2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）双曲线y2A．3x﹣4y＝0 B．4x﹣3y＝0 C．3x+2y=0 D．2．（5分）已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+1），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为（）A．15 B．25 C．23．（5分）等比数列{an}中，a7＝2，a11＝8，则a9＝（）A．±4 B．±5 C．4 D．54．（5分）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P（B|A）＝（）A．15 B．25 C．9255．（5分）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+e，E(e)=0，D(e)=σ2A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．满足回归模型E（e）＝0的假设 C．满足回归模型D（e）＝σ2的假设 D．不满足回归模型E（e）＝0和D（e）＝σ2的假设6．（5分）设n∊N+，则5Cn1+52Cn2+5A．0或5 B．1或3 C．4或6 D．0或27．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，且f（3）＝0，则关于x的不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（）A．（﹣3，3） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣3，0）∪（1，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）8．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若{an+1﹣an}是公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，⋯，则第40层放小球的个数为（）A．1640 B．1560 C．820 D．780二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，32），则下列结论正确的是（）A．E（X）＝1，D（X）＝9 B．随机变量Y满足2X+Y＝4，则E（Y）＝4 C．P（X＞1）=1D．若P（X＞2）＝p，则P（0＜X≤1）=1（多选）10．（5分）已知y与x线性相关，且求得回归方程为ŷ=b̂x+3.5，变量x30405060y25304045A．y与x负相关 B．b̂=C．x＝10时，y的预测值为10.5 D．（40，30）处的残差为1.5（多选）11．（5分）已知集合M＝{0，1，2，3，4，5}．下列说法正确的是（）A．从集合M中任取4个元素能够组成300个没有重复数字的四位数 B．从集合M中任取3个元素能够组成52个没有重复数字的三位偶数 C．从集合M任取3个元素能够组成90个三位密码 D．从集合M中任取3个元素，其和是3的倍数的取法共有7种（多选）12．（5分）抛物线：Γ：x2＝4y，P是Γ上的点，直线l：y＝kx+4（k≠0）与Γ交于A，B两点，过Γ的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则（）A．|PF|的最小值为1 B．|PQ|的最小值为1 C．∠AFB为钝角 D．若∠PFA＝∠PFB，直线PF与l的斜率之积为-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）有朋自远方来，乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，则他迟到的概率为．14．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）15．（5分）已知数列{an}满足2a1+22a2+⋯+2nan=n(n∈N*)，bn=1lo16．（5分）已知函数f（x）＝﹣ex﹣2lnx，g（x）＝a2x2+x﹣2lna（a＞1），若f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在(x-2（Ⅰ）求第3项；（Ⅱ）求含1x18．（12分）数列{an}满足a1＝1，an+1＝（n2+n﹣λ）an（n＝1，2，…），λ是常数．（1）当a2＝﹣1时，求λ及a3的值；（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由．19．（12分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下6540岁以上（包含40岁）60100合计200（1）完成2×2列联表，并判断依据α＝0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）．附：χ2α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.82820．（12分）设函数f（x）＝ex﹣ax，x≥0且a∈R．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯，①直接写出p1，p2，p3的值；②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求pn（n∈N*）．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线OP与OQ的斜率之积为-34（O为坐标原点），D为射线OP上一点，且|OP|＝|PD|，线段DQ与椭圆C交于点E，|QE|=2

2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）双曲线y2A．3x﹣4y＝0 B．4x﹣3y＝0 C．3x+2y=0 D．【解答】解：由y28-x26=0，得y28即23x±3y＝0，即2x±3y故选：D．2．（5分）已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+1），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为（）A．15 B．25 C．2【解答】解：因为y（t）＝ln（2t+1），所以y′(t)=2所以该质点在t＝2s时的瞬时速度为y′(2)=2故选：B．3．（5分）等比数列{an}中，a7＝2，a11＝8，则a9＝（）A．±4 B．±5 C．4 D．5【解答】解：因为等比数列{an}中，a7＝2，a11＝8，所以a92＝a7•a11＝2×8＝16，又因为a9与a7符号相同为正，所以a9＝4．故选：C．4．（5分）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P（B|A）＝（）A．15 B．25 C．925【解答】解：由题知，P(A)=A52所以P(B|A)=P(AB)故选：B．5．（5分）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+e，E(e)=0，D(e)=σ2A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．满足回归模型E（e）＝0的假设 C．满足回归模型D（e）＝σ2的假设 D．不满足回归模型E（e）＝0和D（e）＝σ2的假设【解答】解：由散点图可以看出，图中的散点不能拟合成一条直线，且不满足D（e）＝σ2．故选：D．6．（5分）设n∊N+，则5Cn1+52Cn2+5A．0或5 B．1或3 C．4或6 D．0或2【解答】解：1+5∁n1+52∁n2+53∁n3+…+5n∁nn﹣1＝（1+5）n﹣1＝（7﹣1）n﹣1=Cn0•7n-Cn1•7n﹣1+Cn2•7n故除了最后2项外，其余的各项均能被7整除，故它除以7的余数即为﹣1+（﹣1）n除以7的余数，即为0或5，故选：A．7．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，且f（3）＝0，则关于x的不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（）A．（﹣3，3） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣3，0）∪（1，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【解答】解：由题可知，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，又∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，且f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增．不等式（x﹣1）f（x）＞0等价于x-1＞0f(x)＞0或x-1＜0∵f（3）＝0，∴x∈（﹣3，0）∪（1，3）．故选：C．8．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若{an+1﹣an}是公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，⋯，则第40层放小球的个数为（）A．1640 B．1560 C．820 D．780【解答】解：设第n层放小球的个数为an，由题意a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，……，数列{an+1﹣an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以an故an故a40故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，32），则下列结论正确的是（）A．E（X）＝1，D（X）＝9 B．随机变量Y满足2X+Y＝4，则E（Y）＝4 C．P（X＞1）=1D．若P（X＞2）＝p，则P（0＜X≤1）=1【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，32），∴μ＝1，σ2＝9，∴E（X）＝1，D（X）＝9，P（X＞1）=12，故∵2X+Y＝4，∴E（Y）＝E（4﹣2X）＝﹣2E（X）+4＝﹣2+4＝2，故B错误，∵P（X＞2）＝p，∴P（0＜X≤1）＝P（1＜X≤2）＝P（X≥1）﹣P（X＞2）=12-p故选：ACD．（多选）10．（5分）已知y与x线性相关，且求得回归方程为ŷ=b̂x+3.5，变量x30405060y25304045A．y与x负相关 B．b̂=C．x＝10时，y的预测值为10.5 D．（40，30）处的残差为1.5【解答】解：x=30+40+50+604∴样本点的中心为（45，35），代入ŷ=得35=45b̂+3.5∴y与x负相关，故A错误，B正确；ŷ=0.7x+3.5，取x＝10，得ŷ取x＝40，得ŷ=0.7×40+3.5=31.5，则（40，30）处的残差为1.5，故故选：BCD．（多选）11．（5分）已知集合M＝{0，1，2，3，4，5}．下列说法正确的是（）A．从集合M中任取4个元素能够组成300个没有重复数字的四位数 B．从集合M中任取3个元素能够组成52个没有重复数字的三位偶数 C．从集合M任取3个元素能够组成90个三位密码 D．从集合M中任取3个元素，其和是3的倍数的取法共有7种【解答】解：对于A，取4个元素组成无重复数字的四位数，若取0，有C53C31对于B，M中有3个偶数，若末位为0，有A52=20，若末位为2或4，有C对于C，集合M中任取3个元素能够组成A63=120对于D，三个数和为3的有（0，1，2）有1种，3个数的和为6的有（0，1，5），（1，2，3）（0，2，4）有3种，3个数的和为9的有（0，4，5），（1，3，5）（2，3，4）有3种，3个数的和为12的有（3，4，5有1种，故共有1+3+3+1＝8种，故D错误．故选：AB．（多选）12．（5分）抛物线：Γ：x2＝4y，P是Γ上的点，直线l：y＝kx+4（k≠0）与Γ交于A，B两点，过Γ的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则（）A．|PF|的最小值为1 B．|PQ|的最小值为1 C．∠AFB为钝角 D．若∠PFA＝∠PFB，直线PF与l的斜率之积为-【解答】解：A．设P（x0，y0），则|PF|＝y0+1，∵y0≥0，∴|PF|min＝1，故A正确，B．设E（0，1），QF→⋅QE→=0设R（0，52），P（x0，x024），则|PQ|∵|PR|=x02+(x024-52)C．设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx+4，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣16＝0，则判别式Δ＝16k2+64＞0．则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16．则y1y2=x由F（0，1）得FA→⋅FB→=x1x2+（y1﹣1）（y2+1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣7﹣4k2D．设P（x0，y0），∵∠PFA＝∠PFB，则FA→⋅FP所以x0x1（y2+1）+（y1﹣1）（y2+1）（y0﹣1）＝x0x2（y1+1）+（y2﹣1）（y1+1）（y0﹣1），∴x0x1y2+x0x1+（y0﹣1）（y1y2﹣y2+y1+1）＝x0x2y1+x0x2+（y0﹣1）（y1y2+y2﹣y1+1），则x04•x1x2（x2﹣x1）+x0（x1﹣x2）+12（y∵x1≠x2，∴5x0+x1+x22（y0﹣1）＝0，即5x0+2k（y0﹣1）＝0，即k•故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）有朋自远方来，乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，则他迟到的概率为0.22．【解答】解：因为乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，因此他会迟到的概率为0.6×0.3+0.4×0.1＝0.22．故答案为：0.22．14．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．（用数字填写答案）【解答】解：没有女生入选有C43=4故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20﹣4＝16种．故答案为：16．15．（5分）已知数列{an}满足2a1+22a2+⋯+2nan=n(n∈N*)，bn=1lo【解答】解：∵2a1∴2a1②﹣①得2n+1an+1＝1，∴an+1=12n+1，当n≥2时，a故an∴bn故Sn∴Sn＜1，故λ≥1，即实数λ的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣ex﹣2lnx，g（x）＝a2x2+x﹣2lna（a＞1），若f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(e2【解答】解：f（x）＝﹣ex﹣2lnx关于x轴对称的函数为y＝ex+2lnx，因为f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于x轴对称的点，所以方程ex+2lnx＝a2x2+x﹣2lna在[1，+∞）上恰有两个不相等的实根，即a2x2+x﹣2lna﹣ex﹣2lnx＝0，即a2x2﹣ln（a2x2）+x﹣ex＝0，即eln(即eln(令t（x）＝ex﹣x，x∈[1，+∞），则t′（x）＝ex﹣1＞0，x∈[1，+∞），所以函数t（x）＝ex﹣x在[1，+∞）上单调递增，所以ln（a2x2）＝x，即a2x2＝ex，a2故原问题等价于y＝a2与y=e令h(x)=exx当1≤x＜2时，h′（x）＜0，当x＞2时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在[1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，又h(1)=e，h(2)=e24，当x→+∞时，h如图，作出函数h（x）在[1，+∞）上的大致图象，要使函数y＝a2与y=e只要e2因为a＞1，所以e2所以实数a的取值范围是(e故答案为：(e四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在(x-2（Ⅰ）求第3项；（Ⅱ）求含1x【解答】（Ⅰ）(x-2x2)8展开式的通项Tr+1=C8rx8﹣r（-2令r＝2，则T3＝（﹣2）2C82x8﹣6＝112x（Ⅱ）由（1）得：令8﹣3r＝﹣1，解得r＝3，所以T4故含1x18．（12分）数列{an}满足a1＝1，an+1＝（n2+n﹣λ）an（n＝1，2，…），λ是常数．（1）当a2＝﹣1时，求λ及a3的值；（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由．【解答】解：（1）由于an+1＝（n2+n﹣λ）an（n＝1，2，…），且a1＝1，所以当a2＝﹣1时，得﹣1＝2﹣λ，故λ＝3．从而a3＝（22+2﹣3）×（﹣1）＝﹣3．（2）数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，an+1＝（n2+n﹣λ）an，得a2＝2﹣λ，a3＝（6﹣λ）（2﹣λ），a4＝（12﹣λ）（6﹣λ）（2﹣λ）．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3﹣a2＝a2﹣a1，即（5﹣λ）（2﹣λ）＝1﹣λ，解得λ＝3．于是a2﹣a1＝1﹣λ＝﹣2，a4﹣a3＝（12﹣λ）（6﹣λ）（2﹣λ）＝﹣24．这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．19．（12分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下6540岁以上（包含40岁）60100合计200（1）完成2×2列联表，并判断依据α＝0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）．附：χ2α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828【解答】解：（1）由题可知：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下653510040岁以上（包含40岁）4060100合计10595200所以χ2所以至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关．（2）由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取，抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为0.4，所以X～B（3，0.4），所以X的可能取值为：0，1，2，3，且P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C所以X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064数学期望E（X）＝1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2．20．（12分）设函数f（x）＝ex﹣ax，x≥0且a∈R．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝ex﹣a，x≥0，当a≤1时，f′（x）≥0恒成立，则f（x）在[0，+∞）上单调递增；当a＞1时，x∈[0，lna）时，f′（x）≤0，则f（x）在[0，lna）上单调递减；x∈（lna，+∞）时，f′（x）≥0，则f（x）在[0，lna）上单调递增．综上，当a≤1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在[0，lna）上单调递减，在[0，lna）上单调递增．（2）方法一：ex﹣ax≥x2+1在x≥0恒成立，则当x＝0时，1≥1，显然成立，符合题意；当x＞0时，得a≤ex记g(x)=ex-x2构造函数y＝ex﹣x﹣1，x＞0，则y′＝ex﹣1＞0，故y＝ex﹣x﹣1为增函数，则ex﹣x﹣1＞e0﹣0﹣1＝0．故ex﹣x﹣1＞0对任意x＞0恒成立，则g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，所以g（x）min＝g（1）＝e﹣2∴a≤e﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．方法二：x2+ax+1e记h(x)=x2+ax+1ex当a≥1时，h（x）在（0，1）单增，在（1，+∞）单减，则h(x)max=h(1)=a+2e当0＜a＜1时，h（x）在（0，1﹣a）单减，在（1﹣a，1）单增，在（1，+∞）单减，h（0）＝1，h(1)=a+2得0＜a＜e﹣2；当a＝0时，h（x）在（0，+∞）单减，成立；当a＜0时，h（x）在（0，1）单减，在（1，1﹣a）单增，在（1﹣a，+∞）单减，h（0）＝1，h(1-a)=2-ae1-a，而e1﹣a综上所述，a≤e﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．21．（12分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯，①直接写出p1，p2，p3的值；②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求pn（n∈N*）．【解答】解：（1）X可能取值为1，2，3，p(X=1)=C31C2所以随机变量X的分布列为X123P31035110（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯，则有p1＝0，p2=2记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，An+1=A=P(A即pn+1所以pn+1-1所以数列{pn-13所以pn-1即n次传球后球在甲手中的概率是1322．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线OP与OQ的斜率之积为-34（O为坐标原点），D为射线OP上一点，且|OP|＝|PD|，线段DQ与椭圆C交于点E，|QE|=2【解答】解：（1）设AB与x轴的交点为H，由题意可知|AH|≤|AF2|，则|AF1|+|AH|≤|AF1|+|AF2|＝2a，当AB过右焦点F2时，△ABF1的周长取最大值4a＝8，所以a＝2，因为椭圆C的离心率为e=ca=12，所以c＝1，b2＝a所以椭圆C的标准方程x2（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因P，Q均在椭圆上，则x1又kOP⋅k由|QE|=23|ED|，|OP|=|PD|则四边形OPEQ面积为75当直线PQ斜率为0时，易知kOP＝﹣kOQ，又kOP⋅k根据对称性不妨取kOP=32，y1＞0，由则P(2，6当直线斜率不为0时，设PQ的方程为x＝my+t，将直线方程与椭圆方程联立有：x=my+t3x2+4y2=12，消去x得：（3m2+4）yΔ＝36m2t2﹣4（3m2+4）（3t2﹣12）＞0，由韦达定理，有y1所以3x1x2+4y1y2＝3（my1+t）（my2+t）+4y1y2＝0⇒(3m2t2﹣3m2﹣4＝0⇒2t2＝3m2+4，3m2＝2t2﹣4，代入Δ＞0可得12（2t2﹣4）t2﹣4×2t2（3t2﹣12）＞0，解得t≠0，|PQ|=(又原点到直线PQ距离为|t|1+m2综上可得，S△OPQ=3，四边形OPEQ2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．（5分）设等差数列{an}前n项和为Sn，若a2＝2，S6＝48，则等差数列{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）（1+x）n的展开式中xn﹣2的系数为15，则n＝（）A．7 B．6 C．5 D．43．（5分）设f（x）＝e2x﹣x，则f（x）的导函数f′（x）＝（）A．2e2x﹣1 B．2e2x+1 C．e2x﹣1 D．e2x+14．（5分）某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X～N（110，100），则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：P（|X﹣μ|＜σ）≈0.68，P（|X﹣μ|＜2σ）≈0.95．）A．16 B．10 C．8 D．25．（5分）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数大于5500”，则P（A）＝（）A．12 B．14 C．186．（5分）有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是（）A．960 B．720 C．480 D．2407．（5分）设P（A）表示事件A发生的概率，已知P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.8，P(B|A)=0.3，则P（A．34 B．38 C．158．（5分）2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球．为了弘扬航天精神，某大学举办了“航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书．为了鼓励学生参加，学校后勤部门给予一定奖励：只参加初赛的学生奖励50元奖品，参加了复赛的学生再奖励100元奖品．现有A，B，C三名学生报名参加这次竞赛，已知A通过初赛，复赛的概率分别为12，13；B通过初赛，复赛的概率分别为23，12；C通过初赛，复赛的概率与B完全相同．记这三人获得奖品总额为A．350 B．300 C．20003 D．二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.（多选）9．（5分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题．减少硶排放具有深远的意义．我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一．在这样的大环境下，我国新能源汽车逐渐火爆起来．表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量y（单位：千辆）与月份x的统计数据．已求得与的经验回归方程为ŷ月份x12345销量y55m68A．m＝6 B．y与x正相关 C．y与x的样本相关系数一定小于1 D．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆（多选）10．（5分）已知(x-1)(x+2)A．a0+a1+a2+⋯+a7＝0 B．a2＝48 C．a0+a2+a4+a6＝﹣2 D．a1+a3+a5+a7＝1（多选）11．（5分）在公比为q的正项等比数列{an}中，a1＞a5＝1，{an}前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列结论正确的是（）A．数列{an}为递减数列 B．数列{Tn}为递增数列 C．当n＝4或5时，Tn最大 D．S（多选）12．（5分）若关于x的方程x2﹣（a+3）x|lnx|+3aln2x＝0有3个不等的实根，则实数a的取值可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）从4名男生和3名女生中选3人去参加一项创新大赛，要求既有男生又有女生，那么共有种选法（用数字作答）．14．（5分）过点P（﹣1，﹣2）作曲线y＝ln（x+1）的切线，则该切线的斜率为．15．（5分）将n2个数排成n行n列的数阵，如下所示，其中aij(1≤i≤n，1≤j≤n，n∈N*)表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，若a11＝3，1＜i＜n，则a1116．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次．若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域．为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的2×2列联表低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据2×2列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：K2=n(ad-bcP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）在①a1+2a2+⋯+nan已知数列{an}(n∈N（1）求数列{an}的通项；（2）求数列{（2n﹣1）an}前n项和Tn．19．（12分）已知函数f(x)=x-2ax-(2a+1)lnx，a（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性．20．（12分）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4．在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7．（1）当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；（2）当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；（3）如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？21．（12分）设数列{an}前n项和为Sn，a1＝1，4Sn＝anan+1+1（an≠0），bn（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}前n项和为Tn，问Tn是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2cosx﹣2，（a∈R）．（1）当a＝1，x∈（0，2π）时，证明：0＜f（x）＜4π2；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．（5分）设等差数列{an}前n项和为Sn，若a2＝2，S6＝48，则等差数列{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：设公差为d，由已知可得，a2=a故选：C．2．（5分）（1+x）n的展开式中xn﹣2的系数为15，则n＝（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中xn﹣2的系数为Cnn-2=故选：B．3．（5分）设f（x）＝e2x﹣x，则f（x）的导函数f′（x）＝（）A．2e2x﹣1 B．2e2x+1 C．e2x﹣1 D．e2x+1【解答】解：由已知可得，f′（x）＝（e2x）′•（2x）′﹣x′＝2e2x﹣1．故选：A．4．（5分）某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X～N（110，100），则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：P（|X﹣μ|＜σ）≈0.68，P（|X﹣μ|＜2σ）≈0.95．）A．16 B．10 C．8 D．2【解答】解：∵数学成绩X～N（110，100），∴P（X＞120）=1-P(100＜X＜120)故估计该班数学得分大于120分的学生人数为0.16×50＝8．故选：C．5．（5分）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数大于5500”，则P（A）＝（）A．12 B．14 C．18【解答】解：现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，∴共有24＝16种情况，其中大于5500的有5511、5515、5551、5555共4种．∴P(A)=4故选：B．6．（5分）有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是（）A．960 B．720 C．480 D．240【解答】解：根据题意，利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，将甲、乙拿出后全部排列有A44种排法，排列后的5个空选2个空将甲乙两人去插如可得有A52种排法，将丙丁两人捆绑在一起进行排列有A22种排法，所以满足条件的排法有：A44A52A22＝960种排法，故选：A．7．（5分）设P（A）表示事件A发生的概率，已知P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.8，P(B|A)=0.3，则P（A．34 B．38 C．15【解答】解：根据全概率公式得P（B）＝P（A）•P（B|A）+P（A）•P（B|A），得0.4＝0.8P（A）+0.3[1﹣P（A）]，得P（A）=1故选C．8．（5分）2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球．为了弘扬航天精神，某大学举办了“航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书．为了鼓励学生参加，学校后勤部门给予一定奖励：只参加初赛的学生奖励50元奖品，参加了复赛的学生再奖励100元奖品．现有A，B，C三名学生报名参加这次竞赛，已知A通过初赛，复赛的概率分别为12，13；B通过初赛，复赛的概率分别为23，12；C通过初赛，复赛的概率与B完全相同．记这三人获得奖品总额为A．350 B．300 C．20003 D．【解答】解：由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，P(X=150)=1P(X=250)=1P(X=350)=2×1P(X=450)=1所以X的数学期望E(X)=150×1故选：D．二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.（多选）9．（5分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题．减少硶排放具有深远的意义．我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一．在这样的大环境下，我国新能源汽车逐渐火爆起来．表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量y（单位：千辆）与月份x的统计数据．已求得与的经验回归方程为ŷ月份x12345销量y55m68A．m＝6 B．y与x正相关 C．y与x的样本相关系数一定小于1 D．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆【解答】解：由x=1+2+3+4+55代入ŷ=0.6x+4.2中有：24+m5由线性回归系数b＝0.6＞0，所以y与x正相关，故B正确；由样本点不全在线性回归方程上，则y与x的样本相关系数一定小于1，故C正确；将x＝7代入线性回归方程ŷ=0.6x+4.2中得：故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确．故选：ABC．（多选）10．（5分）已知(x-1)(x+2)A．a0+a1+a2+⋯+a7＝0 B．a2＝48 C．a0+a2+a4+a6＝﹣2 D．a1+a3+a5+a7＝1【解答】解：对于A项，令x＝1，可得a0+a对于B项，（x+2）6展开式的通项为Tr+1=C由6﹣r＝1可得r＝5，所以（x+2）6展开式含x的项为T6由6﹣r＝2可得r＝4，所以（x+2）6展开式含x2的项为T5所以（x﹣1）（x+2）6展开式中含x2的项为x×192x﹣240x2＝﹣48x2，所以a2＝﹣48，故B项错误；对于C项，令x＝﹣1，可得a0又a0+a1+a2+⋯+a7＝0，两式相加可得，2（a0+a2+a4+a6）＝﹣2，所以a0+a2+a4+a6＝﹣1，故C项错误；对于D项，由C可知a0+a2+a4+a6＝﹣1，又a0+a1+a2+⋯+a7＝0，所以a1+a3+a5+a7＝1，故D项正确．故选：AD．（多选）11．（5分）在公比为q的正项等比数列{an}中，a1＞a5＝1，{an}前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列结论正确的是（）A．数列{an}为递减数列 B．数列{Tn}为递增数列 C．当n＝4或5时，Tn最大 D．S【解答】解：对于A项，由已知可得，0＜q＜1，a1＞0，所以an+1﹣an＝an（q﹣1）＜0，所以数列{an}为递减数列，故A项正确；对于B项，由已知可得，0＜a6＜a5＝1，所以T6＝a6T5＜T5，故B项错误；对于C项，由已知可得，1≤n≤4，有an＞1；n＝5时，an＝1；n≥6时，有0＜an＜1．所以，当n＝4或5时，Tn最大，故C项正确；对于D项，由已知可得，a5=a所以，Sn=a故选：ACD．（多选）12．（5分）若关于x的方程x2﹣（a+3）x|lnx|+3aln2x＝0有3个不等的实根，则实数a的取值可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：因为x2﹣（a+3）x|lnx|+3aln2x＝0⇔x2﹣（a+3）x|lnx|+3a|lnx|2＝0，即（x﹣3|lnx|）（x﹣a|lnx|）＝0，所以，x＝3|lnx|或x＝a|lnx|，要使方程x2﹣（a+3）x|lnx|+3aln2x＝0有3个不等的实根，则只需x＝3|lnx|以及x＝a|lnx|这两个方程共有3个不等的实数解，令f（x）=|lnx|因为方程有3个不等的实根，所以f（x）＝k有3个不同解，当x≥1时，有f′（x）=1-lnx所以当x∈[1，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈[e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；且f（x）=lnx所以f（x）极大值＝f（e）=1当0＜x＜1时，f（x）=-lnx所以f′（x）=-1-lnx所以f（x）在（0，1）上单调递减，作出函数f（x）的图象，如图所示：由图象可知，当0＜k＜1e时，f（x）=|lnx|x=当k=1e时，f（x）=|lnx|x=当k＞1e或k＝0时，f（x）=|lnx|x=当k＜0时，f（x）=|lnx|x=k无解，即且由图象可得出，当k≥0时，不同k值的方程的解均不相同，所以，x＝3|lnx|有3个不等的实数解．要使x＝3|lnx|以及x＝a|lnx|这两个方程总共有3个不等的实数解，则应有a＝3或1a即a＝3或a＜0．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）从4名男生和3名女生中选3人去参加一项创新大赛，要求既有男生又有女生，那么共有30种选法（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①选出3人有2名男生1名女生，有C4②选出3人有1名男生2名女生，有C4则共有18+12＝30种选法．故答案为：30．14．（5分）过点P（﹣1，﹣2）作曲线y＝ln（x+1）的切线，则该切线的斜率为e．【解答】解：由已知可得，y′=1x+1，点设切点为A（x0，y0），根据导数的几何意义可知，曲线在点A处切线的斜率k=1所以有k=1x0故答案为：e．15．（5分）将n2个数排成n行n列的数阵，如下所示，其中aij(1≤i≤n，1≤j≤n，n∈N*)表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，若a11＝3，1＜i＜n，则aii＝（2ia11【解答】解：因为该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，a11＝3，所以ai1＝a11+2（i﹣1）＝3+2i﹣2＝2i+1，因为该数阵每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，所以aii故答案为：（2i+1）2i﹣1．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次．若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为79，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为14【解答】解：（1）由已知可得，质点M移动1次后，在底面ABC上的概率为P1①若质点移动1次后，在B点或C点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为23②若质点移动1次后，在P点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为1×(1-P所以，点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为P2（2）设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为Pn，n≥2．①若质点移动n﹣1次后仍然在底面ABC上，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为23②若质点移动n﹣1次后在P点，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为1×（1﹣Pn﹣1）＝1﹣Pn﹣1．所以，Pn所以有Pn又P1所以，数列{Pn-34所以有，Pn所以，Pn故答案为：79；1四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域．为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的2×2列联表低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据2×2列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：K2=n(ad-bcP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下：学历了解情况低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800（2）从低学历的被调查者中随机抽取2人，被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率为1-C（3）根据列联表计算K2=800所以没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．18．（12分）在①a1+2a2+⋯+nan已知数列{an}(n∈N（1）求数列{an}的通项；（2）求数列{（2n﹣1）an}前n项和Tn．【解答】解：（1）若选①：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a1a1上式相减得na所以an显然a1＝1满足an所以an=3n-1，n若选②：当n＝1时，S1又a2＝3，所以a1＝1．当n≥2时，SnSn-1两式相减得Sn即an=1又a2所以an+1an=3，n所以数列{an}成等比数列，所以an=3n-1，n（2）令Tn3T两式相减得-2＝2（1+3+32+⋯+3n﹣1）﹣1﹣（2n﹣1）×3n=2×1-所以Tn19．（12分）已知函数f(x)=x-2ax-(2a+1)lnx，a（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性．【解答】解：（1）当a＝0，f（x）＝x﹣lnx，定义域为（0，+∞），则f′(x)=1-1由f′（x）＝0可得，x＝1．当x∈（0，1）时，有f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，有f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．所以f（x）的