8　圆内接正多边形

第页8圆内接正多边形关键问答①正n边形的中心角是多少度？②连接正六边形的中心和任意两个相邻顶点得到的三角形是一个什么样的三角形？③解决与圆内接正多边形的有关计算题，应如何添加辅助线？1.①2019·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．利用等分圆的方法可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是()A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形3．②③已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为()A.eq\f(2\r(3),3)r，r，eq\r(3)r2B．r，eq\f(r,2)，2eq\r(3)r2C.eq\f(\r(3),3)r，r，eq\r(3)r2D．r，eq\f(\r(3)r,2)，eq\f(3\r(3),2)r24．如图3－8－1，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝2eq\r(3)cm，求⊙O的半径．图3－8－1命题点1正多边形的画法[热度：87%]5．如图3－8－2，要在一个圆形纸板上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形(不要求写作法，保留作图痕迹)．图3－8－26.④如图3－8－3，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正六边形ABCDEF.图3－8－3解题突破④正六边形的半径与其外接圆的半径有什么关系？命题点2与圆内接正多边形有关的计算[热度：81%]7．⑤如图3－8－4，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，则eq\f(S阴影,S△ABC)的值为()图3－8－4A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)解题突破⑤根据正六边形的每一个内角是120°得到△ADI是什么三角形？得到eq\f(AD,AB)的值是多少？8.⑥如图3－8－5，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A的切线与CB的延长线相交于点F，则∠F的度数是()图3－8－5A．18°B．36°C．54°D．72°解题突破⑥连接OA，OB,你能求出∠AOB,∠BAF,∠ABF的度数吗？9．2019·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)10.⑦如图3－8－6，A，B，C在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形的一边，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于()图3－8－6A．12B．15C．18D．20解题突破⑦连接OA，OC，OB，你能求出∠AOC的度数吗？11.⑧2019·玉林如图3－8－7，正六边形ABCDEF的边长是6＋4eq\r(3)，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝________．图3－8－7方法点拨⑧解决正六边形问题，往往需要作辅助线将其转换为三角形问题进行求解.命题点3与圆内接正多边形有关的证明[热度：80%]12．如图3－8－8，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD与OB，OC分别交于点M，N.图3－8－8求证：(1)MN∥BC；(2)MN＋BC＝OB.13.⑨如图3－8－9，在⊙O的内接等腰三角形ABC中，AB＝AC，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.(1)求证：五边形AEBCD是正五边形；(2)若BD，CE相交于点F，试判断四边形AEFD的形状，并证明你的结论．图3－8－9知识链接⑨(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)各边相等，各角相等的五边形是正五边形.命题点4与正多边形有关的实际应用[热度：79%]14.⑩如图3－8－10①是一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图3－8－10②)，点O为中心．(1)求地基的中心到边缘的距离(结果精确到0.1m)；(2)已知塔的墙体宽1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，则塑像底座的半径最大是多少？图3－8－10模型建立⑩从实际问题中建立正多边形模型，并构造直角三角形，借助三角函数进行计算.15.⑪如图3－8－11①②③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上做逆时针运动，AM与BN交于点P.(1)求图①中∠APB的度数．(2)图②中∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．(3)根据前面的探索，你能否由本题推出一般的正n边形的情况？若能，请写出你的结论；若不能，请说明理由．图3－8－11方法点拨⑪从特殊到一般发现规律，再从一般到特殊验证规律.16.⑫盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：(1)若P是正三角形ABC的外接圆eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一点，则PB＋PC＝PA；(2)若P是正四边形ABCD的外接圆eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一点，则PB＋PD＝eq\r(2)PA；(3)若P是正五边形ABCDE的外接圆eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一点，请问PB＋PE与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；(4)若P是正n边形A1A2A3…An的外接圆eq\o(A2A3,\s\up8(︵))上的一点，请问PA2＋PAn与PA1又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明．图3－8－12方法点拨⑫解决正多边形问题时，通常需要作辅助线构造直角三角形，借助三角函数加以计算.

详解详析1．A2．D[解析]利用圆的半径即可将圆等分成6份，这样就能得出正三角形，也可以得出正六边形；作两条互相垂直的直径即可得到圆的4等分点，连接各分点可得出正方形；但是无法只利用直尺与圆规将圆7等分，故无法得到正七边形．3．D4．解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O既是三角形的内心也是外心，∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)cm，∴cos30°＝eq\f(BD,BO)＝eq\f(\r(3),BO)＝eq\f(\r(3),2)，解得BO＝2cm，即⊙O的半径为2cm.5．解：①作两条弦AB，BC的垂直平分线，交点即为圆心O;②作直径DE，作直径DE的垂直平分线，交圆O于点F，G；③顺次连接D，G，E，F，四边形DGEF即为所求，如图所示．6．解：如图，首先作直径AD，然后分别以点A，D为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O分别交于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求．7．C[解析]∵六边形DEFGHI是正六边形，∴∠EDI＝120°，∴∠ADI＝60°，∴△ADI是等边三角形，∴AD＝DE.同理，BE＝DE，∴AD＝DE＝BE，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，∴S△ADI＝eq\f(1,9)S△ABC，同理，S△BEF＝eq\f(1,9)S△ABC，S△CGH＝eq\f(1,9)S△ABC，∴eq\f(S阴影,S△ABC)＝eq\f(S△ABC－3×\f(1,9)S△ABC,S△ABC)＝eq\f(2,3).故选C.8．D[解析]连接OA，OB.∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°.∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠AOB＝eq\f(360°,5)＝72°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝54°，∴∠BAF＝90°－54°＝36°.∵∠ABF＝eq\f(360°,5)＝72°，∴∠F＝180°－36°－72°＝72°.故选D.9．A10．B[解析]连接OC，OA，OB.∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°.∵BC是⊙O内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15.故选B.11．12＋4eq\r(3)[解析]过点A作AM⊥BF于点M，连接O1F，O1B.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝120°，AF＝AB，∴点A，O，M在一条直线上，∠AFB＝∠ABF＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，∴△ABF中BF边上的高AM＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))＝3＋2eq\r(3)，FM＝BM＝eq\r(3)AM＝3eq\r(3)＋6，∴BF＝3eq\r(3)＋6＋3eq\r(3)＋6＝12＋6eq\r(3).设△ABF的内切圆的半径为r，∵S△ABF＝S△AO1F＋S△AO1B＋S△BFO1，∴eq\f(1,2)×(3＋2eq\r(3))×(6eq\r(3)＋12)＝eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))×r＋eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))×r＋eq\f(1,2)×(12＋6eq\r(3))×r，解得r＝3，即O1M＝r＝3，∴O1O2＝2×3＋6＋4eq\r(3)＝12＋4eq\r(3).12．证明：(1)如图，连接OA，OD.∵BC，CD为⊙O的内接正十边形的边长，∴∠BOC＝∠COD＝36°，∴∠BOD＝72°，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD＝36°.∵OB＝OC，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)×(180°－36°)＝72°.同理可得∠3＝72°，∴∠ABC＝∠1＋∠3＝144°，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC，即MN∥BC.(2)∵∠BAD＝36°，∠3＝72°，∴∠AMB＝180°－∠BAD－∠3＝72°，∴∠OMN＝∠AMB＝72°.∵∠OMN＝∠AOM＋∠OAM，∴∠OAM＝36°，∴OM＝AM.在△OMN和△AMB中，∠MON＝∠MAB，OM＝AM，∠OMN＝∠AMB，∴△OMN≌△AMB，∴MN＝MB，ON＝AB.∵OM＝ON，∴OB＝OM＋BM＝AB＋MN.∵AB＝BC，∴MN＋BC＝OB.13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝∠ACE.∵BE＝BC，∴eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BEC＝∠BCE.∵∠BAC＝∠BEC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝∠ACE＝∠BAC，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴AE＝AD＝DC＝BC＝BE，∴五边形AEBCD是正五边形．(2)四边形AEFD是菱形．理由如下：∵五边形AEBCD是正五边形，∴∠EBC＝∠EAD＝∠AEB＝∠ADC＝∠BCD＝108°.∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠BDC＝36°，∴∠ADB＝72°，∴∠EAD＋∠ADB＝180°，∴AE∥BD，同理可得：EC∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．又∵AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．14．解：(1)如图，过点O作OM⊥AB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．由正五边形的性质得∠AOB＝360°÷5＝72°.又AB＝eq\f(1,5)×26＝5.2(m)，所以AM＝2.6m，∠AOM＝36°.在Rt△AMO中，边心距OM＝eq\f(AM,tan36°)＝eq\f(2.6,tan36°)≈3.6(m)．所以地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以塑像底座的半径最大约为1m.15．解：(1)∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°.∵点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上做逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠APB＝180°－∠ABN－∠BAM＝180°－∠ABN－∠CBN＝180°－∠ABC＝120°.(2)90°72°(3)能．图中∠APB＝eq\f(360°,n).16．解：(3)PB＋PE与PA满足的数量关系是：PB＋PE＝2PA·cos36°.理由：连接OA，OE，过点A作AM⊥PB于点M，AN⊥PE于点N.因为∠APM＝∠APN，所以Rt△AMP≌Rt△ANP，所以AM＝AN，PM＝PN.因为AB＝AE，所以Rt△AMB≌Rt△ANE，所以MB＝NE，所以PB＋PE＝(PM－MB)＋(PN＋NE)＝2PN.因为∠APE＝eq\f(1,2)∠AOE，且五边形ABCDE为正五边形，所以∠AOE＝e