2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性质作业练习

2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性质

作业练习

一.单项选择（）

1.已知底面A8CZ）为正方形的四棱锥P-ABC。，尸点的射影在正方形A3CO内，且

P到8c的距离等于PD的长，记二面角P-A3-C的平面角为a,二面角

P-CD-A的平面角为二面角P-AO-C平面角为7,则下列结论可能成立的是

（）

Aa=0=yB.a=y<pca=p<yDa>B=y

2.在三棱锥。一ABC中，AT）=2AB=2AC=2BC,点A在面BCD上的投影G是

△BCD的垂心，二面角G-AB-C的平面角记为a,二面角G—BC-A的平面角记为

夕，二面角G—8—A的平面角记为7,则（）

Aa>/3>yBa>y>（3

C/3>y>a°y>/3>a

3.设a.△是空间两个不同平面，a.b.0是空间三条不同直线，下列命题为真命题

的是（）

A.若㈤甲，b//a,则b//£

B.若直线。与。相交，a〃a,blipy则a与相交

C.若口，力，alia,则

D若a_LA,acB=a,bua,b±atc，£,则Z?〃c

4.已知直线用，〃及平面a,B,下列命题中正确的是（）

A.若〃da,〃〃耳，且“〃〃，则a〃P

B.若〃2//a,〃///?,月加〃〃，则。//尸

C.若〃?"La,,则a，尸

D.若加葭工0,且加则。工尸

5.设平面a，平面"，。口尸=/，点Pea,且产金/,则下列命题中真命题的是（）

A.过点P且垂直于a的直线平行于/

B.过点P且垂直于a的直线平行于夕

C.过点尸且垂直于0的平面平行于/

D.过点P且垂直于a的平面平行于夕

二.填空题（）

6.如图，在正方体力中，点尸在线段48上移动，有下列判断：①平

面5Z///平面8QC；②平面PAG±平面BRC；③三棱锥2一瓦及的体积不变；

④PG，平面50c.其中，正确的是.（把所有正确的判断的序号都填上）

7.如图，在棱长为1的正方体A8C0—4gGR中，点尸在线段AR上运动，给出以

下命题：

①异面直线GP与BC所成的角不为定值；

②二面角0一4°一°的大小为定值；

③三棱锥口-BPC、的体积为定值；

④平面ACPJ■平面Dg

其中真命题的序号为.

8.如图，在矩形ABC0中，A8=2,3C=4,E是边A0的中点，将△ABE沿直线BE

折成々'BE,使得二面角A'一C的平面角为锐角，点F在线段AB上运动（包括

端点），当直线CF与平面ABE所成角最大时，AFBE在底面ABCD内的射影面积为

9.如图，在四边形ABCO中，ADHBC,AD=AB,NBCD=45°,N84O=90°,

将△ABD沿8。折起，使平面A9D，平面3c。，构成三棱锥A-3C。，则在三棱锥

中，下列判断正确的是_____（写出所有正确的序号）

①平面43。，平面ABC

②直线BC与平面ABD所成角是45°

③平面AC。，平面ABC

④二面角。一AB-。余弦值为当

三.解答题()

10.在直角梯形中，AB=2EA=2BCt将沿AD翻折至△PAD位置,

作AQ1PB于点。.

(1)求证：AQ,PC；

(2)当二面角P-BC-D最大时，求直线AQ与平面POC所成角e的正弦值.

11.如图所示，在矩形A8CO中，AD=1,AB=2,点E是线段AB的中点，把三角

形AEO沿OE折起，设折起后点A的位置为P,F是PO的中点.

(1)求证：无论「在什么位置，都有4口〃平面「七。；

(2)当点尸在平面A8CO上的射影落在线段DE上时，若三棱锥P-ECD的四个顶点

都在一个球上，求这个球的体积.

12.如图，已知圆柱°。的轴截面眼力为正方形，£为上底面圆周上一点，且

2CE=CCD

(1)求证：AE_LC£；

(2)求平面ACE与圆。面所成的锐二面角的余弦值.

参考答案与试题解析

1.【答案】C

【解析】设P点在正方形ABCO内的射影为°,连接AC30,且ACn3O=0,作

PELBC,垂足为E,则PE=PD,

对于A,若"=7,由对称性可知，。点在AC上；

同理，当△=/时，。点在8。上；则ACnB£>=Q,即。点与。点重合，

此时期=包>,又PB>PE,：.PD>PE,与PD=PE矛盾,A错误;

对于B,若a=Y,则。点在A。上，此时又PB>PE,;.PD>PE,与

PD=PE矛盾，B错误；

对于C,若"尸，则。点在"AW。连线上，如下图所示：

由对称性可知：PB=PC,此时PE,BC,即E与尸重合，PF=PD.

,'Q在线段°G上，设正方形ABCD边长为a,

35

OG=-aQF=QD=-a

则当8时，8,使得PF=PD成立,c正确；

对于D,若"丫,则。在8。上，如下图所示：

,则。在线段上，此时不存在点。满足QE=E°,使得=D错

误.

故选：C.

2.【答案】C

【解析】因为G为点A在平面8c。的投影，且G为△BCD的垂心连接OG交8C于

点、E,连接AE,可知8CJ.平面D4E,所以BC,AE,可知Br>=E>C,所以G在AE

上的投影为，，过H作HE上AB,连接GF.连接8G交℃于M,连接AW.

这样NGFH=a,NGEH=J3,ZGMA=y

又因为AO=2AB=2AC=25C在△ABD中，AB+BD>AD可得BD>AB=BC

在△38中，

GM=GCcosZCGM=GCcosZCDB

GE=GCcosZCGE=GCcosZ.CBD

GMcosZCDB

GEcosZCBD9

71

0<NCO8<NCBA<—

又因为在△BCD中，BD=DC>BC所以2,所以

cosZCDB>cosZ.CBA>0

GMcos/CDB]

------=------->1

所以GEcosZCBA,所以GM>GE

而AE=y]AG2+GE2,AM=y/AG2+GH2,

所以A〃>AE.

.°AG

sinp=----

所以在AAGE中，AE,

AG

sin/=-----

所以在AAGM中，AM,

因为AM>AE,所以sin力〉siny,所以万>7.

由题意，可知AGJ■平面BCD,所以CD_LAG,

又G为△BCD的垂心，所以且钻08加=8,

所以CZ)_L平面,所以CDLAB,

取AB的中点N,连接CN.DN

由于AABC为正三角形，所以WCN,且CNcCD=C,

所以平面C£W,因此由于N为A8的中点，所以DA=OB,

又DB=DC,所以三棱锥。-为正三棱锥.

aGHGH

tanp=-----Janoc------

在分别R/AGHE,RMGHF中,HEHF,

而HE<HF,b>a,

从而可知选项C正确.

故选：c.

3.【答案】D

【解析】分析：根据已知条件直线判断ABC各选项中线面.面面的位置关系，可判断ABC

选项的正误，利用面面垂直和线面垂直的性质可判断D选项的正误.

详解：对于A选项，若c//,blla,则R/或“u£,A选项错误；

对于B选项，若直线a与相交，a〃a,印/，则a与4相交或平行，B选项错误；

对于C选项，若万,Ma,则。与£的位置关系不确定，C选项错误；

对于D选项，若a,A,ac/3=a,bua,ka,由面面垂直的性质可得"，

WB,所以，R/c,D选项正确.

故选：D.

4.【答案】D

【解析】若加上二，〃〃尸，且加〃"，,〃,a,n〃B,:卜工。，故A不正确；

若m〃a,,且加〃〃，则a〃尸或ac£,故B不正确；

若〃///?,且加工〃，则有可能a“耳，不一定a，耳，所以C不正确；

若加上二，n'B,且加工"可以判断a，尸是正确的，故口正确，

故选：D.

5.【答案】B

【解析】设过点P且垂直于平面a的直线为加.

对于A选项，•••/%,£,"Ua,则w_L/,A选项错误；

对于B：如下图所示，在夕内作一直线4垂直于/,

由平面a，平面月，&n,=/,可得-.'m±at则〃?〃4,

JuB,：.m//p,即B对;

对于CD选项，过点P且垂直于a的平面可以围绕过点P且垂直于a的直线旋转，从而

知CD均错.

故选：B.

6•【答案】①②③

【解析】①因为在正方体中有AB"℃,,且48a平面4RC/CU平面4QC,

所以A8//平面BQC,同理得B。//平面BQC,

又A8c80=8,所以平面4BD//平面4,

又点、P在线段4B上移动,所以平面BDPH平面BQC,所以①正确；

②因为AB_L平面8BCC,所以AG在平面B4GC内的射影为8G,

因为4cJ-BC,根据三垂线定理可得AG1男。，

同理可得AG"4%

因为gCcg。]=Bi,

所以ACJ平面BQC,

因为AGu平面PAG,所以平面PAG,平面片RC,所以②正确；

③由①知AB”平面回℃,所以点P到平面用℃的距离为定值，所以三棱锥

「一用RC的体积不变，所以③正确；

④由②知平面片麻,而PG与AQ交于G,所以PG与平面8QC不垂直,

所以④不正确。

故答案为:①②③

7.【答案】②③④

【解析】

8.【答案】3-75

【解析】如图所示，取5c的中点M,连接4W交砥于4,连接44,则由题意可

知，则是二面角A-BE—C的平面角，

因为A'8=AZ,所以A'在平面BCE上的投影在上，记为。

设二面角A-BE-C的平面角NA'"O=e’则

AO=V2sin0,HO=>[2cos0,OC2=(3-cos0)2+(1-cos0)2

所以AU=(3—cos。)-+(1—cos0y+2sm~6,即AC?=12—8cos6<12,

所以NBA'C为钝角，所以b?C4’,即直线CF与平面ABE所成角最大时，点F与

点A重合，

因为在矩形ABCO中，AB=2,BC=4,E是边的中点，

所以AABE/CQE均为等腰直角三角形，CE=BE=2y[2t

所以NCEB=90°,即CE_L8E,

所以C到平面A8E的距离为"二C足sin6=272sin6,

所以此时直线CF与平面^BE所成角的正弦值为

.d2>/2sin0仄fl-cos20

sina=-7==V2-J------------

CAj2f-8cosev3-2cos0

所以AFBE在底面ABCD内的射影面积为

故答案为：3-也

9.【答案】②③④

【解析】在四边形ABCD中，由已知可得NDBC=45°,

假设平面平面ABC，又平面AB。，平面BCD,

且平面ABOD平面BDC=3C,可得BCJ.平面ABO,

有"BC=9（）°,与NOBC=45°矛盾，则假设错误，故①错误；

在四边形A8CD中，由已知可得BOLOC,

又平面AB。，平面BCD,且平面ABO。平面3£>C=BC,则OCJ•平面ABO,

ND3C为直线BC与平面AB。所成角是45°,故②正确；

由判断②时可知，。。，平面43。，则。。，48,

又AD^DC^D,则A3,平面AOC,

而ABu平面ABC,则平面AC。，平面ABC,故③正确；

由判断③时可知，/山，平面4。。，则NDAC为二面角C-A8-。的平面角，

设AZ）=AB=1,则BO=OC=夜，

由OCLAD,得4。=百，得COSND4C=4^=更，故④正确.

AC3

故答案为：②③④.

10.【答案】（1）证明见解析；（2）上.

7

【解析】（1）证明：•••DA,A8，DA1PA,ABr>PA=A,A8,/>Au平面以5,

D4_L平面PA6.

BC//D4,.♦.BC_L平面Q45,AQu平面以台，

•.•BCA.AQ•

又AQLPBPBcBC=B,尸8,3Cu平面尸BC,AQJ,平面PB。PCu平面

PBCf

•.•AQLPC・

（2）解：由（1）知，8C_L平面廿LB,NPBA是二面角产一—D的平面角，

sinZPBAsinZAPS.sinZAPB1

------------=------------sinAPBA=W-

由正弦定理得PAAB,2---------2.

.•.当2时，NPBA取得最大值6,此时尸，。两点重合.

过P点作PE-LA8交AB于点E,过E点作石尸,℃于点尸，连接尸尸，过七点作

EH_LPF于点H.

•；BC_L平面P/R,8Cu平面A8CD,.•.平面ABC。,平面Q48,

♦;PEu平面Q4B,PEJ■平面ABC。，CDu平面ABC。，CDX.PE（

又CDLEF,EFcPE=E,政，尸石u平面尸石尸.CD_L平面PEE,

CDu平面PCD,.•.平面PEEJ_平面PCD,又EH1.PF,平面「砂0平面PC°

=PF,EHu平面尸£户,

：.，平面PCD,EH为AB到平面PCD的距离.

6口口#i口口后

PE^—PF=——EH=------

设AB=2,则申=1,2,EF=1,：.2,7,

EH421

sin0n=-----=------

•••PA7«

4

11•【答案】（l）证明见解析；（2）-7T.

【解析】（1）如图所示，取四的中点G连接

•.,分为如的中点，平行且等于小的一半，

又为矩形4?缪的四边的中点，平行且等于加的一半，

.•.凡与熊平行且相等，

，四边形/呼为平行四边形，

：.AF//EG,

又,:平面PEC,必＞平面PEC,

,无论P在什么位置，都有A/〃平面PEC；

（2）

由于在折起过程中，△隰中，PAPE^\,PDLPE始达成立,

...△核为等腰直角三角形，

当点P在平面ABC。上的射影落在线段DE上时，设厂的射影为“

则//在配'上，:.P用平面PDE,

又•..掰L平面CDE,

二平面也匠1平面CDE,

由于N侬M80°-NAED-NBEg8Q0~45°-4