2021-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何

第一章空间向量与立体几何

1.2空间向量在立体几何中的应用

1.2.4二面角

课后篇巩固提升

级

A必备知识基础练

1.已知二面角a-//的两个半平面a与夕的法向量分别为a,b,K<a,b>=7，WlJ-lS^«-/-/?的大小为

6

()

AZB.-

A46

C.E或空D酒

SSc

2.如图，设AB为圆锥P0的底面直径44为母线，点C在底面圆周上，若是边长为2的正三角形,

且COJ_AB,则二面角P-AC-B的正弦值是（）

A.V6

答案B

|如图，取AC的中点£>,连接OD,PD、：PO_L底面，.：PO_LAC,

：OA=OC,D为AC的中点，

/.OD±AC,

又POnOD=O,.：ACJ_平面POO,则ACA.PD,

.：NPOO为二面角P-AC-B的平面角.

:飞胡〃是边长为2的正三角形，

.:尸O=V5,OA=OC=1,OE>¥，

贝IP£»=J(b)2+(曰)2=字

.：sinZPDO=—=鼻=画.故选B.

PDV147

2

3.正方形ABCD所在平面外一点尸,尸4,平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为

()

A.30°B.45°C,60°D,90°

前B

|解析卜如图所示，建立空间直角坐标系，设PA=AB=1,

则A(O,O,O)Q(O,1,O),P(O,O』).

于是同=(0,1,0),取PD的中点E,则E(0弓,?，

.:族=(0怖,?，易知而是平面PAB的法向量，版是平面PCO的法向量,

.".cos<AD,AE>=^-,

.：平面248与平面PCD所成的角为45°.

4.请根据所给的图形，把空白之处填写完整.

(I)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).

如图①已知:a〃a,,

求证:.

(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.

如图②已知:a夕HBnC£>=B,arV=C£>,,,

求证:A3_LQ.

证明:在//内引直线，垂足为氏则是二面角的平面角，由知.

又A3,乃七和CO是S内的两条_______直线，所以A3,及

C

图①图②

廨|(1)已知:〃〃a,au仇an/3=b,求证:。〃h.

故答案为auf),anS=b;a〃b.

(2)如图②已知:a_LAA8nCQ=3,

a7二C£MBua/8J_C£),

求证:

证明:在用内引直线8EJ_C2垂足为B,

则NABE是二面角a-C。/的平面角，

由a_L£，知AB_LBE,又ABJLC2

BE和C£>是4内的两条相交直线，所以AB邛.

故答案为AB<zaABA.CD,BEl.CD,ZABE,a-CD-p,AB±BE,^交.

5.已知点。在二面角a-AB/的棱上，点P在平面a内，且NPO8=60°.若直线尸。与平面夕所成的角

为45°，则二面角a-AB/的正弦值为.

|解析|如图，过点P作PE_L4垂足为£过点E作EF_LAB,垂足为F,连接OE,PF,

则NPOE为直线尸。与平面夕所成的角,/PFE为二面角a/B/的平面角.

设。尸=/a,则在RtaEO中，由/POE=45°,可得PE=a;在RtAPFO中，由/P05=60°，可得

PF=V2a-sin600巫a;在RtAPEF中,sin/PFE="M=渔,即二面角a-AB/的正弦值为渔.

2PF33

6.在空间中，已知平面a过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面a与平面xOy所成的角

为45°,则a=.

解也|平面火力的法向量n=(O,O,l),设平面a的法向量为u=a，y，z),则偿二汇;'

即3x=4y=az,取z=l,则人

T,1V2

而cos<n,u>=,=—,

2

又：力>0,.：a=£.

7.如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面A8CD是菱形，且PAL平面ABC£),P4=AO=4C,点F为PC

的中点，求二面角C-8F-。的正切值.

网如图所示，设AC与8。交于0,

连接0F,以。为坐标原点,03,0C,0F所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

Oxyz.

设PA=AD=AC=1,则BD=®

所以0(0,0,0),88D尸的一个法向量.

由玩=(*$0),丽=(亨,0,-?,可得平面BCF的一个法向量为n=(l,遍，回，所以

cos<n,OC>=手,sin<n,0C>=手，所以tan<n,OC>=竽.

8.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,ND4B=60°,A8=2AO,PO_L底面ABCD.

⑴证明:幺口。；

(2)设PD=A。，求二面角A-PB-C的余弦值.

(怔明|因为/D48=60°由余弦定理得BDmAD从而8D2+44=452,故BDVAD.

又PD工底面A8CD,可得BDLPD,

(2嫡如图，以。为坐标原点,AO的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

则A(1,0,0),8(0,W,0),C(-1,V3,0),P(0,0,l).

荏=(-1,百,0),而=(0,e,-1),近=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则1n丝=°'即

{n-PB=0,

(-x+V3y=0,

因此可取n=(V3,1,V3).

(V3y-z=0,

7n

设平面P3C的法向量为m=(a/,c),则1,竺=即［百儿;=0,可取m=(0.lr

(.m-BC=0,la=°,

V3),cos<m,n>=^=—

由图形知二面角A-P5-C大小为钝角,

故二面角A-PB-C的余弦值为空■.

2’

〃

正方体ABCDAEC。'的棱长等于2,E,尸分别是B7)；AC的中点.求:

(1)直线A夕和平面ACZT所成角的正弦值；

(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.

廨如图建立空间直角坐标系Dxyz,

:,正方体的棱长等于2,£F分别是8'£>\AC的中点，.：

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)Q(0,0,2)B(2,2,2),E(1』,2),F(1,1,0).

(1)初=(-2,0,2),前=(-2,2,0),带=(0,2,2),设11=(月4/')是平面4。。'的一个法向量,

I由仇•布=0,1(x',y',z)(-2,0,2)=0,

U^C=O,l(x',y',z'X-2,2,0)=0,

z'=x',

y'=x\

取x'=l,得平面AC。'的一个法向量n=(l,l,l),

设直线A夕和平面ACQ'所成角的大小为仇则sin(?=^4S=色■「半四=立，

\n\\AB'\VJ3xV83

.：直线49和平面4C。所成角的正弦值是当

>■>

(2)OB=(2,2,0),OC=(0,2,-2),

设m=(孙yo,zo)是平面B'CO的一个法向量，

则由,竺=°，得二取3-o=l得平面80的一个法向量m=(-1,1,1),

UnD'C=0So-y。，

由图形知二面角B'-CD'-A的大小为锐缸

故二面角8'-C£>'-A的余弦值是点

级

B关键能力提升练

10.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AA已知

4B=4,AC=6,BD=8,CD=2后,则该二面角的大小为（）

A.1500B.450C.60°D.1200

同C

|解析|由条件知，福•四=0,荏-丽=0,

'■，>>>'一….

CD=CA+AB+BD.

.'.\CD\2=\CA\2+\AB\2+\BD\2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2X6X8COS<C4,BD>=（2VT7）2,

.：cos<^4,fiD>=-5,<CA,BD>=120°,

.:二面角的大小为60°,故选C.

11.设三棱锥UA8C的底面是正三角形，侧棱长均相等,P是棱K4上的点（不含端点）.记直线PB与直

线AC所成的角为a,直线P8与平面ABC所成的角为夕，二面角P-4C-B的平面角为人则（）

A.y?<y,a<y

C.p<a,y<aV>.a<p,y<p

ggB

解画如图

G为AC中点，点V在底面ABC上的投影为点。，则点P在底面ABC上的投影点。在线段A。上，过

点D作DE垂直AE,易得PE〃卜G,过点P作PF//AC交VG于点F,过点。作OH〃AC,交BG于点H,

则a=NBPF,£=NPBD，产/PED,

的〜PFEGDH）BD〃

加以cosa=—=—=—<一=cosp,

PBPBPBPBL

所以a>B，因为tany=^>券=tan尸，

所以>>夕.故选B.

12.

GB

如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C',E点在线段AC上，若二面角A-8D-E与二面角

E-BQC的大小分别为30°和45°，则芸=()

B片若

答案匕

臃画取BD的中点O,连接AO,EO,C'O,

:'菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C',E点在线段AC'上，

.：C'0_LBO,AO_LBD,OC'=OA,

.：8。_1平面40。，

.：EO_LBD：•二面角A-BD-E与二面甬E-8D-C'的大小分别为30°和45°,

.：/AO£=30°,/EOC'=45°,

"/OC'=OA,/.ZOC'E=AOAE,

由正弦定理得°E,=EC'

sin乙OC'Esinz.EOC

OE_4E

Sinz-OAEsin乙40E'

.EC_4E

**sinzEOC-sin4OE'

,AE_sin300丑邛故选c.

*EC—sin45°

2

13.

如图所示，将边长为a的正三角形4BC,沿8c边上的高线AO将AABC折起.若折起后B,C'间距离为今

则二面角8-AD-C的大小为.

14.如图，在矩形ABCD中工B=1,BC=g,E为线段BC上一动点，现将“BE沿AE折起得到AAB'E,当

二面角B1-AE-D的平面角为120°,点B在平面ABC上的投影为K,当E从B运动到C,则点K所形成

轨迹是.

彝一段圆弧

B'

D

BE

过K作KOJ_AE,连接OB；

:'二面角B'-AE-Q的平面角为120°,

.：N夕0K=60°,"。=加0,

从而原问题就转化为B'OLAE,K为夕。中点，求K的轨迹长度，如右图，

：'B'OLAE,.'.O在以48'为直径的圆上，取AB'中点J,则JKLB'K,所以K点的轨迹是以B'J为置

径的圆上的一段弧.

如图，在四棱锥P-ABCD中,PC,底面ABC。,四边形ABC。是直角梯形

CD,AB=2AO=2CD=2,E是PB的中点.若二面角P-AC-E的余弦值为泉求直线PA与平面EAC所成角

的正弦值.

网如图，作b〃D4,交AB于点尸，以C为原点，无，而，而分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直

角坐标系，则C(0,0,0)4(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a>0),则

^4=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE

取m=(l,-l,0),则m.C4=m£P=0,所以m为平面PAC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EAC的

一个法向量，

n.日=°，即%4-y=0,立

则到+。2=0,取户”,

nCE=0,

可得n=(a,-a,-2),

依题意,|cos<m,n>|=j^=~^==9，则”=1(负值舍去).

于是n=(l,-l,-2),丙

设直线PA与平面E4C所成的角为“则sin6»=|cos<园,n>|=¥，即直线PA与平面EAC所成角的

正弦值为也.

3

16.如图1,等腰梯形ABCD中/8〃。,48=24。=4,尸为48的中点,对角线AC平分ND4B,将"C。

沿AC折起到如图2中△ACO的位置.

(1)求证:2。'_14。.

(2)若二面角B-AC-。为直二面角,M为线段AB上的点，且二面角A-OCM与二面角大小相

等,求出*的值.

AB

(1怔明|连接OP,CP,设DP与AC交于点0,如图3所示.：•四边形ABCD是等腰梯形,A8〃OC,

.,.AD=BC,ZDCA=NCAB.

又AC平分ND48,

.,.ZDAC=ZCAB=ZDCA,.".CD=AD,H^P为AB的中点48=24£>,易证得四边形APCD为菱

形，.：AC_LZ)P.

图4

如图4,：NCJ_0P4CJ_0。'，且0尸。0。'=0,

.：AC_L平面D'PO,又PO'u平面D'PO,

/.PD'IAC.

(2解：•二面角B-AC-。'为直二面角4CL0P,

.：OPJ_平面ACD',易知OP//BC,

.：BC_L平面ACO；

.：二面角A-D'C-B为直二面角.

又：•二面角A-O'C-M与二面角M-D'C-B大小相等，.：二面角A-O'C-M的平面角为45°,

z

in

图5

以O为坐标原点,04所在直线为x轴,O尸所在直线为y轴,0。所在直线为z轴，建立如图5所示

的空间直角坐标系Oxyz.

如图3,在菱形APCD中,易知NPA。],.：OD=OP=1QA=OC=®

；

ZA(V3,0,0),B(-V3)2,0),C(-V3,0,0),D'(0,0,1),CO=(V3,0,1)^B=(-2V3,2,0),

设宿=/1荏(OW/iWl),

.：M(V3-2V32,2^,0),.：CM=(2V3(1-2),2尢0),易知平面AC。'的一个法向量为m=(0,1,0),

设n=(x,y,z)为平面MCD'的法向量，

则卜•西=0,即f2V3(l-A)x+2Ay=0,

2

取x=l,贝Iz=-V3j--^y^,^n=(i^|cos<m>n>|=!inp[=।a=今

'A|TO"n|卜广洌+32

解得2=2返-3,满足题意，故丝=2次-3.

AB

17.

如图，在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCO为平行四边形,8E=BC,AEJ_8E,M为CE上一点，且8例_1面

ACE.

(1)求证:AE_L8C;

(2)若点N为线段AB的中点，求证:MN〃面AOE;

⑶若BE=4,CE=4注,且二面角A-BC-E的大小为45°,求三棱锥C-ABE的体积.

(1月正明|:平面ACE5AEu平面ACE,

.".BMA.AE.VAELBE,BMr\BE=B,

.：AE_L平面BCE.：'BCu平面BCE,/.AE±BC.

(2月正明|取DE中点尸，连接PM,AP,

:，BC=BE,BMLAE,

；.M为CE的中点，

：.MP/耶CHANdMP=AN,

；.APMN为平行四边形，.：MN〃AP.

：.MNt平面ADE,APcz平面ADE,

.：MN〃平面ADE.

（3嫡由BE=BC=4,CE=4应，得BC_LBE.：'BC_LAE,4EnBE=E,.：BC_L平面ABE..：NABE为二面甬

A-BC-E的平面角..：ZAHE=45°,.：AE=BE=4.

.：三棱锥C-ABE的体积三x1X42X4=—.

323

18.（2021全国乙，理18）如图,四棱锥P-ABCE）的底面是矩形,底面48C£»,PD=£）C=1,例为BC的

中点，且尸3J_AM.

⑴求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

圈(1)连接BD.；PD工底面ABCRAMu底面ABCD,.：P"AM.

:'PBLAM,PBCPD=P,

.：AM_L平面PBD,.t.AMA.BD,

.：NAOB+C=90°.

又/OAM+/MA8=90°,

.".ZADB=ZMAB,

ABBM

.：ifiC2=l,.：BC=V2.

(2)如图，以。为原点，瓦4反,而分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得

A(V2,0,0),B(V2,l,0),M(^,1,O),P(O,O,1),AP=(-e,0/)丽=(-4,1,0),前=(弓,0,0)丽=(-V2,-1,1).

设平面AM尸的一个法向量为

加亚=0,即-y/2x1+Z]=0,

则坛工

jn-AM=0,(-y^i+yi=n0,

令Xi=a,则yi=l,zi=2,可得m=(V2,l,2).

设平面B例P的一个法向量为n=(X2j2,Z2),

同理可得n=(O,l,l).

则cos<m,n>=-^-=折:泛=3及.设二面角A-PM-B的平面角为。，则sin^^/l-cos2<m,n>—

19.

如图，在长方体ABCD-ABiCQ中，己知上下两底面为正方形，且边长均为1,侧棱44=2,E为BC中

点，尸为CD中点,G为BBi上一个动点.

(1)确定G点的位置，使得。地_1_平面A尸G;

(2)当QiEL平面AFG时，求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.

廨［⑴如图,

分别以D4,OC,。。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

则£>(0,0,0)4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),Di(0,0,2).

因为E为BC中点，尸为CD中点，所以E(),O),F(O,扣).由题意得。1E_LAFQ|E_LAG,设

G(1,1,0.

又承=(摄1,-2),而=(-1,i,0),AG=(0,1,t).因为。E_L平面AFG,则AF=0,

-AG=0,

得l-2/=0,r=|.

.：BG=*即G为BBi的四等分点.

(2)由题意知，平面AFE的一个法向量为m=(O,O,l),设平面AFG的法向量n=(x,y,z).

几=0,p卜"+尸=1p/1。八.mn4721

付〈1取x=・l,付n=(-l,-2,4).•.cos<m,n>=--=

en=0,ly+1z=0,澳网21

由图形知二面角G-AF-E的大小为锐角.

.：二面角G-AF-E的平面角的余弦值为史红.

级

C一学科素养拔高练

20.

如图,A8是圆O的直径，点C是圆O上异于A,8的点，直线PC,平面分别是P4,PC的中点.

(1)记平面BE尸与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面PAC的位置关系,并加以证明；

(2)设(1)中的直线/与圆。的另一个交点为。，且点。满足丽=［而,记直线PQ与平面A8C所成的

角为仇异面直线PQ与E厂所成的角为a,二面角E-/-C的大小为.，求证:sin叙sinasmp.

(1解直线/〃平面PAC,证明如下：

连接EF,因为分别是PA,PC的中点，

所以所〃AC.

又EFC平面ABC,且ACu平面ABC,

所以EF〃平面ABC

而EFu平面8EF,且平面8£7TI平面ABC=I,

所以EF〃/.

因为/C平面P4C,ER=平面PAC,

所以直线/〃平面PAC.

(2)|证明|如图，由而=:渭，作£>Q〃CP,且DQ^CP.

连接/>。,£'尸,2£8£8。,由(1)可知交线/即为直线BD.

以点C为原点，向量不，刀，前所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设

CA=a,CB=6,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,Z>,0),P(0,0,2c)，e(«Ac),£(ja,0,cJ,F(0,0,c).

于是猫=ga,0,0),QP=(-a,-b,c)^F=(0,-b,c),

历•西

所以cosa=-

\FE\\QP\_Va2+b2+cz，