中考数学一轮复习提升练习第4.3讲 特殊三角形及其性质(含解直角三角形)（考点精析+真题精讲）（原卷版）

备战2024中考数学一轮复习备战2024中考数学一轮复习第3讲特殊三角形及其性质№考向解读第3讲特殊三角形及其性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章三角形第3讲特殊三角形及其性质→➊考点精析←→➋真题精讲←考向一直角三角形考向二等腰三角形第3讲特殊三角形及其性质→➊考点精析←一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则SKIPIF1<0<a．5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=SKIPIF1<0．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．4．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．5．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．6．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．→➋真题精讲←题型一直角三角形1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．若点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）

A．1 B．2 C．1或SKIPIF1<0 D．1或22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．3.（2023·云南初二月考）直角三角形的两条直角边长分别为SKIPIF1<0cm和SKIPIF1<0cm，则这个直角三角形的周长为__________.4．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为SKIPIF1<0的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________SKIPIF1<0．

5．（2023·河南·统考中考真题）矩形SKIPIF1<0中，M为对角线SKIPIF1<0的中点，点N在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，SKIPIF1<0的长为______．6．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形SKIPIF1<0硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，G，H分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．

7．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿折线SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0个单位长度的速度运动，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0或边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连续SKIPIF1<0．当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，点SKIPIF1<0停止运动．设点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0秒．（SKIPIF1<0）

(1)当点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0重合时，线段SKIPIF1<0的长为__________；(2)当点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0重合时，求SKIPIF1<0；(3)当点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当四边形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出SKIPIF1<0的取值范围．题型二等腰三角形8.下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形9.（2023·四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为A．40°，100° B．70°，70° C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°10.（2023·延安市实验中学初二期末）如图，在SKIPIF1<0中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论不正确的是A．ADSKIPIF1<0BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点B的坐标为SKIPIF1<0，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段SKIPIF1<0上，动点N在直线SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为________

12.（2023·山东初二期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为__________．13．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________________．（结果保留根号）

14．（2023·北京·统考中考真题）在SKIPIF1<0中、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点M，D是线段SKIPIF1<0上的动点（不与点M，C重合），将线段SKIPIF1<0绕点D顺时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0．

(1)如图1，当点E在线段SKIPIF1<0上时，求证：D是SKIPIF1<0的中点；(2)如图2，若在线段SKIPIF1<0上存在点F（不与点B，M重合）满足SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的大小，并证明．15．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等边三角形，连接SKIPIF1<0，点F，G，H分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．易证：SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，如图②：若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰三角形，且SKIPIF1<0，如图③：其他条件不变，判断SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

16．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0边上一点，且SKIPIF1<0（n为正整数），E是SKIPIF1<0边上的动点，过点D作SKIPIF1<0的垂线交直线SKIPIF1<0于点F．【初步感知】(1)如图1，当SKIPIF1<0时，兴趣小组探究得出结论：SKIPIF1<0，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当SKIPIF1<0，且点F在线段SKIPIF1<0上时，试探究线段SKIPIF1<0之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段SKIPIF1<0之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为M．若SKIPIF1<0，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．17．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点（不与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)如图1，求证：SKIPIF1