟)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的光滑水平轨道，相距为h，轨道上有两个物体A和B，质量均为m，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接。在轨道间的绳子与轨道成45°角的瞬间，物体A在下面的轨道上的运动速率为v。此时绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离。设绳长BO远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是()A．位于图示位置时物体B的速度大小为eq\r(2)vB．小水滴P与绳子分离的瞬间做平拋运动C．在之后的运动过程中当轻绳OB与水平轨道成90°角时，物体B的动能为eq\f(3,2)mv2D．小水滴P脱离绳子时速度的大小为v答案：AC解析：将物体B的速度分解到沿绳和垂直于绳方向如图甲所示，在轨道间的绳子与轨道成45°角的瞬间，有v2＝v，v1＝vtan45°，vB＝eq\f(v,cos45°)＝eq\r(2)v，故A正确；绳子BO段一方面向O点以速度v收缩，另一方面绕O点逆时针转动，在轨道间的绳子与轨道成45°角的瞬间，其角速度ω＝eq\f(v1,lOB)＝eq\f(v,lOB)，BO中点既有沿绳子斜向下的速度v，又有垂直于绳子斜向上的转动的线速度v′＝ω·eq\f(1,2)lOB＝eq\f(1,2)v，BO中点的合速度即小水滴P的速度为vP＝eq\r(v2＋v′2)＝eq\r(v2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)v，故D错误；P沿绳的分速度与物体B沿绳的分速度相同，垂直于绳的分速度小于物体B垂直于绳的分速度，物体B的合速度水平向左，而小水滴P的合速度斜向左下，如图乙所示，故水滴做斜抛运动，故B错误；当轻绳OB与水平轨道成90°角时，物体B沿绳方向的分速度为0，物体A的速度为0，物体运动过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒，从题图示位置到轻绳OB与水平轨道成90°角时，根据机械能守恒定律得eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝EkB，解得EkB＝eq\f(3,2)mv2，故C正确。故选AC。10．(多选)(2024·安徽黄山模拟)如图所示，滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块1，物块1又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上。开始时用手托住滑块2，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，此时弹簧的压缩量为d。现将滑块2从A处由静止释放，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，此时物块1还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为3d，AC间距离为4d，不计滑轮质量、大小及摩擦。下列关于滑块2在AC间下滑时的说法中，正确的是()A．滑块2下滑过程中，加速度一直减小B．滑块2经过B处时的加速度等于零C．物块1和滑块