2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12 B．2 C．22 3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45 B．35 C．-44．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．标准差5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→A．32 B．2 C．527．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（）A．lnm+lnn≥0 B．m2+n2≤2 C．1m+1n8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2） B．(0，1C．（0，3） D．(0，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于(-π12C．f（x）的图象关于x=5π12D．f（x）在(0，π（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(1B．f（x）为奇函数 C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2） D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1M B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变 C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）lg2+lg5+π0＝．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝米（精确到1米）．参考数据：2≈1.414，316．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)（1）求θ；（2）若x∈[0，π4]，求f18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acosB．（1）求A；（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S19．（12分）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．（1）求a的值；（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面PAC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．

2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12 B．2 C．22 【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=∴|z|=1+(-1故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45 B．35 C．-4【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B．5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．故选：C．6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→A．32 B．2 C．52【解答】解：∵AB→=2DC∴AC→∴x=12，∴x+y=3故选：A．7．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（）A．lnm+lnn≥0 B．m2+n2≤2 C．1m+1n【解答】解：对于A：∵m＞0，n＞0，m+n＝2，∴由基本不等式可得m+n≥2mn，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，lnm+lnn＝lnmn≤ln1＝0，故A错误；∵2（m²+n²）＝（m²+n²）+（m²+n²）≥m²+n²+2mn＝（m+n）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m当且仅当nm=mn，即m＝（m+n）2＝m+n+2mn≤2（m+n故m+n≤2，当且仅当m＝n故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2） B．(0，1C．（0，3） D．(0，【解答】解：因为f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝ex+e﹣x+lg|﹣x|＝ex+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝ex+e﹣x+lgx，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1∵y＝ex与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝ex﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴ex﹣e﹣x＞e0-1即当x＞0时，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1∴偶函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或1即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，1故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于(-π12C．f（x）的图象关于x=5π12D．f（x）在(0，π【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=πf（-π12）＝cos（-π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数ff（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(1B．f（x）为奇函数 C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2） D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1故根的和为32故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1M B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变 C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，VC故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1C1|A其几何意义是点(22，0)和点（2，2）到点（0，最小值为点(-22，0)到点（2，2）的距离，为16+82当M是BC的中点时，A1cos∠MAsin∠MAS△CC1M=12×2×1=1，设点C到平面MA1得3h直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1点O到平面MA1C1的距离为hO则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为(3)2故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为223【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=9-1=2∴圆锥体积V=13×π×r2×h故答案为：22315．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝212米（精确到1米）．参考数据：2≈1.414，3【解答】解：由∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，可得∠CBD＝45°，又CD＝100米，由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即1002在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC•tan∠ACB＝506×3=故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→【解答】解：以E为圆心，12∵EF=1=12AB∵PA→⋅PB∴PC=1∵F，P都在以E为圆心，12∴|PF→∴(PC故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)（1）求θ；（2）若x∈[0，π4]，求f【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f（x）＝sin（2x得f（π6）＝sin（π3+θ所以θ=π（2）x∈[0，π4]，（2x+此时，f（x）∈[1218．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acosB．（1）求A；（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S【解答】解：（1）因为b＝2c﹣2acosB，由正弦定理可得2sinC﹣2sinAcosB＝sinB，而sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，代入化简得2cosAsinB＝sinB，因为B∈（0，π），所以sinB＞0，所以cosA=1因为A∈（0，π），故A=π（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，由（1）可知A=π3，又a=33，c代入上式可得，27＝b2+4b2﹣2b×2b×1解得b＝3，c＝6，所以△ABC的面积S=12bcsinA19．（12分）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．（1）求a的值；（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝logax在[1，8]上单调递减，此时f（x）max＝f（1）＝0≠3，不满足题意；当a＞1时，f（x）＝logax在[1，8]上单调递增，此时f（x）max＝f（8）＝loga8＝3，解得a＝2；（2）令m＝log2x，因为x∈[1，8]，所以m∈[0，3]，所以2﹣f（x）﹣f（x）+t≥0⇔2﹣m﹣m+t≥0⇔t≥m﹣2﹣m在m∈[0，3]上恒成立，令g（m）＝m﹣2﹣m，m∈[0，3]，易知g（m）在[0，3]上为增函数，所以g（m）max＝3﹣2﹣3=23所以实数t的取值范围为[23820．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=6③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，所以P3=3所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=121．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面PAC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=22满足PA2+PC2＝AC2，所以PA⊥PC．因为平面PAC⊥平面PCB，平面PAC∩平面PCB＝PC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以PA⊥BC．因为BC⊥AC，PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．证明如下：因为PA＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．由（1）知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面PAC，所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，PO1⊂平面PAC，EM⊄平面PAC，所以EM∥平面PAC．当EF∥平面PAC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面PAC．由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，所以FT过点O，由此可知FT＝5．因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=30，由△FTB∽△FNM得MN所以MN=236，EM=所以二面角E﹣BF﹣A的平面角的正切值为6422．（12分）已知函数f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得f(x)=1显然f（x）≥0，且（0，0）是函数f（x）与g（x）图象的一个交点，当k＜0时，g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f（x）图象无交点；在区间（﹣∞，0），g（x）与f（x）图象至多有一个交点，不合题意．当k＝0时，函数f（x）与g（x）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意．当k＞0时，若函数f（x）与g（x）图象有三个交点，则方程-14x2+x=kx，14x2-x=kx均有正根，分别为x由k＞04(1-k)＞04(k+1)＞0，可得0＜所以实数k的取值范围是（0，1）；（2）由（1）可知，当k∈（0，1）时，f（x）与g（x）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），当x∈（0，x1）时，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），当x∈（x1，x2）时，f（x）≤g（x），max{f（x），g（x）}＝g（x），当x∈（x2，+∞）时，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），当34≤k＜1时，x1＜1，x2＞6，φ（x）＝g（x）（1≤x≤6），M＝φ（6）＝6k，m＝φ（1）＝k，M﹣m＝5k∈[当12≤k＜34时，1＜x1≤2，x2≥6，φ（f（x）在[1，x1）上为增函数，且g（x）为增函数，故φ（x）在[1，6]上为增函数，M＝φ（6）＝6k，m＝f（1）=34，M﹣m＝6k-34∈[当14＜k＜12时，2＜x1＜3，5＜x2＜6，φ（且φ（x）在[1，2]上为增函数，在[2，x1）上为减函数，在[x1，6]上为增函数，φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）＞f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞故M＝φ（6）＝3，m＝f（1）=34，M﹣m当0＜k≤14时，3≤x1＜4，4＜x2≤5，φ（x）且φ（x）在[1，2]上为增函数，在[2，x1）上为减函数，在[x1，6]上为增函数，φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）≤f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞故M＝φ（6）＝3，m＝f（x1）＝f（4﹣4k）＝﹣4k2+4k，M﹣m＝4k2﹣4k+3∈[94综上，当34≤k＜1时，M＝6k，m＝当12≤k＜34时，M＝6k当14＜k＜12时，M当0＜k≤14时，M＝3，m＝﹣4k2+4所以M﹣m的取值范围为：[942022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数3-i1+iA．1+2i B．1+i C．1﹣2i D．1﹣i2．（5分）设m为直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（）A．m∥α，α∥β，且m⊄β⇒m∥β B．α∥β，且m与α相交⇒m与β相交 C．m∥α，m∥β⇒α∥β D．α∥β，且m⊂α⇒m∥β3．（5分）在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）A．12 B．35 C．334．（5分）某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用如图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用如图中的（2）所示．则以下结论中，正确的是（）A．甲校运动员得分的中位数为7.5 B．乙校运动员得分的75%分位数为10 C．甲校运动员得分的平均数大于8 D．甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若a=2，b=6，A＝30°，则边A．2 B．22或6 C．2或22 6．（5分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，平面EB1C1F将三棱柱分成左右两部分体积为V1和V2，那么V1：V2＝（）A．7：5 B．14：13 C．5：7 D．13：147．（5分）如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）A．(7+45)π B．(8+45)π C．8．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线A．33 B．23 C．53二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（）A．中位数 B．平均数 C．第41百分位数 D．方差（多选）10．（5分）已知向量a→=(1，3A．若a→∥bB．若a→⊥b→，C．a→⋅bD．存在θ，使得|（多选）11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，a2＝2bcsinA，下列说法正确的是（）A．若a＝1，则S△ABCB．△ABC外接圆的半径为bcaC．cb+bD．A=π4时，c（多选）12．（5分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），则（）A．不存在t，使得BC∥平面AEF B．直线AC与直线EF异面 C．不存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱锥A﹣DEF体积的最大值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.双空题第一空2分，第二空3分.13．（5分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3km，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东20°，则灯塔A与灯塔B的距离为km14．（5分）已知a→=(2，23)，e→为单位向量，向量a→，e→的夹角为π15．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点P在△AB1C内，满足D1P=14，则点P四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么求满足条件：2＜|z|＜3的点Z的集合的图形面积；（2）已知复数z1=m+(4-m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB．（1）求角A；（2）若△ABC外接圆的半径为263，求△19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为正方形，面AA1C1C为菱形∠CAA1＝60°，侧面AA1C1C⊥面ABB1A1．（1）求证：AC1⊥面CA1B1；（2）求二面角C﹣BB1﹣A的余弦值．20．（12分）为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》．试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[40，100]分内．已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120．现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如图样本频率分布直方图．（1）根据样本频率分布直方图，计算图中a的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数；（2）已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数x1和高一年级选历史方向学生成绩的方差s选科方向样本平均数样本方差物理方向x175历史方向60s221．（12分）已知△ABC的面积为332，且AB→⋅AC（1）求角A的大小；（2）设M为BC的中点，且AM=72，∠BAC的平分线交BC于N，求线段22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝AD＝2BC＝2，△PAD≌△BAD．（1）M为PC上一点，且PM→=λMC→，当PA∥平面（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明l∥面ABCD；（3）当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为45°时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值．

2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数3-i1+iA．1+2i B．1+i C．1﹣2i D．1﹣i【解答】解：因为复数3-i1+i=(3-i)(1-i)故选：C．2．（5分）设m为直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（）A．m∥α，α∥β，且m⊄β⇒m∥β B．α∥β，且m与α相交⇒m与β相交 C．m∥α，m∥β⇒α∥β D．α∥β，且m⊂α⇒m∥β【解答】解：由m∥α，α∥β，得m⊂β或m∥β，而m⊄β，所以m∥β，故A正确；由α∥β，且m与α相交，可得m与β相交，故B正确；由m∥α，m∥β，得α∥β或α与β相交，故C错误；由α∥β，得α与β无公共点，又m⊂α可得m与β无公共点，则m∥β，故D正确．故选：C．3．（5分）在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）A．12 B．35 C．33【解答】解：连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FG∥AD，所以∠EAD或其补角为异面直线AE，FG所成角，设正四面体的边长为a，则AE=DE=32a，AD由余弦定理得：cos∠EAD=A所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为33故选：C．4．（5分）某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用如图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用如图中的（2）所示．则以下结论中，正确的是（）A．甲校运动员得分的中位数为7.5 B．乙校运动员得分的75%分位数为10 C．甲校运动员得分的平均数大于8 D．甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差【解答】解：甲校派出的10名运动员参赛成绩从小到大为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10，其中位数为：8，平均数为：6+7×3+8×4+9+1010=7.8，故选项A、其方差为：110[（6﹣7.8）²+3×（7﹣7.8）²+4×（8﹣7.8）²+（9﹣7.8）²+（10﹣7.8）²]＝1.16，标准差为1.16乙校派出的10名运动员参赛成绩分别为：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，则其平均数为：110方差为：110[（6﹣8.7）²+（7﹣8.7）²+（8﹣8.7）²+4×（9﹣8.7）²+3×（10﹣8.7）²]＝1.61，标准差为1.61所以甲校运动员得分的标准差小于乙校运动员得分的标准差，故选项B正确，D错误．故选：B．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若a=2，b=6，A＝30°，则边A．2 B．22或6 C．2或22 【解答】解：因为a=2，b=6，由余弦定理得cosA=3则c=2或c＝22故选：C．6．（5分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，平面EB1C1F将三棱柱分成左右两部分体积为V1和V2，那么V1：V2＝（）A．7：5 B．14：13 C．5：7 D．13：14【解答】解：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1+V2＝Sh，因为E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，所以S△AEF则V1=1所以V1：V2＝13：14．故选：D．7．（5分）如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）A．(7+45)π B．(8+45)π C．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则r=12×2＝1，圆锥的母线长为22+4过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为π×2×25+2π×1×2+π×22＝（8+45）π故选：B．8．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线A．33 B．23 C．53【解答】解：∵A=π6，B=π2，BC＝1，∴AC＝2，又∴AD＝CD＝BD＝1，则BC′＝C′D＝BD＝1，即△BC′D为等边三角形，设△BC′D的外接圆圆心为G，△ABD的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接C′H，OH，OG，OB，OC′，OD，∵A=π6，BD＝1，∴OB=1又四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，∴O为四面体C′﹣ABD外接球的球心，由球的性质可知：OG⊥平面BC′D，又C′H⊂平面BC′D，∴OG⊥C′H，∵C′G=23CH=23设点C′到平面ABD的距离为d，由VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD得：13又△OBD与△C′BD均为边长为1的等边三角形，∴d=OG=6直线BC′与平面ABD所成角的正弦值为dBC′故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（）A．中位数 B．平均数 C．第41百分位数 D．方差【解答】解：设这9个数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7＜x8＜x9，中位数是x5，去掉最大数和最小数，得x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，中位数也是x5，所以中位数不变，选项A正确；由41%×9＝3.69，得x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9的第41百分位数为第4个数x4，由41%×7＝2.87，得x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的第40百分位数为第3个数x4，故第41百分位数不变，选项C正确；设这9个数分别1，2，3，4，5，6，7，8，9，则平均数为19方差为19×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]去掉最大数和最小数，得2，3，4，5，6，7，8，平均数为17方差为17×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）此时方差改变了，选项D错误；设这9个数分别﹣1，2，3，4，5，6，7，9，10，则平均数为19去掉最大数和最小数，得2，3，4，5，6，7，9，计算平均数为17×（2+3+4+56+7+9）=36故选：AC．（多选）10．（5分）已知向量a→=(1，3A．若a→∥bB．若a→⊥b→，C．a→⋅bD．存在θ，使得|【解答】解：a→=(1，3对于A，若a→则sinθ=3cosθ，即tanθ=3对于B，若a→则cosθ+3sinθ=0，解得tanθ∵0≤θ≤π，∴θ=5π6，故对于C，a→∵0≤θ≤π，∴π6∴sin(θ+π∴a→⋅b对于D，不妨设|a则a→故cos＜a→，b→a→=(1，3∵不存在实数λ（λ＜0）使得，a→∴a→与b∴假设不成立，即不存在θ，使得|a→-故选：AB．（多选）11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，a2＝2bcsinA，下列说法正确的是（）A．若a＝1，则S△ABCB．△ABC外接圆的半径为bcaC．cb+bD．A=π4时，c【解答】解：A中，a＝1，由题意可得2bcsinA＝1，所以S=12bcsinA=12•B中，设外接圆的半径r，由正弦定理asinA=2r，因为a2＝2bcsinA，所以r=bcC中，cb+bc≥2cb⋅bc=2，当且仅当cb=bc，即b＝D中，A=π4，因为a2＝2bcsinA，可得a2=2bc，由余弦定理可得cosA=b2所以cb+bc=故选：ABD．（多选）12．（5分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），则（）A．不存在t，使得BC∥平面AEF B．直线AC与直线EF异面 C．不存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱锥A﹣DEF体积的最大值为2【解答】解：因为直线AC与平面BCD交于点C，EF⊂平面BCD，且不经过点C，所以直线AC与直线EF异面，故B正确．当t=12时，E，F分别是棱BD，CD的中点，此时BC∥EF，因为EF⊂平面BC⊄平面AEF，所以BC∥平面AEF，故A错误．设O为△BCD的中心，连接AO，因为经过点A有且只有一条直线AO垂直于平面BCD，所以经过点A且垂直于平面BCD的平面一定经过直线AO，即当且仅当E，O，F三点共线时，平面AEF⊥平面BCD，因为DE＝1﹣t，DF＝t，所以DB→=1设BC的中点为M，连接DM，则DO=因为E，O，F三点共线，所以13(11-t+1因为Δ＝﹣3＜0，所以此方程无解，所以不存在t∈（0，1），使得平面AEF⊥平面BCD，故C正确．易知AO=AD2-DO2=AD2-(所以△DEF的面积S=12r•（t﹣1）•sinπ3≤34当且仅当t=12时等号成立，所以三棱锥A﹣DEF体积的最大值为13故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.双空题第一空2分，第二空3分.13．（5分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3km，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东20°，则灯塔A与灯塔B的距离为3km【解答】解：由题意，AC＝BC=3，∠ACB由余弦定理可得AB=A所以灯塔A与灯塔B的距离为，3km．故答案为：3．14．（5分）已知a→=(2，23)，e→为单位向量，向量a→，e→的夹角为π3，则向量【解答】解：∵a→=(2，23∴|e→|=1，|a∴a→⋅e∴向量a→在向量e→上的投影向量为a→故答案为：2e→15．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC【解答】解：由AD→=2DB又C，P，D三点共线，则有AP→=mAC∵AP→∴2-2m3=12又CD→且∠BAC=π3，AC＝2，故AP→⋅CD→==-1=-1＝3．故答案为：3．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点P在△AB1C内，满足D1P=14，则点P的轨迹长度为【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图，如图，E为正三角形AB1C的外心，D1E⊥平面AB1C，根据几何关系，不难得出D1E＝32×(3因为点P在ΔAB1C内，满足D1P=14，则EP=因此点P的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆在ΔAB1C内的圆弧，而ΔAB1C为正三角形，则三棱锥B﹣AB1C必为正三棱锥，E为正ΔAB1C的中心，于是正ΔAB1C的内切圆半径EH＝AB1×3则cos∠HEF=32，即∠HEF=π6所以圆在ΔAB1C内的圆弧为圆周长的12即点P的轨迹长度为12⋅2π故答案为：2π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么求满足条件：2＜|z|＜3的点Z的集合的图形面积；（2）已知复数z1=m+(4-m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+【解答】解：（1）由复数的几何意义知：所表示的图形为圆环，面积为π•32﹣π•22＝5π；（2）∵z1=m+(4-m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z∴x+m+（λ+2x+4﹣m2）i＝0，∴m＝﹣x，λ+2x+4﹣m2＝0，∴λ＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，当x＝1时，λ有最小值为﹣5，故λ范围为[﹣5，+∞）．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB．（1）求角A；（2）若△ABC外接圆的半径为263，求△【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB，由sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB得，sin（A﹣B）＝sin（A+B）﹣sinB，所以sinB＝sin（A+B）﹣sin（A﹣B）＝2cosAsinB，又0＜B＜π，所以sinB＞0，所以cosA=1因为0＜A＜π，所以A=π（2）由△ABC外接圆的半径为263，则得由余弦定理得，cosA=b2+c2-a22bc所以b2+c2＝bc+8≥2bc，解得bc≤8，所以S△ABC故△ABC面积的最大值为2319．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为正方形，面AA1C1C为菱形∠CAA1＝60°，侧面AA1C1C⊥面ABB1A1．（1）求证：AC1⊥面CA1B1；（2）求二面角