2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数3+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）⩾0}，B＝{x|lgx＞0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）3．（5分）设某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n），用最小二乘法建立的经验回归方程为ŷ=0.84x﹣86.71．若该中学女生的平均身高为160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg4．（5分）设a→与b→均为单位向量，它们的夹角为θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π3)5．（5分）设a=3A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．（5分）现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（）A．25 B．40 C．150 D．2407．（5分）设函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，则关于t的不等式f（t）+f（2t+1）⩾0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）8．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，N是l与x轴的交点，M（3，0）．过此抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足记为点Q，PF与MQ相交于点T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）甲、乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（）A．乙地在这8日内最高气温的极差为8°C B．甲、乙两地12日温差最大 C．甲地这8日平均气温为20°C D．甲地的75百分位数是21.5°C（多选）10．（5分）已知{an}为各项为正数的等比数列，a2=14，a5=2．记Sn是数列{an}的前nA．数列{an}的公比为2 B．S2nC．数列{log2an}为等差数列 D．数列{log2an}的前n项和为n11．（5分）若函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，则f（xA．单调递增 B．单调递减 C．有最小值，无最大值 D．有最大值，无最小值（多选）12．（5分）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（）A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体CDMN的体积的取值范围是(0，3D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小顾5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，则tanx的值为14．（5分）(x-215．（5分）现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为．16．（5分）若存在实数a，b使得ea+be⩽a+lnb+3，则a+b的值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知各项不为零的数列{an}满足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通项公式；（2）记数列{anan+1}的前n项和为Sn，证明：Sn＜118．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周长的最大值．19．（12分）“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一．南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科巷、三七八巷、德基广场等新晋网红景点．（1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：首选传统景区首选网红景点总计男性2030女性1220试判断是否有90%的把握认为是否首选网红景点与性别有关；（2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4．如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+P（χ2⩾k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.82820．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）证明：BD⊥CC1；（2）点M是棱BC上靠近点C的三等分点，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．21．（12分）已知双曲线C：x2a（1）求C的方程；（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求S△MAB22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，讨论f（x）的单调性；（2）若a=12，存在x1，x2（x1≠x2）满足f（x1）＝f（x2），且x1+x2＝2，求

2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数3+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：3+ii=1﹣3故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）⩾0}，B＝{x|lgx＞0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞1}，A∪B＝（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）．故选：C．3．（5分）设某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n），用最小二乘法建立的经验回归方程为ŷ=0.84x﹣86.71．若该中学女生的平均身高为160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg【解答】解：经验回归方程为ŷ=0.84令x＝160得，y＝0.84×160﹣86.71＝47.69，所以该中学女生的平均体重的估计值是47.69kg．故选：A．4．（5分）设a→与b→均为单位向量，它们的夹角为θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π3)【解答】解：a→与b→均为单位向量，其夹角为θ，若|则（a→+b即有a→2+b→2+2a→•即为cosθ＞-1由0≤θ≤π，可得0≤x＜2π故选：B．5．（5分）设a=3A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵log85=lo∴c＜a＜b．故选：D．6．（5分）现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（）A．25 B．40 C．150 D．240【解答】解：5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，可分为1，1，3和1，2，2两种情况：若按1，1，3分组，共有C51C41C3若按1，2，2分组，共有C51C42C2因此，不同安排方案的种数为60+90＝150种．故选：C．7．（5分）设函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，则关于t的不等式f（t）+f（2t+1）⩾0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）【解答】解：∵f′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx≥2﹣2cosx≥0，当且仅当x＝0时取等号，∴f（x）在R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣f（x），∴由f（t）+f（2t+1）≥0得，f（t）≥f（﹣2t﹣1），∴t≥﹣2t﹣1，解得t≥-1∴原不等式的解集为[-1故选：D．8．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，N是l与x轴的交点，M（3，0）．过此抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足记为点Q，PF与MQ相交于点T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3【解答】解：由题意，作图如下：由TN→+TP→=又因为F（1，0）为M（3，0），N（﹣1，0）的中点，所以TM→+TN→=所以T为PF的三等分点，且TP＝2TF，又因为PQ∥MF，所以△TMF与△TQP相似，且MFQP所以QP＝2MF＝4，不妨设P（x0，y0），且在第一象限，QP=x0+p2=因为点P（x0，y0）在抛物线上，所以y0＝23，所以根据相似关系可得yT=1故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）甲、乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（）A．乙地在这8日内最高气温的极差为8°C B．甲、乙两地12日温差最大 C．甲地这8日平均气温为20°C D．甲地的75百分位数是21.5°C【解答】解：A：乙地在这8日内最高气温的极差为23°C﹣16°C＝7°C，故A错误；B：甲地12日气温最高，乙地12日气温最低，所以甲乙两地12日的温差最大，故B正确；C：甲地这8日平均气温为19+17+18+21+22+24+19+208=20°C，故D：甲地这8日的气温从小到大排列为：17，18，19，19，20，21，22，24，则8×75%＝6，所以甲地的75百分位数是21+222=21.5°C，故故选：BCD．（多选）10．（5分）已知{an}为各项为正数的等比数列，a2=14，a5=2．记Sn是数列{an}的前nA．数列{an}的公比为2 B．S2nC．数列{log2an}为等差数列 D．数列{log2an}的前n项和为n【解答】解：对于A：已知数列{an}为各项为正数的等比数列，a2所以a5=a2q对于B：由条件得：an=2×2故S2n=18×(22n对于C：由于log2an+1对于D：log2an=log22n-4=n-4故选：ABC．11．（5分）若函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，则f（xA．单调递增 B．单调递减 C．有最小值，无最大值 D．有最大值，无最小值【解答】解：因为ω＞0，0＜x＜π2，所以0＜ωx又因为0＜φ＜π所以0＜ωx+φ＜(1+ω)π令t＝ωx+φ，则0＜t＜(1+ω)π因为y＝cost在（2kπ，2kπ+π），k∈Z上单调递减，所以当(1+ω)π2≤π，即0＜y＝cost在（0，(1+ω)π2即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π2）上单调递减，故B因为y＝cost在（0，(1+ω)π2即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π2）上不可能单调递增，故A当(1+ω)π2＞π时，函数有最小值﹣1，故当(1+ω)π2＞2π时，函数有最大值1，故故选：B．（多选）12．（5分）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（）A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体CDMN的体积的取值范围是(0，3D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为2【解答】解：依题意，动点P的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为E，连接VO1，如图，正△VAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O在线段VO1上，VO1=3则球O的半径OO1=33，所以球O的表面积S＝4πr2＝4π圆锥的侧面积S′=12×2π×2＝2π由题意可得点C，D是边AV，BV的中点，∴CO1∥VB，∵CO1⊂平面CMN，VB⊄平面CMN，∴VB∥平面CMN，∴平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故B正确；由题意可得四面体CDMN被平面VAB截成体积相等的两部分，设M到平面VAB的距离为d（0＜d≤1），即VCDMN＝2VM-CDO1=2×13S△CO1D×由题意可得EP=12O1B=12，EO1=32，∴O1则有PO1＝MO1＝NO1＝1，即PM⊥PN，因此PM2+PN2＝MN2＝4，由均值不等式得：PM+PN2≤PM2+PN当且仅当PM＝PN时取“＝”，故D正确．故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小顾5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，则tanx的值为1【解答】解：∵已知tan（x+π4）＝2，∴tanx+11-tanx=故答案为：1314．（5分）(x-2【解答】解：(x-令3-3r2=0故展开式的常数项为T3＝（﹣2）2C62＝60故答案为60．15．（5分）现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为1115【解答】解：设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”，事件B1表示“从1号罐子中取出的是红球”，事件B2表示“从1号罐子中取出的是黑球”，则P（B1）=23，P（B2）=13，P（A|B1）=45，P（A所以P（A）＝P（A|B1）•P（B1）+P（A|B2）•，P（B2）=4故答案为：111516．（5分）若存在实数a，b使得ea+be⩽a+lnb+3，则a+b的值为1e【解答】解：令f（x）＝ex﹣x﹣1，x∈R，则f'（x）＝ex﹣1，由f'（x）＝0得x＝0，由f'（x）＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，∴当x＝0时，f（x）取得极小值也是最小值，即f（x）≥f（0）＝0，∴ex≥x+1在x∈R上恒成立，∴ea≥a+1①，eln（be）≥ln（be）+1＝lnb+2②，由①+②得ea+be≥a+lnb+3，当且仅当a＝0，ln（be）＝0，即a＝0，b=1又存在实数a，b使得ea+be⩽a+lnb+3，故当a＝0，b=1e时使得ea+be⩽a+lnb+3成立，此时a+b故答案为：1e四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知各项不为零的数列{an}满足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通项公式；（2）记数列{anan+1}的前n项和为Sn，证明：Sn＜1【解答】解：（1）因为2an+1an+an+1﹣an＝0，a1＝1，所以an≠0，所以1a所以数列{1所以1a所以an故a2=1证明：（2）由（1）得：a所以Sn＝a1a2+a2a3+⋯+an+1an=1所以Sn18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）由cosBcosC结合正弦定理可得cosBcosC整理得sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosC，所以sin（B+C）＝2sinAcosC，因为A+B+C＝π，所以sinA＝2sinAcosC，因为A∈（0，π），所以sinA＞0，所以cosC=1又因为C∈（0，π），所以C=π又bsinB=c（2）由余弦定理，得cosC=a所以a2+b2＝ab+c2＝ab+3，则(a+b)所以a+b⩽23，当且仅当“a=b=所以△ABC周长a+b+c的最大值为3319．（12分）“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一．南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科巷、三七八巷、德基广场等新晋网红景点．（1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：首选传统景区首选网红景点总计男性2030女性1220试判断是否有90%的把握认为是否首选网红景点与性别有关；（2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4．如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+P（χ2⩾k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828【解答】解：（1）假设H0：是否选择网红景点与性别没有关系．由题意，补全2×2列联表如下：首选传统景区首选网红景区合计男性201030女性81220合计282250根据独立性检验公式可知，χ2因为当H0成立时，χ2⩾2.706的概率约为0.1，所以有90%的把握认为，是否首选网红景点与性别有关．（2）由题意知，随机变量X服从二项分布B（3，0.4）．P(X=k)=CP（X＝0）＝0.216，P（X＝1）＝0.432，P（X＝2）＝0.288，P（X＝3）＝0.064，故X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064所以X的期望值E（X）＝np＝3×0.4＝1.2．20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）证明：BD⊥CC1；（2）点M是棱BC上靠近点C的三等分点，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】解：（1）证明：四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1，CC1延长后交于一点，故A，C，C1，A1共面，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故AA1⊥BD，连接AC，因为底面四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，故BD⊥平面ACC1A1，因为CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CC1；（2）过点A作BC的垂线交BC于点N，以AN→方向作为x轴，以AD→，方向为y轴，以AA不妨设A1B1＝1，则AB＝2AA1＝2A1B1＝2，∵∠ABC＝60°，∴BN=1，AN=3∵点M是棱BC上靠近点C的三等分点，∴BM=4则A(0，0，0)，D则AD记平面AMD1的法向量为n→=(x，y，z)，则即y+z=03x+13y=0，令y平面ADD1的法向量可取为m→由图知二面角M﹣AD1﹣D为锐二面角，故二面角M﹣AD1﹣D的余弦值为|cos〈n21．（12分）已知双曲线C：x2a（1）求C的方程；（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求S△MAB【解答】解：（1）∵离心率为2，∴ca=2，即c＝2a，则a2+b2＝c2＝4a即b2＝3a2，则双曲线方程为x∵双曲线经过点P（4，6），∴16a2-36∴C的方程为x2（2）由题意，点M坐标为（1，6），点N坐标为（0，6），设A（x1，y1），B（x2，y2）．法一：①若直线AB斜率存在，设直线AB方程为y＝kx+m，x24-y212=1y=kx+m，消去y可得（3﹣k2）则3﹣k2≠0且Δ＝12（m2﹣4k2+12）＞0，且x1k1整理可得（m﹣4k+2）（x1+x2）+（2k﹣2）x1x2﹣8m+16＝0，即(m-4k+2)⋅2km化简得m2﹣12m﹣8k2﹣12k+2km+36＝0，即（m﹣2k﹣6）（m+4k﹣6）＝0，因为直线AB不过点P（4，6），所以m+4k﹣6≠0，所以m﹣2k﹣6＝0，所以直线AB的方程为y＝k（x+2）+6，恒过定点Q（﹣2，6）．②若直线AB斜率不存在，则x1＝x2，y1+y2＝0．则k1解得x1＝x2＝﹣2，所以直线AB的方程为x＝﹣2，过定点Q（﹣2，6）．综上，直线AB恒过定点Q（﹣2，6）．法二：∵直线AB不过点P（4，6），∴可设直线AB方程为m（x﹣4）+n（y﹣6）＝1．由x24-即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+12（y﹣6）﹣24（x﹣4）＝0，即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+[12（y﹣6）﹣24（x﹣4）]•[m（x﹣4）+n（y﹣6）]＝0，得（12n+1）（y﹣6）2+（12m﹣24n）（x﹣4）（y﹣6）﹣（24m+3）（x﹣4）2＝0，等式左右两边同时除以（x﹣4）2得(12n+1)(Δ＝（12m﹣24n）2+4（12n+1）（24m+3）＞0，k1+k所以直线AB方程为-16⋅(x-4)+n(y-6)=1设点M到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，S△MAB22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，讨论f（x）的单调性；（2）若a=12，存在x1，x2（x1≠x2）满足f（x1）＝f（x2），且x1+x2＝2，求【解答】解；（1）已知f（x）＝ex+ax2﹣bx+2，函数定义域为R，当a＝0时，f（x）＝ex﹣bx+2，可得f′（x）＝ex﹣b，当b≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）单调递增，无减区间；当b＞0时，当x＜lnb时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞lnb时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上，当b≤0时，f（x）的单调递增区间为R，无减区间；当b＞0时，f（x）的单调递增区间为（lnb，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lnb）；（2）当a=12时，因为f（x1）＝f（x2），所以ex又x1+x2＝2，不妨设x1＜1＜x2，此时ex不妨设h（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝ex﹣e2﹣x+（2﹣2b）（x﹣1），函数定义域为（﹣∞，1），则问题转化为h（x）＝0在（﹣∞，1）上有解，因为h′（x）＝f′（x）+f′（2﹣x）＝ex+e2﹣x﹣2b+2＞2e﹣2b+2，①当2e﹣2b+2≥0，即b≤e+1时，h′（x）≥0恒成立，h（x）单调递增，所以h（x）＜h（1）＝0，此时h（x）＝0在（﹣∞，1）上无解，不符题意，舍去；②当2e﹣2b+2＜0，即b＞e+1时，因为h″（x）＝ex﹣e2﹣x在（﹣∞，1）上单调递增，所以h″（x）＜h″（1）＝0，则h′（x）在（﹣∞，1）上单调递减．又h′（2﹣ln2b）＝e2﹣ln2b+2＞0，h′（1）＝2e﹣2b+2＜0，所以存在x0∈（2﹣ln2b，1），使得h′（x0）＝0，此时h（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，不妨令t=(4-2b)-2b不妨设g（x）＝ex-12可得g′（x）＝ex﹣x，而g″（x）＝ex﹣1≥0恒成立，所以g′（x）≥g′（0）＝1，则g（x）≥g（0）＝1，即ex＞12x²在因为t＜1，所以2﹣t＞0，可得e2-t此时h（t）＝et+12t2-bt﹣e2﹣t-12＝et﹣e2﹣t+（2﹣2b）（t﹣1）＜4﹣e2﹣t+（2﹣2b）（t﹣1）＜4-1因为h（t）＜0，h（x0）＞0，h（1）＝0，且h（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，所以必有t＜x0，存在t0∈（t，x0），F（t0）＝0，符合题意，综上，b＞e+1，故b的取值范围为（e+1，+∞）．2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则（）A．N⊆M B．M⊆∁UN C．∁UM＝∁UN D．M⊆N2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13 B．23 C．14．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本 B．10本 C．11本 D．12本5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64已知回归方程ẑ=0.52x+1.44，则A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.47．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，A．38 B．58 C．148．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布B(8，1A．E（X）＝4 B．D（X）＝3 C．P(X=2)=732 D．P（X＝3）＝P（（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（）A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数 B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数 C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数 D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，πA．当a=12时，f（x）在x=B．当a=12时，f（xC．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤2D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（）A．2张有奖券分给同一个人的概率是14B．2张有奖券分给不同的人的概率是911C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为311D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知(x-2x)14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第个项目中的成绩排名最靠后，在第个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百μ71758185σ4.92.13.64.315．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex对任意x∈R四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．（1）求f（x）的极小值；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．19．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．选择课程A选择课程B总计男生150女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.82820．（12分）已知函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4．当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．21．（12分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点．22．（12分）已知函数f(x)=12ax2-lnx-1与函数g（x（1）求实数a的值；（2）求不等式ex

2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则（）A．N⊆M B．M⊆∁UN C．∁UM＝∁UN D．M⊆N【解答】解：∵M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，∴M∩N＝∅，∴M⊆∁UN．故选：B．2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若log2a＞log2b，则a＞b＞0，此时充分性成立，若0＞a＞b，则log2a＞log2b无意义，则必要性不成立，故“log2a＞log2b”是“a＞b”成立的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13 B．23 C．1【解答】解：由y＝e﹣x+1，得y′＝﹣e﹣x，∴y′|x＝0＝﹣1，可得曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线方程为y＝﹣x+2．如图：A（2，0），联立y=xy=-x+2，解得B∴曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为12故选：C．4．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本 B．10本 C．11本 D．12本【解答】解：因为x，y，z∈N*，x＞y＞z＞0，不妨先令z＝1，则4z＝4＞x+y，此时由于ymin＝2，xmin＝3，（x+y）min＝5＞4，不合要求，舍去；令z＝2，则4z＝8＞x+y，此时ymin＝3，xmin＝4，（x+y）min＝7＜8，满足要求，故这些数学专著至少有2+3+4＝9本．故选：A．5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）【解答】解：根据导数的定义得：f′（x）=Δx→0limf(x+Δx)-f(x)Δx=令f′（x）＞0，解得x＞1，故f（x）的递增区间是（1，+∞）．故选：C．6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64已知回归方程ẑ=0.52x+1.44，则A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.4【解答】解：由题意可得，x=将x=3代入ẑ=0.52x+1.44可得z所以n＝2，又因为z＝lny，即2＝lnm，所以m＝e2≈7.4．故选：D．7．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，A．38 B．58 C．14【解答】解：由概率性质可知，P（AB）+P（AB）＝P（B即12+P(AB)=58，∴由P（A）=23，可得P（A）所以P（B|A）=P(故选：A．8．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：设f（x）＝ex﹣ex，f'（x）＝ex﹣e，当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，当x＜1时，f'（x）＜0，此时，f（x）单调递减，f（x）min＝f（1）＝0，则f（x）≥0，即ex≥ex，因为c﹣a＝ea﹣2a≥ea﹣2a＝（e﹣2）a＞0，所以c＞a，由5b因为f(x)=(35)而a＝1.110＝（1+0.1）10＞C100（0.1）所以f（a）＜f（2）＝（35）2+（45）即5b5a＜1，∴5b＜5a，∴综上可得：b＜a＜c．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布B(8，1A．E（X）＝4 B．D（X）＝3 C．P(X=2)=732 D．P（X＝3）＝P（【解答】解：因为随机变量X服从二项分布B(8，1所以E（X）=8×12=4，D（X）=8×12P（X＝2）=C82P（X＝3）=C83（12）8=C8故选：AD．（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（）A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数 B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数 C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数 D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若f（x）为奇函数，则g（x）＝f（x）+2f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）是奇函数不是偶函数，A错误；对于B，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若g（x）为奇函数，即f（﹣x）+2f（x）+f（x）+2f（﹣x）＝3[f（x）+f（﹣x）]＝0，则有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，B正确；对于C，若f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f（x），则函数f′（x）为偶函数，C正确；对于D，若f（x）为偶函数，即f（﹣x）＝f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝f′（x），即f′（﹣x）＝﹣f（x），则函数f′（x）为奇函数，D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，πA．当a=12时，f（x）在x=B．当a=12时，f（xC．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤2D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1【解答】解：a=12时，f（x）=12x﹣sinx，x则f′（x）=12-令f′（x）＞0，解得：π3＜x令f′（x）＜0，解得：0≤x＜π故f（x）在[0，π3）递减，在（π3，故f（x）在x=π3处取得极小值，故f（x）min＝f（π3）=16（π而f（0）＝0，f（π2）＝π故f（x）有且只有2个零点，故B错误；若f（x）≤0恒成立，则ax≤sinx，x＝0时，成立，x∈（0，π2]时，问题转化为a≤令g（x）=sinxx，x∈（0，则g′（x）=xcosx-sinx令h（x）＝xcosx﹣sinx，x∈（0，π2则h′（x）＝﹣xsinx＜0，故h（x）在（0，π2故h（x）＜h（0）＝0，故g′（x）＜0，g（x）递减，x→0时，x→0limx=π2时，g（π2∴2π≤g（x）＜1，故a≤2若f（x）≥0恒成立，则a≥[g（x）]max，而g（x）＜1，故a≥1，故D正确．故选：AD．（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（）A．2张有奖券分给同一个人的概率是14B．2张有奖券分给不同的人的概率是911C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为311D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为3【解答】解：选项A，2张有奖券分给同一个人的概率P=C41选项B，2张有奖券分给不同的人与2张有奖券分给同一人是互斥事件，因此概率P＝1-C41选项C，分两种情况讨论：（1）2张都分给丙或丁：概率P=C（2）丙丁各一张：概率P=C因此，2张都没有分给甲和乙的概率为111+3选项D，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率P=C21故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知(x-2x)【解答】解：由于已(x-2x)n(n∈N*)故n-3r2=0有解，故n＝3r，且故答案为：6（答案不唯一）．14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百μ71758185σ4.92.13.64.3【解答】解：因为只有第四个项目的成绩小于均值，所以第四个项目的成绩排名最靠后；第一、二两个项目的成绩大于均值，第三个项目成绩等于均值，所以排名靠前的为第一或第二个项目，因为第二个项目的标准差小于项目一的标准差，所以项目二的数据更集中，小星在项目二的排名更靠前．故答案为：四；二．15．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y2+x【解答】解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y当且仅当3xy=yx且2x+y＝1，即x＝2-3故答案为：23+16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex对任意x∈R【解答】解：要求a+b的最大值，即求当x＝1时，函数y＝ax+b的最大值，已知不等式-14x2≤ax+b≤可得当直线y＝ax+b为函数f（x）=-14x2和g（x）＝e所以ax+b+14x此时Δ＝a2﹣b＝0，解得b＝a2，此时直线y＝ax+a2与函数g（x）＝ex相切，不妨设切点为（x0，ex因为g′（x）＝ex，所以g′（x0）=e又g（x0）=e所以函数g（x）在点（x0，exy-ex0=ex即y=ex0x﹣x此时ex解得a=1x所以公切线方程为y＝x+1，则a+b的最大值为2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．（1）求f（x）的极小值；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x2+6，∴f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故f（x）极小值＝f（2）＝8﹣12+6＝2；（2）由（1）得f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，故f（x）最大值＝f（x）极大值＝f（0）＝6，而f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故f（x）最小值＝2．18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．【解答】解：（1）∵（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．当n＝9时，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1，可得1+a1+a2+…+a9＝29＝512，∴a1+a2+…+a9＝29＝511．（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，不妨假设Cnr-1：Cnr：Cn则有CnrCnr-1=n!Cnr+1Cnr=n!联立①②，解得n＝62，r＝27．即当n＝62时，存在连续三项的系数之比为C6226：C6219．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．选择课程A选择课程B总计男生150女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.828【解答】解：（1）由题意，2×2列联表为：选择课程A选择课程B总计男生100150250女生50150200总计150300450提出零假设H0：即选择课程与性别无关，则由x2=450×(100×150-150×50)2150×300×250×200即有99.9%的把握认为选择课程与性别有关．（2）从250名男生中用分层抽样抽10名男生，抽取比例为125，根据表中数据，这10人中有4人选择课程A，有6人选择课程B从这10人中再抽取3人，则抽到选择课程A的人数X可能为0，1，2，3，设事件X发生的概率为P（X），则P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=C所以X的分布列为：X0123P1612310130E（X）=0