2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数（2+i）2的实部是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=2，|A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣103．（5分）在△ABC中，A=π4，cosB=3A．210 B．-210 C．74．（5分）为了得到函数y=3sin(2x-π5)A．向右平行移动π5个单位长度B．向左平行移动π5个单位长度C．向右平行移动2π5个单位长度D．向左平行移动2π55．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A＝“抽到的两人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生与1名女生”，则（）A．在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=1B．在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=1C．在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=1D．在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）＝16．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．中位数为3，众数为3 B．平均数为3，中位数为3 C．中位数为2，极差为2 D．平均数为2，标准差为27．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．128．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（）A．平面PAB内任意一条直线都不与CD平行 B．平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行 C．平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行 D．平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立 C．事件C与D互斥 D．事件B与D相互独立（多选）10．（5分）已知函数f(x)=tan(1A．f（x）的最小正周期是π2B．f（x）的图象关于点(π2C．|f（x）|的图象关于直线x=π2D．f（x）在区间(-π（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．若z-z=0，则z∈B．若z（1+i）＝2，则z=2C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则|zD．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（）A．Sa+Sb≥2Sc B．Va+Vb≥2Vc C．1SD．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a→=(1，-3)，b→=(λ，5)，且(a→+14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2＝．15．（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP＝1，圆心角∠POQ=π3，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为16．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，则λ＝，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图．（1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由．18．（12分）如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且AB→（1）求f（x）的最小正周期T；（2）若f(2)-f(43)=1，求f19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求事件“X＝2”的概率；（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．（1）证明：平面ABC1⊥平面BCC1；（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB+cosB=（1）求A；（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2（其中V1≤（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．

2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数（2+i）2的实部是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：（2+i）2＝3+2i，实部为3．故选：B．2．（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=2，|A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣10【解答】解：∵|a→|=2，|∴|2a→-∴a→故选：A．3．（5分）在△ABC中，A=π4，cosB=3A．210 B．-210 C．7【解答】解：在△ABC中，cosB=3则sinB=1-co又A=π则sinC=sin(π-A-B)=sin(=2=2故选：C．4．（5分）为了得到函数y=3sin(2x-π5)A．向右平行移动π5个单位长度B．向左平行移动π5个单位长度C．向右平行移动2π5个单位长度D．向左平行移动2π5【解答】解：为了得到函数y=3sin(2x-π5)=3sin(2(x-π5故选：A．5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A＝“抽到的两人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生与1名女生”，则（）A．在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=1B．在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=1C．在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=1D．在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）＝1【解答】解：记3名男生为1，2，3，3名女生为a，b，c．对于A，有放回简单随机抽样的样本空间Ω1为：123abc1（1，1）（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（1，c）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，a）（2，b）（2，c）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，a）（3，b）（3，c）a（a，1）（a，2）（a，3）（a，a）（a，b）（a，c）b（b，1）（b，2）（b，3）（b，a）（b，b）（b，c）c（c，1）（c，2）（c，3）（c，a）（c，b）（c，c）共36个样本点，事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}，有9个样本点，所以P(A)=936=对于B，不放回简单随机抽样的样本空间Ω2为：123abc1×（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（1，c）2（2，1）×（2，3）（2，a）（2，b）（2，c）3（3，1）（3，2）×（3，a）（3，b）（3，c）a（a，1）（a，2）（a，3）×（a，b）（a，c）b（b，1）（b，2）（b，3）（b，a）×（b，c）c（c，1）（c，2）（c，3）（c，a）（c，b）×共30个样本点，事件B＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3）}，有18个样本点，所以P(A)=1830=对于C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以P（A）＝0，故C错误；对于D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间Ω3＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c）}，共有9个样本点，事件B＝Ω3，所以P(B)=99=1故选：D．6．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．中位数为3，众数为3 B．平均数为3，中位数为3 C．中位数为2，极差为2 D．平均数为2，标准差为2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，不能判断出一定没有出现点数6；对于B，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时，满足平均数为3，中位数为3，不能判断出一定没有出现点数6；对于C，若数据的中位数为2，极差为2，则数据的最小值小于2，又由极差为2，则数据的最大值小于4，可以判断出一定没有出现点数6；对于D，当掷骰子出现的结果为1，1，1，1，6时，满足平均数为2，标准差为2，不能判断出一定没有出现点数6；故选：C．7．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．12【解答】解：因为AB⊥BD，AB⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AB⊥BC，则AC2＝AB2+BC2，所以BC＝4，又BD⊥CD，所以S△BCD所以S△BCD当且仅当BD=DC=22所以VA-BCD当且仅当BD=DC=22故选：B．8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（）A．平面PAB内任意一条直线都不与CD平行 B．平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行 C．平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行 D．平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行【解答】解：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∵AD∥BC，AD＝2BC，∴AB与DC相交，设交点为F，则CD与平面PAB相交于F，可知平面PAB内任意一条直线都不与CD平行，故A正确；∵AB∩DC＝F，∴平面PAB∩平面PDC＝PF，则平面PCD内与PF平行的直线都与平面PAB平行，故B正确；平面PCD和平面PAB的交线为PF，与底面ABCD相交，不与底面ABCD平行，故C正确；∵AD∥BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，可得BC∥l，则l∥平面ABCD，故D错误．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立 C．事件C与D互斥 D．事件B与D相互独立【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，两次摸球中，第一次摸出球的标号为2．二次摸出球的标号为3，即事件A、B可以同时发生，则事件A、B不是互斥事件，A错误；对于B，若事件A发生，即第一次摸出球的标号为2，则事件C一定不会发生，则A、C不是相互独立事件，B错误；对于C，事件C、D不会同时发生，是互斥事件，C正确；对于D，P（B）=14，P（D）=2×2A42=有P（B）P（D）＝P（BD），则B、D是相互独立事件，D正确．故选：CD．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=tan(1A．f（x）的最小正周期是π2B．f（x）的图象关于点(π2C．|f（x）|的图象关于直线x=π2D．f（x）在区间(-π【解答】解：因为函数f(x)=tan(12x-π4)，所以f（x）的最小正周期是Tx=π2时，12×π2-π4=0，所以f（因为|f（π2-x）|＝|tan（-12x）|＝|tan12x|，|f（π2+x）|＝|tan12x|，所以|f（|f（x）|的图象关于直线x=π2对称，选项x∈（-π2，π2）时，12x-π4∈（-π2，0），所以f（x）＝tan（故选：BCD．（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．若z-z=0，则z∈B．若z（1+i）＝2，则z=2C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则|zD．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π【解答】解：对于A，z-z则z=z故z∈R，故A正确；对于B，z（1+i）＝2，则z=22cos7π4对于C，设z1，z2在复平面内对应的向量为a→，b则|a→|=|故|a(a→+故|a→-b→对于D，设z＝x+yi（x，y∈R），∵1＜|z|＜2，∴1＜x2+y2＜4，∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×22﹣π×12＝3π，故D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（）A．Sa+Sb≥2Sc B．Va+Vb≥2Vc C．1SD．1【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝h，则h=abc，c2＝a2+b侧面积Sa＝πbc，Sb＝πac，Sc=πab(a+b)Sa+Sb﹣2Sc＝π[bc+ac-2ab(a+b)c]＝π(a+b)(a由题意可得：Va=13×πb2×a，Vb=13πa2b，Vc=13∴Va+Vb﹣2Vc=π3ab（a+b-2aba2+b2）≥π3ab（2ab1Sa2+1Sb2=1π2c1Sa2+11Va2+1Vb∴1Va2故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a→=(1，-3)，b→=(λ，5)，且(a→+【解答】解：∵向量a→=(1，-3)，b→=(λ，5)，∴又∵(a∴1+λ﹣6＝0，解得λ＝5．∴b→∴a→⋅b→=∴b→在a→方向上的投影向量的坐标为故答案为：（﹣1，3）．14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2＝37.5．【解答】解：已知在样本中，男生有100人，女生有60人，所以该校高中学生身高的平均数x=100160则该校高中学生身高的总样本方差s2=100160×[18+（172﹣169）2]+故答案为：37.5．15．（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP＝1，圆心角∠POQ=π3，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为2-【解答】解：连接OB，OC，过BN⊥OP于N，可得OB＝OC，可得∠OCB＝∠OBC，因为四边形ABCD为矩形，所以∠OCD＝∠OBA，由题意可得DC＝AB，可得△ODC≌△OAB，可得OD＝OA，而∠AOD=π所以△OAD为等边三角形，所以AD＝OA，设∠BON＝α，则∠BAN=π2-π3=π6，在Rt△ABN中，则ON＝OBcosα＝cosα，AB=BNsinπ6=2•sinα，AN＝ABcosπ6=3sinα，AD＝OA＝ON所以S矩形ABCD＝AB•AD＝2sinα（cosα-3sinα）＝2sinαcosα﹣23sin2α＝sin2α-3（1﹣cos2α）＝2sin（2α+π3）当且仅当2α+π3=π所以矩形ABCD的面积的最大值为2-3故答案案为：2-316．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，则λ＝2，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为3．【解答】解：如图所示：空1：延长CG交AD1于点F，连接BF，则F为AD1中点，如下图所示，因为GE∥平面D1AB，GE⊂平面CBF，平面CBF∩平面D1AB＝BF，所以GE∥BF，因为点G为△D1AC的重心，所以CG＝2GF，所以CE＝2EB，即λ＝2；空2：取CA中点O，连接OB，GB，GO，OD1，则OB⊥AC，设正方形ABCD边长为2，因为GE∥BF，GE⊥D1A，所以BF⊥D1A，又F为AD1中点，所以AB＝D1B＝2，Rt△ABC中，AC=22，OB=12因为D1O2+OB2=D1B2，所以OB⊥D所以OB⊥平面D1AC，则GO为GB在平面D1AC内的投影，所以∠OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角，Rt△OGB中，GO=13D故答案为：2；3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图．（1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知[1.5，2）内的频率为1﹣（0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.21．（2）因为0.21÷0.5＝0.42，又（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5）×0.5＝0.73，（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3）×0.5＝0.88＞0.85，则a∈[2.5，3），依题意可得0.73+（a﹣2.5）×0.3＝0.85，解得a＝2.9．所以要使85%的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为2.9t．18．（12分）如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且AB→（1）求f（x）的最小正周期T；（2）若f(2)-f(43)=1，求f【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，依题意设A（a，0），则B(a+T4，-1)所以AB→=(T4，-1)即T2＝16，解得T＝4或T＝﹣4（舍去）；（2）由（1）可得T=2πω=4，解得ω=又f(2)-f(4即-cosφ-cos2π即-12cosφ+所以φ-π6=又0＜φ＜π，所以φ=2π3，所以19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求事件“X＝2”的概率；（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．【解答】解：（1）又打了2个球该局比赛结束，有两种情况，甲连赢2个球或乙连赢2个球，所以P（X＝2）＝0.4×0.6+（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.48；（2）设事件A为“X＝4且乙获胜”，则事件A发生表示前2个球甲乙各赢1个球，第3个球和第4个球都是乙赢，所以P（A）＝[0.4×（1﹣0.6）+（1﹣0.4）×0.6]×（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.1248．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．（1）证明：平面ABC1⊥平面BCC1；（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，易知AB⊥BB1，又AB⊥BC，BB1∩BC＝B，且两直线在平面内，所以AB⊥平面BCC1，又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1．（2）过C作CD垂直BC于D点，连接AD，由（1）可知平面ABC1⊥平面BCC1，又平面ABC1∩平面BCC1＝BC1，所以CD⊥平面ABC1，垂足为D，则∠CAD是直线AC与平面ABC1所成的角，即∠CAD＝θ，由（1）可知AB⊥平面BCC1，所以AB⊥BC1，又AB⊥BC，所以∠CBC1是二面角C1﹣AB﹣C的平面角，即∠CBC1＝φ，在Rt△ADC中，sinθ=CDAC，在Rt△CDB中，又BC＜AC，得sinθ＜sinφ，又θ∈（0，π2），φ∈（0，π所以θ＜φ．21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB+cosB=（1）求A；（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．【解答】解：（1）由题意及正弦定理可得3sinB+cosB=sinB+sinC即3sinBsinA+cosBsinA＝sinB+sinC＝sinB+sin（B+A），即3sinBsinA+cosBsinA＝sinB+sinBcosA+cosBsinA，整理可得3sinBsinA＝sinB+sinBcosA，在△ABC中，sinB≠0，所以3sinA﹣cosA＝1，即sin（A-π6）因为A∈（0，π），可得A-π解得A=π（2）在△ABC，A=π3，AD＝BD＝3，CD＝2，BC＝BD+由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC，即25＝AB2+AC2﹣AB•AC，①因为cos∠ADC＝﹣cos∠ADB，在△ABD中，AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BDcos∠ADB＝9+9﹣2×3×3cos∠ADB＝18﹣18cos∠ADB，②在△ACD中，AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CDcos∠ADC＝4+9+2×3×2cos∠ADB＝13+12cos∠ADB，③②×2+③×3可得2AB2+3AC2＝75，④由①④可得AC=5即b=522．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2（其中V1≤（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．【解答】证明：（1）连接BC1，因为AB＝D1C1且AB∥D1C1，所以ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，AD1⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以AD1∥平面BCC1B1，又平面BCC1B1∩α＝l，AD1⊂平面α，所以AD1∥l；解：（2）在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC＝F，连接AF，设BC∩AF＝G，连接GE，由E为CC1的中点，得G为BC的中点，∴EG∥AD1，所以平面AGED1即为平面α，因为E为CC1的中点，所以C为DF的中点，所以平面α将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE﹣DAD1，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，所以V=7∴另一部分几何体的体积V2∴两部分的体积V1（3）取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N，显然MN∥BC1，EG∥BC1，所以MN∥EG，MN⊄平面AGED1，EG⊂平面AGED1，所以MN∥平面AGED1，又E为CC1的中点，所以ME∥B1C1且ME＝B1C1，又A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，所以A1D1∥ME且A1D1＝ME，所以A1D1EM为平行四边形，所以A1M∥D1E，A1M⊄平面AGED1，D1E⊂平面AGED1，所以A1M∥平面AGED1，又A1M∩ME＝M，A1M，ME⊂平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AGED1，又点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α，所以P在线段MN上，又A1即△A1MN为等腰三角形，所以当P为MN的中点时A1P最小，因为△AA1D1为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点，设为Q，令ME∩BC1＝H，则H为BC1的中点，连接QH，则QH∥AB，所以QH⊥平面AA1D1，所以球心在QH上，设球心为O，连接OD1、OP、PH，设外接球的半径为R，OQ＝h，则OD1＝OP＝R，又D1所以R2=h2+(2所以外接球的表面积S=4πR2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12 B．2 C．22 3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45 B．35 C．-44．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．标准差5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→A．32 B．2 C．527．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（）A．lnm+lnn≥0 B．m2+n2≤2 C．1m+1n8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2） B．(0，1C．（0，3） D．(0，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于(-π12C．f（x）的图象关于x=5π12D．f（x）在(0，π（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(1B．f（x）为奇函数 C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2） D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1M B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变 C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）lg2+lg5+π0＝．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝米（精确到1米）．参考数据：2≈1.414，316．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)（1）求θ；（2）若x∈[0，π4]，求f18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acosB．（1）求A；（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S19．（12分）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．（1）求a的值；（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面PAC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．

2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12 B．2 C．22 【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=∴|z|=1+(-1故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45 B．35 C．-4【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B．5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．故选：C．6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→A．32 B．2 C．52【解答】解：∵AB→=2DC∴AC→∴x=12，∴x+y=3故选：A．7．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（）A．lnm+lnn≥0 B．m2+n2≤2 C．1m+1n【解答】解：对于A：∵m＞0，n＞0，m+n＝2，∴由基本不等式可得m+n≥2mn，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，lnm+lnn＝lnmn≤ln1＝0，故A错误；∵2（m²+n²）＝（m²+n²）+（m²+n²）≥m²+n²+2mn＝（m+n）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m当且仅当nm=mn，即m＝（m+n）2＝m+n+2mn≤2（m+n故m+n≤2，当且仅当m＝n故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2） B．(0，1C．（0，3） D．(0，【解答】解：因为f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝ex+e﹣x+lg|﹣x|＝ex+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝ex+e﹣x+lgx，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1∵y＝ex与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝ex﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴ex﹣e﹣x＞e0-1即当x＞0时，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1∴偶函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或1即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，1故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于(-π12C．f（x）的图象关于x=5π12D．f（x）在(0，π【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=πf（-π12）＝cos（-π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数ff（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(1B．f（x）为奇函数 C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2） D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1故根的和为32故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1M B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变 C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，VC故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1C1|A其几何意义是点(22，0)和点（2，2）到点（0，最小值为点(-22，0)到点（2，2）的距离，为16+82当M是BC的中点时，A1cos∠MAsin∠MAS△CC1M=12×2×1=1，设点C到平面MA1得3h直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1点O到平面MA1C1的距离为hO则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为(3)2故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为223【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=9-1=2∴圆锥体积V=13×π×r2×h故答案为：22315．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝212米（精确到1米）．参考数据：2≈1.414，3【解答】解：由∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，可得∠CBD＝45°，又CD＝100米，由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即1002在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC•tan∠ACB＝506×3=故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→【解答】解：以E为圆心，12∵EF=1=12AB∵PA→⋅PB∴PC=1∵F，P都在以E为圆心，12∴|PF→∴(PC故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)（1）求θ；（2）若x∈[0，π4]，求f【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f（x）＝sin（2x得f（π6）＝sin（π3+θ所以θ=π（2）x∈[0，π4]，（2x+此时，f（x）∈[1218．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acosB．（1）求A；（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S【解答】解：（1）因为b＝2c﹣2acosB，由正弦定理可得2sinC﹣2sinAcosB＝sinB，而sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，代入化简得2cosAsinB＝sinB，因为B∈（0，π），所以sinB＞0，所以cosA=1因为A∈（0，π），故A=π（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，由（1）可知A=π3，又a=33，c代入上式可得，27＝b2+4b2﹣2b×2b×1解得b＝3，c＝6，所以△ABC的面积S=12bcsinA19．（12分）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．（1）求a的值；（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝logax在[1，8]上单调递减，此时f（x）max＝f（1）＝0≠3，不满足题意；当a＞1时，f（x）＝logax在[1，8]上单调递增，此时f（x）max＝f（8）＝loga8＝3，解得a＝2；（2）令m＝log2x，因为x∈[1，8]，所以m∈[0，3]，所以2﹣f（x）﹣f（x）+t≥0⇔2﹣m﹣m+t≥0⇔t≥m﹣2﹣m在m∈[0，3]上恒成立，令g（m）＝m﹣2﹣m，m∈[0，3]，易知g（m）在[0，3]上为增函数，所以g（m）max＝3﹣2﹣3=23所以实数t的取值范围为[23820．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=6③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个