2023-2024学年上海市青浦区朱家角中学高二（上）月考数学试卷（12月份） （含解析）

2023-2024学年上海市青浦区朱家角中学高二（上）月考数学试卷（12月份）一、填空题（本大题满分48分，每小题4分）1．过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直线的倾斜角为．（用反三角表示）2．已知曲线是焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是．3．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于xOz平面的对称点的坐标为．4．点A（2，3）到直线3x+4y﹣6＝0的距离是．5．若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则实数a的值为．6．若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为．7．若平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直线l的方向向量为＝（0，1，1），则l与α所成角的大小为．8．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为m．（精确到0.01）9．已知抛物C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为．10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为．11．已知P为抛物线y2＝12x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣3的距离之和的最小值是．12．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是圆x2+y2＝1上的两个不同的动点，且x1y2＝x2y1，则2x1+x2+2y1+y2的最大值为．二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）13．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④14．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆（x﹣2）2+y2＝3的位置关系是（）A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点15．已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（）①Γ4的开口最为开阔；②Γ1的开口比Γ3的更为开阔；③Γ2和Γ3的开口的开阔程度相同．A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）平方尺．A．142π B．140π C．138π D．128π三、解答题（本大题满分56分）17．已知．（1）求与夹角的大小；（2）若，求实数k的值．18．如图所示圆锥P﹣O中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若∠DCE＝30°，，圆锥的高为．（1）求圆锥的侧面积S；（2）求异面直线AE与PC所成角的大小．19．已知圆C：x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为α．（1）当α＝135°时，求弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．20．如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，AP∥DE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）若AP＝BP＝AB＝2，DE＝1，平面PAB⊥平面ABCD．求平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的大小．21．已知曲线的左右焦点为F1，F2，P是曲线E上一动点．（1）求△PF1F2的周长；（2）过F2的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；（3）若存在过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与曲线E都只有一个公共点，且l1⊥l2，求h的值．

参考答案一、填空题（本大题满分48分，每小题4分）1．过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直线的倾斜角为．（用反三角表示）【分析】直接利用两点求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．解：过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直线的斜率，故．故答案为：．2．已知曲线是焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（﹣2，﹣1）．【分析】根据双曲线标准方程的特点求解．解：∵是焦点在x轴上的双曲线，∴m+2＞0，m+1＜0，即﹣2＜m＜﹣1；故答案为：（﹣2，﹣1）．3．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于xOz平面的对称点的坐标为（1，﹣2，3）．【分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于xOz平面的对称点的坐标为（a，﹣b，c）．解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于xOz平面的对称点的坐标为（1，﹣2，3）．故答案为：（1，﹣2，3）．4．点A（2，3）到直线3x+4y﹣6＝0的距离是．【分析】由点到直线的距离公式求出即可．解：由题意及点到直线的距离公式可得：d＝＝．故答案为：．5．若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则实数a的值为．【分析】由已知结合直线垂直的条件建立关于a的方程，可求．解：若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则2a+2（a﹣1）＝0，即a＝．故答案为：．6．若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为．【分析】求出抛物线的焦点，即有c＝5，求得渐近线方程即有＝，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），即有双曲线的焦点为（±5，0），设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），则c＝5，由渐近线方程为y＝±x．则有＝，又a2+b2＝c2，解得a＝4，b＝3，则双曲线的方程为．故答案为：．7．若平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直线l的方向向量为＝（0，1，1），则l与α所成角的大小为．【分析】直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式，即可求出直线l与平面α所成的角．解：平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直线l的方向向量为＝（0，1，1），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直线l与平面α所成角为：．故答案为：．8．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为1.63m．（精确到0.01）【分析】以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用点B的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果．解：以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），由题意可得B（1，1.5），代入x2＝2py，得1＝3p，解得p＝，∴抛物线方程为x2＝，设F（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0＝1.5﹣0.5＝1，则＝＝，∴，∴截面图中水面宽EF的长度约为EF＝≈1.63（m）．故答案为：1.63．9．已知抛物C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为5．【分析】结合图形，利用相似关系，以及抛物线的几何性质，即可求解．解：由抛物线C：y2＝4x，可知F（1，0），即|OF|＝1（O为坐标原点），过点P作y轴的垂线，垂足为N，由三角形相似可知，所以|PN|＝4|FO|＝4，所以点P到准线l的距离为5．故答案为：5．10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为2．【分析】根据∠C1EB＝90°，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解．解：设AA1＝h，AE＝x，A1E＝h﹣x，x∈[0，h]，，又因为∠C1EB＝90°，所以，即，化简得x2﹣hx+1＝0，即关于x的方程x2﹣hx+1＝0，x∈[0，h]有解，当x＝0时，不符合题意，当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时取得等号，所以侧棱AA1的长的最小值为2，故答案为：2．11．已知P为抛物线y2＝12x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣3的距离之和的最小值是4．【分析】求得圆心与半径，由抛物线的定义可知：可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣3距离之和的最小，利用勾股定理即可求得丨QF丨．解：抛物线y2＝12x的焦点为F（3，0），圆x2+（y﹣4）2＝1的圆心为E（0，4），半径为1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x＝﹣1距离之和的最小为：丨QF丨＝|EF|﹣r＝﹣1＝5﹣1＝4，⇔故答案为：4．12．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是圆x2+y2＝1上的两个不同的动点，且x1y2＝x2y1，则2x1+x2+2y1+y2的最大值为．【分析】利用参数表示A，B，然后利用三角函数求解表达式的最大值即可．解：A（x1，y1）、B（x2，y2）是圆x2+y2＝1上的两个不同的动点，且x1y2＝x2y1，可设A（cosα，sinα）、B（cosβ，sinβ），α、β的终边不重合，可得sinαcosβ﹣cosαsinβ＝0，即sin（α﹣β）＝0，∴α＝2kπ+π+β，k∈Z，则2x1+x2+2y1+y2＝2（cosα+sinα）+cosβ+sinβ＝2[cos（2kπ+π+β）+sin（2kπ+π+β）]+cosβ+sinβ＝2（﹣cosβ﹣sinβ）+cosβ+sinβ＝﹣（cosβ+sinβ）＝﹣sin（β+）．当且仅当β＝时，取得最大值．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）13．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，说明①错误；由直线与平面垂直的性质可知②③正确；由垂直于同一个平面的两个平面有两种位置关系说明④错误．解：①垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，即平行、相交或异面，故①错误；②垂直于同一条直线的两个平面的法向量共线，则两平面互相平行，故②正确；③由直线与平面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．∴正确的结论是②③．故选：C．14．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆（x﹣2）2+y2＝3的位置关系是（）A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点【分析】由已知直线的方程可得斜率的值，进而求出倾斜角的大小，再由题意可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可判断直线l与圆的位置关系．解：直线的斜率为，所以其倾斜角为30°，则该直线绕原点按逆时针方向旋转30°后的直线的倾斜角为60°，即直线l'的方程为y＝x，即x﹣y＝0，由圆（x﹣2）2+y2＝3的方程可得圆心（2，0），半径r＝，所以圆心到直线l的距离d＝＝＝r，所以直线l与圆相切，故选：C．15．已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（）①Γ4的开口最为开阔；②Γ1的开口比Γ3的更为开阔；③Γ2和Γ3的开口的开阔程度相同．A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确【分析】根据离心率的几何意义可知，离心率越大，开口越大，所以求出四条曲线的离心率即可．解：，等轴双曲线，故，，a2＝9，b2＝4，故，，，a2＝4，b2＝9，故，，，等轴双曲线，故，所以，即e3＞e1＝e4＞e2，根据离心率越大，开口越大，可知①②③都不对．故选：D．16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）平方尺．A．142π B．140π C．138π D．128π【分析】根据题意可得这个四棱锥的外接球的直径是：长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的直径，再利用长方体的对角线公式求出球的直径，从而可得球的表面积．解：根据题意可得这个四棱锥的外接球的直径是：长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的直径，设外接球的半径为R，则（2R）2＝72+52+82＝138，∴该球的表面积为4πR2＝138π，故选：C．三、解答题（本大题满分56分）17．已知．（1）求与夹角的大小；（2）若，求实数k的值．【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案；（2）利用向量平行的坐标表示可得答案．解：（1）∵，∴，∴与夹角的大小为．（2）∵，∴，，∵（k）∥（），∴，解得．18．如图所示圆锥P﹣O中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若∠DCE＝30°，，圆锥的高为．（1）求圆锥的侧面积S；（2）求异面直线AE与PC所成角的大小．【分析】（1）根据已知条件求出圆锥的底面半径和母线长，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可；（2）连接AO，EO，可得∠EAO为异面直线AE与PC所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求解即可．解：（1）设圆锥底面半径为r，母线长为l，因为CD为直径，AB是△PCD的中位线，所以，，所以侧面积；（2）连接AO，EO，由A，O分别为PD，CD的中点，得AO∥PC，所以∠EAO为异面直线AE与PC所成的角或其补角，在△AOE中，，，取OD中点为F，连接AF，EF，则，，所以，在△AOE中，，所以异面直线AE与PC所成角的大小为．19．已知圆C：x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为α．（1）当α＝135°时，求弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．【分析】（1）先求出直线l的方程，由圆心到直线的公式求出距离，进而求出AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，OP⊥l，由此可得直线l的斜率，再由点斜式可得直线l的方程．解：（1）当α＝135°时，直线l的方程为：y﹣2＝﹣（x+1）即x+y﹣1＝0，圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝．（2）当弦AB被P（﹣1，2）平分时，OP⊥l，∵kOP＝﹣2，∴kl＝，∴直线l的方程为：y﹣2＝（x+1），即x﹣2y+5＝020．如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，AP∥DE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）若AP＝BP＝AB＝2，DE＝1，平面PAB⊥平面ABCD．求平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的大小．【分析】（1）根据题意可得AB∥CD，由线面平行的判定定理可得答案；（2）取AB中点O，以O为原点，OP，OB，OF分别为z轴，x轴，y轴，利用向量法求二面角即可．解：（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）取AB中点O，过点O作BC的平行线OF，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，因为△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB，PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，故OP，OB，OF两两垂直，以O为原点，OP，OB，OF所在直线分别为z轴，x轴，y轴，建立空间直角坐标系，所以，所以，设平面PEC的法向量，所以，即，令x＝1，则，所以，由题可知平面ABCD的法向量，设平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的平面角为θ，所以，所以平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的平面角为．21．已知曲线的左右焦点为F1，F2，P是曲线E上一动点．（1）求△PF1F2的周长；（2）过F2的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方