2023-2024学年陕西省宝鸡市陇县第二高级中学高一（下）期末数学试卷 （含解析）

2023-2024学年陕西省宝鸡市陇县第二高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（）A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值2．已知复数z满足，则|z|＝（）A．1 B． C． D．3．已知向量，，若+2与垂直，则k＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣14．如表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）：时间12345678空气质量指数（AQI）2028243331353638则这些空气质量指数的75%分位数为（）A．35 B．35.5 C．36 D．375．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（）A．﹣1 B． C．1 D．6．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（）A． B． C． D．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与BB1D1D的交点为O，则（）A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1 B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1 C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD18．已知三棱锥，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．28π B．7π C．14π D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．已知z为复数，下列说法正确的是（）A．若，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i D．（多选）10．下列说法不正确的是（）A．若直线a，b没有交点，则a，b为异面直线 B．若直线a∥平面α，则a与α内任何直线都平行 C．若直线a⊥平面α，平面α∥平面β，则直线a⊥平面β D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（多选）11．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（）A．事件A与事件B互斥 B． C．事件A与事件相互独立 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是人13．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是．14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则2λ+μ＝．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．16．已知向量为坐标原点．（1）若，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求与夹角的余弦值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，AB＝4，AD＝3，PA＝3，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME．（1）当λ＝1时，证明：直线ME∥平面PAD；（2）当λ＝2时，求三棱锥M﹣BCD的体积．18．（17分）某学校为了了解学校食堂的服务情况，邀请就餐师生对食堂服务质量进行打分，最高分为100分随机调查100名就餐的教师和学生，根据这100名师生对食堂服务质量的评分，绘制如图所示频率分布直方图，其中样本数据分组为：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．（1）估计所打分数的众数，平均数；（2）若在第一、二组师生中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名师生进行深人调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．19．（17分）如图，在四棱锥O﹣MNPQ中，底面MNPQ是正方形，OM⊥平面MNPQ，且OM＝MN＝2．（1）求直线PO与平面OMQ所成角的余弦值；（2）求二面角N﹣OP﹣Q的大小．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（）A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值【分析】分别根据百分位数，中位数，众数，均值的定义判断即可求解．解：四分位数在统计学中是把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值，没有代表性；中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，没有代表性；众数是一组数据中出现次数最多的数值，没有代表性；平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，所以选择均值较理想．故选：D．2．已知复数z满足，则|z|＝（）A．1 B． C． D．【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案．解：，所以．故选：D．3．已知向量，，若+2与垂直，则k＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】由向量的数量积的坐标表示可知，＝0，代入即可求解k解：∵＝（，3），又∵∴＝＝0∴k＝﹣3故选：A．4．如表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）：时间12345678空气质量指数（AQI）2028243331353638则这些空气质量指数的75%分位数为（）A．35 B．35.5 C．36 D．37【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．解：8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，又8×75%＝6，所以这些空气质量指数的75%分位数为．故选：B．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（）A．﹣1 B． C．1 D．【分析】根据正弦定理计算可得，代入式子即可求解．解：由，得，所以．故选：C．6．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】根据题意，设向量，夹角为θ，由数量积的计算公式可得（2+）2＝42+2+4•＝5+4cosθ＝8，变形可得答案．解：根据题意，设向量，夹角为θ，若单位向量，满足，则有（2+）2＝42+2+4•＝5+4cosθ＝8，则有cosθ＝，故选：A．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与BB1D1D的交点为O，则（）A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1 B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1 C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1【分析】连接AD1，BC1利用公理2可直接证得，并且由D1M∥AB可得1：2，从而求出结果；解：如图：连接AD1，BC1，利用公理2可直接证得，并且由D1E∥AB且D1E＝AB，∴OD1＝BO，∴D1，O，B三点共线，且OB＝3OD1．故选：B．8．已知三棱锥，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．28π B．7π C．14π D．【分析】设△ABC的外接圆的半径为r，根据正弦定理可求出r，再根据勾股定理建立方程，即可求解．解：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2R，如图经补形可知球心在直三棱柱ABC﹣PDE高的中点处O，O′为△ABC外接圆的圆心，外接球的半径＝2r＝4，∴r＝，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝28π．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．已知z为复数，下列说法正确的是（）A．若，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i D．【分析】根据复数的乘除法运算以及复数的类型，即可判断AB，由复数的模长即可判断D，根据复数的特性判断C．解：设z＝a+bi（a，b∈R），由为实数，得b＝0，所以z＝a∈R，故A正确；若z＝i，则z2＝﹣1∈R，故B错误；不全是实数的两个复数不能比较大小，故C错误；设z＝a+bi（a，b∈R），则，故D正确．故选：AD．（多选）10．下列说法不正确的是（）A．若直线a，b没有交点，则a，b为异面直线 B．若直线a∥平面α，则a与α内任何直线都平行 C．若直线a⊥平面α，平面α∥平面β，则直线a⊥平面β D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【分析】根据空间直线的位置关系，可判断A，B；利用面面平行的性质以及线面垂直的判定可判断C；根据空间的等角定理可判断D．解：对于A，直线a，b没有交点，则直线a，b为平行直线或异面直线，故A错误；对于B，直线a∥平面α，则a与α内任何直线都没有交点，则a与α内直线可能为平行直线或异面直线，故B错误；对于C，直线a⊥平面α，则α内一定存在两相交直线，不妨设为m，n，满足a⊥m，a⊥n，由平面α∥平面β，过m作一平面与β相交，交线设为m′，则m∥m′，同理过n作一平面与β相交，交线设为n′，则n∥n′，则m′，n′相交，则a⊥m′，a⊥n′，故直线a⊥平面β，故C正确；对于D，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，根据等角定理可知，这两个角相等或互补，故D正确．故选：AB．（多选）11．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（）A．事件A与事件B互斥 B． C．事件A与事件相互独立 D．【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断．解：由题意可得：P（A）＝＝，P（B）＝＝，则P（）＝1﹣P（B）＝，∵n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（AB），∴n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝3≠0，即事件A与事件B不互斥，A错误；可得：n（∪B）＝n（Ω）﹣n（A）+n（AB）＝12，故P（AB）＝＝，P（∪B）＝＝，P（AB）＝1﹣P（∪B）＝，P（）＝1﹣P（AB）＝，可知B正确，D错误；又∵P（A）＝P（A）P（），∴事件A与事件相互独立，C正确．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是20人【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数．解：由题意，应抽取的女生人数是人．故答案为：20．13．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是路．【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面，再由其特征得到结果．解：由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对，由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”．故答案为：路．14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则2λ+μ＝2．【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．解：∵，E为CD的中点，∴＝＝（+）＝﹣，∴＝+＝+﹣＝+，∵，∴λ＝，μ＝，∴2λ+μ＝2，故答案为：2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosC的值，结合0＜C＜π，可求C的值；（2）由已知利用三角形的面积公式可求ab的值，由已知可求a+b的值，联立方程即可解得a，b的值．解：（1）因为ab＝c2﹣a2﹣b2，由余弦定理有因为0＜C＜π，可得；（2）因为△ABC的面积为，，可得，可得ab＝8，又由，有ab＝28﹣a2﹣b2，可得a2+b2＝20，有，联立方程，解得，或，故a＝2，b＝4或a＝4，b＝2．16．已知向量为坐标原点．（1）若，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求与夹角的余弦值．【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得2×（﹣2）＝1﹣m，解可得答案；（2）根据题意，设的夹角为θ，由数量积的计算公式计算可得答案．解：（1）根据题意，因为，所以，又因为∥，则有2×（﹣2）＝1﹣m，解可得m＝5；（2）由（1）知，设的夹角为θ，则．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，AB＝4，AD＝3，PA＝3，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME．（1）当λ＝1时，证明：直线ME∥平面PAD；（2）当λ＝2时，求三棱锥M﹣BCD的体积．【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可．（2）根据，求出三棱锥M﹣BCD的高，然后利用体积公式即可．解：（1）证明：取PD中点N，连接MN、AN，∵MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，且，又AE∥CD，且，∴四边形AEMN为平行四边形，∴ME∥AN又ME⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴ME∥平面PAD．（2）∵，P到平面ABCD的距离为3，∴点M到平面ABCD的距离为1，∴．18．（17分）某学校为了了解学校食堂的服务情况，邀请就餐师生对食堂服务质量进行打分，最高分为100分随机调查100名就餐的教师和学生，根据这100名师生对食堂服务质量的评分，绘制如图所示频率分布直方图，其中样本数据分组为：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．（1）估计所打分数的众数，平均数；（2）若在第一、二组师生中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名师生进行深人调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．【分析】（1）根据频率分布直方图，以及众数的定义，以及平均数的计算公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，古典概型的概率公式，即可求解．解：（1）由频率分布直方图可知，众数为，5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，故平均数为10×0.05+30×0.1+50×0.2+70×0.35+90×0.3＝65．（2）由频率分布直方图可知，第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1，则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为a，b，第二组抽4人，记为A，B，C，D，故将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，Aa，Ab，Ba，Bb，