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文档简介
第一章空间向量与立体几何
1.2空间向量在立体几何中的应用
1.2.4二面角
课后篇巩固提升
级
A必备知识基础练
1.已知二面角a-//的两个半平面a与夕的法向量分别为a,b,K<a,b>=7,WlJ-lS^«-/-/?的大小为
6
()
AZB.-
A46
C.E或空D酒
SSc
2.如图,设AB为圆锥P0的底面直径44为母线,点C在底面圆周上,若是边长为2的正三角形,
且COJ_AB,则二面角P-AC-B的正弦值是()
A.V6
答案B
|如图,取AC的中点£>,连接OD,PD、:PO_L底面,.:PO_LAC,
:OA=OC,D为AC的中点,
/.OD±AC,
又POnOD=O,.:ACJ_平面POO,则ACA.PD,
.:NPOO为二面角P-AC-B的平面角.
:飞胡〃是边长为2的正三角形,
.:尸O=V5,OA=OC=1,OE>¥,
贝IP£»=J(b)2+(曰)2=字
.:sinZPDO=—=鼻=画.故选B.
PDV147
2
3.正方形ABCD所在平面外一点尸,尸4,平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为
()
A.30°B.45°C,60°D,90°
前B
|解析卜如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,
则A(O,O,O)Q(O,1,O),P(O,O』).
于是同=(0,1,0),取PD的中点E,则E(0弓,?,
.:族=(0怖,?,易知而是平面PAB的法向量,版是平面PCO的法向量,
.".cos<AD,AE>=^-,
.:平面248与平面PCD所成的角为45°.
4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整.
(I)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).
如图①已知:a〃a,,
求证:.
(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.
如图②已知:a夕HBnC£>=B,arV=C£>,,,
求证:A3_LQ.
证明:在//内引直线,垂足为氏则是二面角的平面角,由知.
又A3,乃七和CO是S内的两条_______直线,所以A3,及
C
图①图②
廨|(1)已知:〃〃a,au仇an/3=b,求证:。〃h.
故答案为auf),anS=b;a〃b.
(2)如图②已知:a_LAA8nCQ=3,
a7二C£MBua/8J_C£),
求证:
证明:在用内引直线8EJ_C2垂足为B,
则NABE是二面角a-C。/的平面角,
由a_L£,知AB_LBE,又ABJLC2
BE和C£>是4内的两条相交直线,所以AB邛.
故答案为AB<zaABA.CD,BEl.CD,ZABE,a-CD-p,AB±BE,^交.
5.已知点。在二面角a-AB/的棱上,点P在平面a内,且NPO8=60°.若直线尸。与平面夕所成的角
为45°,则二面角a-AB/的正弦值为.
|解析|如图,过点P作PE_L4垂足为£过点E作EF_LAB,垂足为F,连接OE,PF,
则NPOE为直线尸。与平面夕所成的角,/PFE为二面角a/B/的平面角.
设。尸=/a,则在RtaEO中,由/POE=45°,可得PE=a;在RtAPFO中,由/P05=60°,可得
PF=V2a-sin600巫a;在RtAPEF中,sin/PFE="M=渔,即二面角a-AB/的正弦值为渔.
2PF33
6.在空间中,已知平面a过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面a与平面xOy所成的角
为45°,则a=.
解也|平面火力的法向量n=(O,O,l),设平面a的法向量为u=a,y,z),则偿二汇;'
即3x=4y=az,取z=l,则人
T,1V2
而cos<n,u>=,=—,
2
又:力>0,.:a=£.
7.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面A8CD是菱形,且PAL平面ABC£),P4=AO=4C,点F为PC
的中点,求二面角C-8F-。的正切值.
网如图所示,设AC与8。交于0,
连接0F,以。为坐标原点,03,0C,0F所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
Oxyz.
设PA=AD=AC=1,则BD=®
所以0(0,0,0),88D尸的一个法向量.
由玩=(*$0),丽=(亨,0,-?,可得平面BCF的一个法向量为n=(l,遍,回,所以
cos<n,OC>=手,sin<n,0C>=手,所以tan<n,OC>=竽.
8.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ND4B=60°,A8=2AO,PO_L底面ABCD.
⑴证明:幺口。;
(2)设PD=A。,求二面角A-PB-C的余弦值.
(怔明|因为/D48=60°由余弦定理得BDmAD从而8D2+44=452,故BDVAD.
又PD工底面A8CD,可得BDLPD,
(2嫡如图,以。为坐标原点,AO的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
则A(1,0,0),8(0,W,0),C(-1,V3,0),P(0,0,l).
荏=(-1,百,0),而=(0,e,-1),近=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则1n丝=°'即
{n-PB=0,
(-x+V3y=0,
因此可取n=(V3,1,V3).
(V3y-z=0,
7n
设平面P3C的法向量为m=(a/,c),则1,竺=即[百儿;=0,可取m=(0.lr
(.m-BC=0,la=°,
V3),cos<m,n>=^=—
由图形知二面角A-P5-C大小为钝角,
故二面角A-PB-C的余弦值为空■.
2’
〃
正方体ABCDAEC。'的棱长等于2,E,尸分别是B7);AC的中点.求:
(1)直线A夕和平面ACZT所成角的正弦值;
(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.
廨如图建立空间直角坐标系Dxyz,
:,正方体的棱长等于2,£F分别是8'£>\AC的中点,.:
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)Q(0,0,2)B(2,2,2),E(1』,2),F(1,1,0).
(1)初=(-2,0,2),前=(-2,2,0),带=(0,2,2),设11=(月4/')是平面4。。'的一个法向量,
I由仇•布=0,1(x',y',z)(-2,0,2)=0,
U^C=O,l(x',y',z'X-2,2,0)=0,
z'=x',
y'=x\
取x'=l,得平面AC。'的一个法向量n=(l,l,l),
设直线A夕和平面ACQ'所成角的大小为仇则sin(?=^4S=色■「半四=立,
\n\\AB'\VJ3xV83
.:直线49和平面4C。所成角的正弦值是当
>■>
(2)OB=(2,2,0),OC=(0,2,-2),
设m=(孙yo,zo)是平面B'CO的一个法向量,
则由,竺=°,得二取3-o=l得平面80的一个法向量m=(-1,1,1),
UnD'C=0So-y。,
由图形知二面角B'-CD'-A的大小为锐缸
故二面角8'-C£>'-A的余弦值是点
级
B关键能力提升练
10.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AA已知
4B=4,AC=6,BD=8,CD=2后,则该二面角的大小为()
A.1500B.450C.60°D.1200
同C
|解析|由条件知,福•四=0,荏-丽=0,
'■,>>>'一….
CD=CA+AB+BD.
.'.\CD\2=\CA\2+\AB\2+\BD\2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD
=62+42+82+2X6X8COS<C4,BD>=(2VT7)2,
.:cos<^4,fiD>=-5,<CA,BD>=120°,
.:二面角的大小为60°,故选C.
11.设三棱锥UA8C的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱K4上的点(不含端点).记直线PB与直
线AC所成的角为a,直线P8与平面ABC所成的角为夕,二面角P-4C-B的平面角为人则()
A.y?<y,a<y
C.p<a,y<aV>.a<p,y<p
ggB
解画如图
G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点。,则点P在底面ABC上的投影点。在线段A。上,过
点D作DE垂直AE,易得PE〃卜G,过点P作PF//AC交VG于点F,过点。作OH〃AC,交BG于点H,
则a=NBPF,£=NPBD,产/PED,
的〜PFEGDH)BD〃
加以cosa=—=—=—<一=cosp,
PBPBPBPBL
所以a>B,因为tany=^>券=tan尸,
所以>>夕.故选B.
12.
GB
如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC上,若二面角A-8D-E与二面角
E-BQC的大小分别为30°和45°,则芸=()
B片若
答案匕
臃画取BD的中点O,连接AO,EO,C'O,
:'菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,
.:C'0_LBO,AO_LBD,OC'=OA,
.:8。_1平面40。,
.:EO_LBD:•二面角A-BD-E与二面甬E-8D-C'的大小分别为30°和45°,
.:/AO£=30°,/EOC'=45°,
"/OC'=OA,/.ZOC'E=AOAE,
由正弦定理得°E,=EC'
sin乙OC'Esinz.EOC
OE_4E
Sinz-OAEsin乙40E'
.EC_4E
**sinzEOC-sin4OE'
,AE_sin300丑邛故选c.
*EC—sin45°
2
13.
如图所示,将边长为a的正三角形4BC,沿8c边上的高线AO将AABC折起.若折起后B,C'间距离为今
则二面角8-AD-C的大小为.
14.如图,在矩形ABCD中工B=1,BC=g,E为线段BC上一动点,现将“BE沿AE折起得到AAB'E,当
二面角B1-AE-D的平面角为120°,点B在平面ABC上的投影为K,当E从B运动到C,则点K所形成
轨迹是.
彝一段圆弧
B'
D
BE
过K作KOJ_AE,连接OB;
:'二面角B'-AE-Q的平面角为120°,
.:N夕0K=60°,"。=加0,
从而原问题就转化为B'OLAE,K为夕。中点,求K的轨迹长度,如右图,
:'B'OLAE,.'.O在以48'为直径的圆上,取AB'中点J,则JKLB'K,所以K点的轨迹是以B'J为置
径的圆上的一段弧.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC,底面ABC。,四边形ABC。是直角梯形
CD,AB=2AO=2CD=2,E是PB的中点.若二面角P-AC-E的余弦值为泉求直线PA与平面EAC所成角
的正弦值.
网如图,作b〃D4,交AB于点尸,以C为原点,无,而,而分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直
角坐标系,则C(0,0,0)4(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a>0),则
^4=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE
取m=(l,-l,0),则m.C4=m£P=0,所以m为平面PAC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EAC的
一个法向量,
n.日=°,即%4-y=0,立
则到+。2=0,取户”,
nCE=0,
可得n=(a,-a,-2),
依题意,|cos<m,n>|=j^=~^==9,则”=1(负值舍去).
于是n=(l,-l,-2),丙
设直线PA与平面E4C所成的角为“则sin6»=|cos<园,n>|=¥,即直线PA与平面EAC所成角的
正弦值为也.
3
16.如图1,等腰梯形ABCD中/8〃。,48=24。=4,尸为48的中点,对角线AC平分ND4B,将"C。
沿AC折起到如图2中△ACO的位置.
(1)求证:2。'_14。.
(2)若二面角B-AC-。为直二面角,M为线段AB上的点,且二面角A-OCM与二面角大小相
等,求出*的值.
AB
(1怔明|连接OP,CP,设DP与AC交于点0,如图3所示.:•四边形ABCD是等腰梯形,A8〃OC,
.,.AD=BC,ZDCA=NCAB.
又AC平分ND48,
.,.ZDAC=ZCAB=ZDCA,.".CD=AD,H^P为AB的中点48=24£>,易证得四边形APCD为菱
形,.:AC_LZ)P.
图4
如图4,:NCJ_0P4CJ_0。',且0尸。0。'=0,
.:AC_L平面D'PO,又PO'u平面D'PO,
/.PD'IAC.
(2解:•二面角B-AC-。'为直二面角4CL0P,
.:OPJ_平面ACD',易知OP//BC,
.:BC_L平面ACO;
.:二面角A-D'C-B为直二面角.
又:•二面角A-O'C-M与二面角M-D'C-B大小相等,.:二面角A-O'C-M的平面角为45°,
z
in
图5
以O为坐标原点,04所在直线为x轴,O尸所在直线为y轴,0。所在直线为z轴,建立如图5所示
的空间直角坐标系Oxyz.
如图3,在菱形APCD中,易知NPA。],.:OD=OP=1QA=OC=®
;
ZA(V3,0,0),B(-V3)2,0),C(-V3,0,0),D'(0,0,1),CO=(V3,0,1)^B=(-2V3,2,0),
设宿=/1荏(OW/iWl),
.:M(V3-2V32,2^,0),.:CM=(2V3(1-2),2尢0),易知平面AC。'的一个法向量为m=(0,1,0),
设n=(x,y,z)为平面MCD'的法向量,
则卜•西=0,即f2V3(l-A)x+2Ay=0,
2
取x=l,贝Iz=-V3j--^y^,^n=(i^|cos<m>n>|=!inp[=।a=今
'A|TO"n|卜广洌+32
解得2=2返-3,满足题意,故丝=2次-3.
AB
17.
如图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCO为平行四边形,8E=BC,AEJ_8E,M为CE上一点,且8例_1面
ACE.
(1)求证:AE_L8C;
(2)若点N为线段AB的中点,求证:MN〃面AOE;
⑶若BE=4,CE=4注,且二面角A-BC-E的大小为45°,求三棱锥C-ABE的体积.
(1月正明|:平面ACE5AEu平面ACE,
.".BMA.AE.VAELBE,BMr\BE=B,
.:AE_L平面BCE.:'BCu平面BCE,/.AE±BC.
(2月正明|取DE中点尸,连接PM,AP,
:,BC=BE,BMLAE,
;.M为CE的中点,
:.MP/耶CHANdMP=AN,
;.APMN为平行四边形,.:MN〃AP.
:.MNt平面ADE,APcz平面ADE,
.:MN〃平面ADE.
(3嫡由BE=BC=4,CE=4应,得BC_LBE.:'BC_LAE,4EnBE=E,.:BC_L平面ABE..:NABE为二面甬
A-BC-E的平面角..:ZAHE=45°,.:AE=BE=4.
.:三棱锥C-ABE的体积三x1X42X4=—.
323
18.(2021全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCE)的底面是矩形,底面48C£»,PD=£)C=1,例为BC的
中点,且尸3J_AM.
⑴求BC;
(2)求二面角A-PM-B的正弦值.
圈(1)连接BD.;PD工底面ABCRAMu底面ABCD,.:P"AM.
:'PBLAM,PBCPD=P,
.:AM_L平面PBD,.t.AMA.BD,
.:NAOB+C=90°.
又/OAM+/MA8=90°,
.".ZADB=ZMAB,
ABBM
.:ifiC2=l,.:BC=V2.
(2)如图,以。为原点,瓦4反,而分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得
A(V2,0,0),B(V2,l,0),M(^,1,O),P(O,O,1),AP=(-e,0/)丽=(-4,1,0),前=(弓,0,0)丽=(-V2,-1,1).
设平面AM尸的一个法向量为
加亚=0,即-y/2x1+Z]=0,
则坛工
jn-AM=0,(-y^i+yi=n0,
令Xi=a,则yi=l,zi=2,可得m=(V2,l,2).
设平面B例P的一个法向量为n=(X2j2,Z2),
同理可得n=(O,l,l).
则cos<m,n>=-^-=折:泛=3及.设二面角A-PM-B的平面角为。,则sin^^/l-cos2<m,n>—
19.
如图,在长方体ABCD-ABiCQ中,己知上下两底面为正方形,且边长均为1,侧棱44=2,E为BC中
点,尸为CD中点,G为BBi上一个动点.
(1)确定G点的位置,使得。地_1_平面A尸G;
(2)当QiEL平面AFG时,求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.
廨[⑴如图,
分别以D4,OC,。。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,
则£>(0,0,0)4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),Di(0,0,2).
因为E为BC中点,尸为CD中点,所以E(),O),F(O,扣).由题意得。1E_LAFQ|E_LAG,设
G(1,1,0.
又承=(摄1,-2),而=(-1,i,0),AG=(0,1,t).因为。E_L平面AFG,则AF=0,
-AG=0,
得l-2/=0,r=|.
.:BG=*即G为BBi的四等分点.
(2)由题意知,平面AFE的一个法向量为m=(O,O,l),设平面AFG的法向量n=(x,y,z).
几=0,p卜"+尸=1p/1。八.mn4721
付〈1取x=・l,付n=(-l,-2,4).•.cos<m,n>=--=
en=0,ly+1z=0,澳网21
由图形知二面角G-AF-E的大小为锐角.
.:二面角G-AF-E的平面角的余弦值为史红.
级
C一学科素养拔高练
20.
如图,A8是圆O的直径,点C是圆O上异于A,8的点,直线PC,平面分别是P4,PC的中点.
(1)记平面BE尸与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面PAC的位置关系,并加以证明;
(2)设(1)中的直线/与圆。的另一个交点为。,且点。满足丽=[而,记直线PQ与平面A8C所成的
角为仇异面直线PQ与E厂所成的角为a,二面角E-/-C的大小为.,求证:sin叙sinasmp.
(1解直线/〃平面PAC,证明如下:
连接EF,因为分别是PA,PC的中点,
所以所〃AC.
又EFC平面ABC,且ACu平面ABC,
所以EF〃平面ABC
而EFu平面8EF,且平面8£7TI平面ABC=I,
所以EF〃/.
因为/C平面P4C,ER=平面PAC,
所以直线/〃平面PAC.
(2)|证明|如图,由而=:渭,作£>Q〃CP,且DQ^CP.
连接/>。,£'尸,2£8£8。,由(1)可知交线/即为直线BD.
以点C为原点,向量不,刀,前所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设
CA=a,CB=6,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,Z>,0),P(0,0,2c),e(«Ac),£(ja,0,cJ,F(0,0,c).
于是猫=ga,0,0),QP=(-a,-b,c)^F=(0,-b,c),
历•西
所以cosa=-
\FE\\QP\_Va2+b2+cz,
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