2024秋高中数学第一章常用逻辑用语章末评估验收达标练习含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-章末评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列语句中是命题的是()A．梯形是四边形 B．作直线ABC．x是整数 D．今日会下雪吗？答案：A2．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0答案：C3．已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则¬p为()A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000解析：特称命题的否定为全称命题，即∀n∈N，2n≤1000.答案：A4．已知命题①若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0.则下列说法正确的是()A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真解析：①的逆命题为若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，则a＞b，若a＝－2，b＝3，则不成立，故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．答案：D5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A6．已知命题p：若实数x，y满意x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).下列命题p∧q，p∨q，¬p，¬q中，真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，¬p，¬q是假命题．答案：B7．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－eq\f(1,a)有实根，故a＜0.答案：C8．下列说法正确的是()A．a>b是ac2>bc2的充要条件B．a>1，b>1是ab>1的充分条件C．∃x0∈R，ex0≤0D．若p∧q为假命题，则p∨q为真命题解析：由a>b推不出ac2>bc2，A不正确；由a>1，b>1能推出ab>1，B正确；ex0>0(x0∈R)恒成立，C不正确；由p，q都为假命题可得p∧q为假命题，此时p∨q为假命题，D不正确．答案：B9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m＞0恒成立，则m＞eq\f(1,4)；命题q：在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件，则()A．p假q真 B．“p且q”为真C．“p或q”为假 D．¬p假¬q真解析：易推断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以¬p为假，¬q为假．结合各选项知B正确．答案：B10．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”，是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数．若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不肯定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．答案：B11．以下推断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，xeq\o\al(3,0)<xeq\o\al(2,0)”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要而不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选项A是全称命题，不正确；选项B应当是∃x0∈N*，xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0)，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，周期T＝eq\f(2π,2a)＝eq\f(π,a)，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确．答案：D12．有下列命题：①“若x＋y≥0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④解析：①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”，为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m≥1”，因为当m＝0时，解集不是R，所以应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＜0，))即m＞1，所以③是假命题；④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．若“x∈[2，5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．解析：由题意知，x∉[2，5]且x∉{x|x<1或x>4}是真命题，即x∈(－∞，2)∪(5，＋∞)且x∈{x|1≤x≤4}为真命题，可得x∈[1，2)．答案：[1，2)14．若|x－1|<a的充分条件是|x－1|<b(其中a，b>0)，则a，b之间的关系是________．解析：由题意可知|x－1|<b的解集包含于|x－1|<a的解集，所以a≥b.答案：a≥b15．命题“在△ABC中，假如∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2”的逆否命题是________________．答案：在△ABC中，若c2≠a2＋b2，则∠C≠90°16．给出下列四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“随意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2＋1＜0”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号)解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件是正确的．答案：②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别推断真假；(2)p：对角线相互垂直的四边形是菱形，q：对角线相互平分的四边形是菱形，请写出“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题．解：(1)逆命题：当c<0时，若a<b，则ac>bc，是真命题．否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≥b，是真命题．逆否命题：当c<0时，若a≥b，则ac≤bc，是真命题．(2)p或q：对角线相互垂直或相互平分的四边形是菱形．p且q：对角线相互垂直且相互平分的四边形是菱形．非p：对角线相互垂直的四边形不是菱形．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并推断其真假，同时说明理由．(1)q：全部等边三角形都是等腰三角形；(2)r：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.解：(1)¬q：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题．(2)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥x＞0成立．(3)¬s：∀x∈R，3x－1≠0，假命题．这是由于x＝0时，3x－1＝0.19．(本小题满分12分)给定两个命题，p：对于随意实数x，都有ax2＋ax＋1＞0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；假如p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．解：对随意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立⇔a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0，))可以得到0≤a＜4.关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤eq\f(1,4).假如p正确，q不正确，有0≤a＜4，且a＞eq\f(1,4)，所以eq\f(1,4)＜a＜4.假如q正确，p不正确，有a＜0或a≥4，且a≤eq\f(1,4)，所以a＜0.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)).20．(本小题满分12分)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：¬p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))>2，解得x<－2或x>10，令A＝{x|x<－2或x>10}．¬q：x2－2x＋1－m2>0，解得x<1－m或x>1＋m，令B＝{x|x<1－m或x>1＋m}．因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以BA，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10))且等号不能同时成立⇒m≥9，所以m的取值范围是[9，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知c＞0，设命题p：y＝cx为减函数；命题q：函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．解：由p∨q为真，p∧q为假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类探讨即可．若p真，由y＝cx为减函数，得0＜c＜1.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值为2，若q真，则eq\f(1,c)＜2，即c＞eq\f(1,2).若p真q假，则0＜c＜1，c≤eq\f(1,2)，所以0＜c≤eq\f(1,2)；若p假q真，则c≥1，c＞eq\f(1,2)，所以c≥1.综上可得，c∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)＜0的解集为A，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题，得x2－x－m＜0在－1≤x≤1时恒成立，所以m＞(x2－x)max，得m＞2，即B＝{m|m＞2}．(2)不等式(x－3a)(x－a－2)＜0，①当3a＞2＋a，即a＞