2021-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何_第1页
2021-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何_第2页
2021-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何_第3页
2021-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何_第4页
2021-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何_第5页
已阅读5页,还剩10页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第一章空间向量与立体几何

1.2空间向量在立体几何中的应用

1.2.4二面角

课后篇巩固提升

A必备知识基础练

1.已知二面角a-//的两个半平面a与夕的法向量分别为a,b,K<a,b>=7,WlJ-lS^«-/-/?的大小为

6

()

AZB.-

A46

C.E或空D酒

SSc

2.如图,设AB为圆锥P0的底面直径44为母线,点C在底面圆周上,若是边长为2的正三角形,

且COJ_AB,则二面角P-AC-B的正弦值是()

A.V6

答案B

|如图,取AC的中点£>,连接OD,PD、:PO_L底面,.:PO_LAC,

:OA=OC,D为AC的中点,

/.OD±AC,

又POnOD=O,.:ACJ_平面POO,则ACA.PD,

.:NPOO为二面角P-AC-B的平面角.

:飞胡〃是边长为2的正三角形,

.:尸O=V5,OA=OC=1,OE>¥,

贝IP£»=J(b)2+(曰)2=字

.:sinZPDO=—=鼻=画.故选B.

PDV147

2

3.正方形ABCD所在平面外一点尸,尸4,平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为

()

A.30°B.45°C,60°D,90°

前B

|解析卜如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,

则A(O,O,O)Q(O,1,O),P(O,O』).

于是同=(0,1,0),取PD的中点E,则E(0弓,?,

.:族=(0怖,?,易知而是平面PAB的法向量,版是平面PCO的法向量,

.".cos<AD,AE>=^-,

.:平面248与平面PCD所成的角为45°.

4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整.

(I)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).

如图①已知:a〃a,,

求证:.

(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.

如图②已知:a夕HBnC£>=B,arV=C£>,,,

求证:A3_LQ.

证明:在//内引直线,垂足为氏则是二面角的平面角,由知.

又A3,乃七和CO是S内的两条_______直线,所以A3,及

C

图①图②

廨|(1)已知:〃〃a,au仇an/3=b,求证:。〃h.

故答案为auf),anS=b;a〃b.

(2)如图②已知:a_LAA8nCQ=3,

a7二C£MBua/8J_C£),

求证:

证明:在用内引直线8EJ_C2垂足为B,

则NABE是二面角a-C。/的平面角,

由a_L£,知AB_LBE,又ABJLC2

BE和C£>是4内的两条相交直线,所以AB邛.

故答案为AB<zaABA.CD,BEl.CD,ZABE,a-CD-p,AB±BE,^交.

5.已知点。在二面角a-AB/的棱上,点P在平面a内,且NPO8=60°.若直线尸。与平面夕所成的角

为45°,则二面角a-AB/的正弦值为.

|解析|如图,过点P作PE_L4垂足为£过点E作EF_LAB,垂足为F,连接OE,PF,

则NPOE为直线尸。与平面夕所成的角,/PFE为二面角a/B/的平面角.

设。尸=/a,则在RtaEO中,由/POE=45°,可得PE=a;在RtAPFO中,由/P05=60°,可得

PF=V2a-sin600巫a;在RtAPEF中,sin/PFE="M=渔,即二面角a-AB/的正弦值为渔.

2PF33

6.在空间中,已知平面a过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面a与平面xOy所成的角

为45°,则a=.

解也|平面火力的法向量n=(O,O,l),设平面a的法向量为u=a,y,z),则偿二汇;'

即3x=4y=az,取z=l,则人

T,1V2

而cos<n,u>=,=—,

2

又:力>0,.:a=£.

7.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面A8CD是菱形,且PAL平面ABC£),P4=AO=4C,点F为PC

的中点,求二面角C-8F-。的正切值.

网如图所示,设AC与8。交于0,

连接0F,以。为坐标原点,03,0C,0F所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

Oxyz.

设PA=AD=AC=1,则BD=®

所以0(0,0,0),88D尸的一个法向量.

由玩=(*$0),丽=(亨,0,-?,可得平面BCF的一个法向量为n=(l,遍,回,所以

cos<n,OC>=手,sin<n,0C>=手,所以tan<n,OC>=竽.

8.

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ND4B=60°,A8=2AO,PO_L底面ABCD.

⑴证明:幺口。;

(2)设PD=A。,求二面角A-PB-C的余弦值.

(怔明|因为/D48=60°由余弦定理得BDmAD从而8D2+44=452,故BDVAD.

又PD工底面A8CD,可得BDLPD,

(2嫡如图,以。为坐标原点,AO的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

则A(1,0,0),8(0,W,0),C(-1,V3,0),P(0,0,l).

荏=(-1,百,0),而=(0,e,-1),近=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则1n丝=°'即

{n-PB=0,

(-x+V3y=0,

因此可取n=(V3,1,V3).

(V3y-z=0,

7n

设平面P3C的法向量为m=(a/,c),则1,竺=即[百儿;=0,可取m=(0.lr

(.m-BC=0,la=°,

V3),cos<m,n>=^=—

由图形知二面角A-P5-C大小为钝角,

故二面角A-PB-C的余弦值为空■.

2’

正方体ABCDAEC。'的棱长等于2,E,尸分别是B7);AC的中点.求:

(1)直线A夕和平面ACZT所成角的正弦值;

(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.

廨如图建立空间直角坐标系Dxyz,

:,正方体的棱长等于2,£F分别是8'£>\AC的中点,.:

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)Q(0,0,2)B(2,2,2),E(1』,2),F(1,1,0).

(1)初=(-2,0,2),前=(-2,2,0),带=(0,2,2),设11=(月4/')是平面4。。'的一个法向量,

I由仇•布=0,1(x',y',z)(-2,0,2)=0,

U^C=O,l(x',y',z'X-2,2,0)=0,

z'=x',

y'=x\

取x'=l,得平面AC。'的一个法向量n=(l,l,l),

设直线A夕和平面ACQ'所成角的大小为仇则sin(?=^4S=色■「半四=立,

\n\\AB'\VJ3xV83

.:直线49和平面4C。所成角的正弦值是当

>■>

(2)OB=(2,2,0),OC=(0,2,-2),

设m=(孙yo,zo)是平面B'CO的一个法向量,

则由,竺=°,得二取3-o=l得平面80的一个法向量m=(-1,1,1),

UnD'C=0So-y。,

由图形知二面角B'-CD'-A的大小为锐缸

故二面角8'-C£>'-A的余弦值是点

B关键能力提升练

10.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AA已知

4B=4,AC=6,BD=8,CD=2后,则该二面角的大小为()

A.1500B.450C.60°D.1200

同C

|解析|由条件知,福•四=0,荏-丽=0,

'■,>>>'一….

CD=CA+AB+BD.

.'.\CD\2=\CA\2+\AB\2+\BD\2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2X6X8COS<C4,BD>=(2VT7)2,

.:cos<^4,fiD>=-5,<CA,BD>=120°,

.:二面角的大小为60°,故选C.

11.设三棱锥UA8C的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱K4上的点(不含端点).记直线PB与直

线AC所成的角为a,直线P8与平面ABC所成的角为夕,二面角P-4C-B的平面角为人则()

A.y?<y,a<y

C.p<a,y<aV>.a<p,y<p

ggB

解画如图

G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点。,则点P在底面ABC上的投影点。在线段A。上,过

点D作DE垂直AE,易得PE〃卜G,过点P作PF//AC交VG于点F,过点。作OH〃AC,交BG于点H,

则a=NBPF,£=NPBD,产/PED,

的〜PFEGDH)BD〃

加以cosa=—=—=—<一=cosp,

PBPBPBPBL

所以a>B,因为tany=^>券=tan尸,

所以>>夕.故选B.

12.

GB

如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC上,若二面角A-8D-E与二面角

E-BQC的大小分别为30°和45°,则芸=()

B片若

答案匕

臃画取BD的中点O,连接AO,EO,C'O,

:'菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,

.:C'0_LBO,AO_LBD,OC'=OA,

.:8。_1平面40。,

.:EO_LBD:•二面角A-BD-E与二面甬E-8D-C'的大小分别为30°和45°,

.:/AO£=30°,/EOC'=45°,

"/OC'=OA,/.ZOC'E=AOAE,

由正弦定理得°E,=EC'

sin乙OC'Esinz.EOC

OE_4E

Sinz-OAEsin乙40E'

.EC_4E

**sinzEOC-sin4OE'

,AE_sin300丑邛故选c.

*EC—sin45°

2

13.

如图所示,将边长为a的正三角形4BC,沿8c边上的高线AO将AABC折起.若折起后B,C'间距离为今

则二面角8-AD-C的大小为.

14.如图,在矩形ABCD中工B=1,BC=g,E为线段BC上一动点,现将“BE沿AE折起得到AAB'E,当

二面角B1-AE-D的平面角为120°,点B在平面ABC上的投影为K,当E从B运动到C,则点K所形成

轨迹是.

彝一段圆弧

B'

D

BE

过K作KOJ_AE,连接OB;

:'二面角B'-AE-Q的平面角为120°,

.:N夕0K=60°,"。=加0,

从而原问题就转化为B'OLAE,K为夕。中点,求K的轨迹长度,如右图,

:'B'OLAE,.'.O在以48'为直径的圆上,取AB'中点J,则JKLB'K,所以K点的轨迹是以B'J为置

径的圆上的一段弧.

如图,在四棱锥P-ABCD中,PC,底面ABC。,四边形ABC。是直角梯形

CD,AB=2AO=2CD=2,E是PB的中点.若二面角P-AC-E的余弦值为泉求直线PA与平面EAC所成角

的正弦值.

网如图,作b〃D4,交AB于点尸,以C为原点,无,而,而分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直

角坐标系,则C(0,0,0)4(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a>0),则

^4=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE

取m=(l,-l,0),则m.C4=m£P=0,所以m为平面PAC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EAC的

一个法向量,

n.日=°,即%4-y=0,立

则到+。2=0,取户”,

nCE=0,

可得n=(a,-a,-2),

依题意,|cos<m,n>|=j^=~^==9,则”=1(负值舍去).

于是n=(l,-l,-2),丙

设直线PA与平面E4C所成的角为“则sin6»=|cos<园,n>|=¥,即直线PA与平面EAC所成角的

正弦值为也.

3

16.如图1,等腰梯形ABCD中/8〃。,48=24。=4,尸为48的中点,对角线AC平分ND4B,将"C。

沿AC折起到如图2中△ACO的位置.

(1)求证:2。'_14。.

(2)若二面角B-AC-。为直二面角,M为线段AB上的点,且二面角A-OCM与二面角大小相

等,求出*的值.

AB

(1怔明|连接OP,CP,设DP与AC交于点0,如图3所示.:•四边形ABCD是等腰梯形,A8〃OC,

.,.AD=BC,ZDCA=NCAB.

又AC平分ND48,

.,.ZDAC=ZCAB=ZDCA,.".CD=AD,H^P为AB的中点48=24£>,易证得四边形APCD为菱

形,.:AC_LZ)P.

图4

如图4,:NCJ_0P4CJ_0。',且0尸。0。'=0,

.:AC_L平面D'PO,又PO'u平面D'PO,

/.PD'IAC.

(2解:•二面角B-AC-。'为直二面角4CL0P,

.:OPJ_平面ACD',易知OP//BC,

.:BC_L平面ACO;

.:二面角A-D'C-B为直二面角.

又:•二面角A-O'C-M与二面角M-D'C-B大小相等,.:二面角A-O'C-M的平面角为45°,

z

in

图5

以O为坐标原点,04所在直线为x轴,O尸所在直线为y轴,0。所在直线为z轴,建立如图5所示

的空间直角坐标系Oxyz.

如图3,在菱形APCD中,易知NPA。],.:OD=OP=1QA=OC=®

ZA(V3,0,0),B(-V3)2,0),C(-V3,0,0),D'(0,0,1),CO=(V3,0,1)^B=(-2V3,2,0),

设宿=/1荏(OW/iWl),

.:M(V3-2V32,2^,0),.:CM=(2V3(1-2),2尢0),易知平面AC。'的一个法向量为m=(0,1,0),

设n=(x,y,z)为平面MCD'的法向量,

则卜•西=0,即f2V3(l-A)x+2Ay=0,

2

取x=l,贝Iz=-V3j--^y^,^n=(i^|cos<m>n>|=!inp[=।a=今

'A|TO"n|卜广洌+32

解得2=2返-3,满足题意,故丝=2次-3.

AB

17.

如图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCO为平行四边形,8E=BC,AEJ_8E,M为CE上一点,且8例_1面

ACE.

(1)求证:AE_L8C;

(2)若点N为线段AB的中点,求证:MN〃面AOE;

⑶若BE=4,CE=4注,且二面角A-BC-E的大小为45°,求三棱锥C-ABE的体积.

(1月正明|:平面ACE5AEu平面ACE,

.".BMA.AE.VAELBE,BMr\BE=B,

.:AE_L平面BCE.:'BCu平面BCE,/.AE±BC.

(2月正明|取DE中点尸,连接PM,AP,

:,BC=BE,BMLAE,

;.M为CE的中点,

:.MP/耶CHANdMP=AN,

;.APMN为平行四边形,.:MN〃AP.

:.MNt平面ADE,APcz平面ADE,

.:MN〃平面ADE.

(3嫡由BE=BC=4,CE=4应,得BC_LBE.:'BC_LAE,4EnBE=E,.:BC_L平面ABE..:NABE为二面甬

A-BC-E的平面角..:ZAHE=45°,.:AE=BE=4.

.:三棱锥C-ABE的体积三x1X42X4=—.

323

18.(2021全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCE)的底面是矩形,底面48C£»,PD=£)C=1,例为BC的

中点,且尸3J_AM.

⑴求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

圈(1)连接BD.;PD工底面ABCRAMu底面ABCD,.:P"AM.

:'PBLAM,PBCPD=P,

.:AM_L平面PBD,.t.AMA.BD,

.:NAOB+C=90°.

又/OAM+/MA8=90°,

.".ZADB=ZMAB,

ABBM

.:ifiC2=l,.:BC=V2.

(2)如图,以。为原点,瓦4反,而分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得

A(V2,0,0),B(V2,l,0),M(^,1,O),P(O,O,1),AP=(-e,0/)丽=(-4,1,0),前=(弓,0,0)丽=(-V2,-1,1).

设平面AM尸的一个法向量为

加亚=0,即-y/2x1+Z]=0,

则坛工

jn-AM=0,(-y^i+yi=n0,

令Xi=a,则yi=l,zi=2,可得m=(V2,l,2).

设平面B例P的一个法向量为n=(X2j2,Z2),

同理可得n=(O,l,l).

则cos<m,n>=-^-=折:泛=3及.设二面角A-PM-B的平面角为。,则sin^^/l-cos2<m,n>—

19.

如图,在长方体ABCD-ABiCQ中,己知上下两底面为正方形,且边长均为1,侧棱44=2,E为BC中

点,尸为CD中点,G为BBi上一个动点.

(1)确定G点的位置,使得。地_1_平面A尸G;

(2)当QiEL平面AFG时,求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.

廨[⑴如图,

分别以D4,OC,。。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

则£>(0,0,0)4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),Di(0,0,2).

因为E为BC中点,尸为CD中点,所以E(),O),F(O,扣).由题意得。1E_LAFQ|E_LAG,设

G(1,1,0.

又承=(摄1,-2),而=(-1,i,0),AG=(0,1,t).因为。E_L平面AFG,则AF=0,

-AG=0,

得l-2/=0,r=|.

.:BG=*即G为BBi的四等分点.

(2)由题意知,平面AFE的一个法向量为m=(O,O,l),设平面AFG的法向量n=(x,y,z).

几=0,p卜"+尸=1p/1。八.mn4721

付〈1取x=・l,付n=(-l,-2,4).•.cos<m,n>=--=

en=0,ly+1z=0,澳网21

由图形知二面角G-AF-E的大小为锐角.

.:二面角G-AF-E的平面角的余弦值为史红.

C一学科素养拔高练

20.

如图,A8是圆O的直径,点C是圆O上异于A,8的点,直线PC,平面分别是P4,PC的中点.

(1)记平面BE尸与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面PAC的位置关系,并加以证明;

(2)设(1)中的直线/与圆。的另一个交点为。,且点。满足丽=[而,记直线PQ与平面A8C所成的

角为仇异面直线PQ与E厂所成的角为a,二面角E-/-C的大小为.,求证:sin叙sinasmp.

(1解直线/〃平面PAC,证明如下:

连接EF,因为分别是PA,PC的中点,

所以所〃AC.

又EFC平面ABC,且ACu平面ABC,

所以EF〃平面ABC

而EFu平面8EF,且平面8£7TI平面ABC=I,

所以EF〃/.

因为/C平面P4C,ER=平面PAC,

所以直线/〃平面PAC.

(2)|证明|如图,由而=:渭,作£>Q〃CP,且DQ^CP.

连接/>。,£'尸,2£8£8。,由(1)可知交线/即为直线BD.

以点C为原点,向量不,刀,前所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设

CA=a,CB=6,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,Z>,0),P(0,0,2c),e(«Ac),£(ja,0,cJ,F(0,0,c).

于是猫=ga,0,0),QP=(-a,-b,c)^F=(0,-b,c),

历•西

所以cosa=-

\FE\\QP\_Va2+b2+cz,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论