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文档简介
专题一三角
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析大题考情分析
江苏高考中,对三角计算题的考查始终围绕着求
1.三角化简求值(5年3考)角、求值问题,以两角和与差的三角函数公式的
2.三角函数的性质(5年3考)运用为主,可见三角恒等变换比三角函数的图象
常考点
3.平面向量的数量积(5年5与性质更加重要,三角变换的基本解题规律是:
考)寻找联系、消除差异.
三角考题的花样翻新在于条件变化,大致有三
类:第一类给出三角函数值(见2018年三角解答
1.平面向量的概念及线性运
题),第二类是给出三角形(见2015年、2016年、
偶考点算
2019年三角解答题),第三类是给出向量(见
2.正弦、余弦定理
2017年三角解答题).
第一讲I小题考法一一三角函数、解三角形
考点(一)三角化简求值
主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题.多涉及两角和与差的正弦、余弦、
正切公式以及二倍角公式.
[题组练透]
1.计算:sin50°(1+/tan10°)
sin100
解析:sin50°(1+V3tan10°)=sin50°
cos10°
xcos10°+^3sin10°
sin50°
21;cos10°+,坐sin10°
sm50°X
cos10°
2sin50°cos50°_sin100°_cos10
cos10°cos10°cos10
答案:1
2.已知a,££(0,:n:),且tan(a—B)=-,tan8=一〒则2。一£的值为
1_1
左力"rz小।citan(a—£)+tan£271
解析::tana=tan](。—£)+£]=i_tan(L£)tan£=-T7W〉。';
1+ix7
JI
0<a<—
2tana
又•:tan
1—tan2a
JI
A0<2a<—~,
3.1
一十一
tan2a—tan£47
/.tan(2q—£)-3-T=L
1+tan2。tan£
一七
tan£
JI
・・・万〈£<兀,一兀<2a—£<0,
3兀
2a—£=--
3JI
答案:-N
a2JI
3.(2019•江苏高考)已知一察则sin(2a+wj的值是一
3
tanlQ+-
tanQtanQtanQ(1—tana)9
解析:法一:由一可,解得tana=
tanfa+~tan〃+1tana+1J
1—tana
2a+cos2a)
Fq—1)
=y[^(sinQcosa+cos2a)亚
2
rsinQcosa+cos2QJ
sin2a+cos2a2
tana+1
tan2。+12
1JI
将tana=2和一y分别代入得sin[2=
3f
JI
sinacosa+1
tanQ2
法二::
tanfa+亍3,
cos□sin(Q+—
2.IJI\
sinacosff+T)=——cosasin|a+R.①
.兀
又sin-=sin。+2-。
a+Jsina=当,②
sina+])cosa—cos|
JI
由①②,解得sinacos|。+了
对
cosasin(a+—1
10,
sin(2a+1)=sina+(a+,JI
JIit
sinacosa+-l+cos^sinla+—
4
木3小
5十10
W
答案,*
[方法技巧]
1.解决三角函数求值或求角问题的关键与思路
解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”转化为km,£-(AeZ)与“已知
角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧
(1)2。=(。+£)+(a—£);(2)<?=(。+£)一£;
a+£a—£a+£a—£
⑶£=~2—一—2-'(4)a
a一£
⑸ff+4等.
3.三角函数化简的原则及结果
[题组练透]
/JiJiA
1.(2018•江苏高考)己知函数尸sin(2x+一']〈。〈句的图象关于直线为=可JI对
称,则0的值为.
解析:由题意得,y)=sinf晨+。)=±1,
2兀兀
。=攵兀+—,A£Z,
O乙
JI
0=A五一~—,A£Z.
b
(兀兀、
兀
答案:一百
2.(2019•南京盐城一模)设函数f(x)=sin(ox+l],其中。>0.若函数f(x)在[0,
2Ji]上恰有2个零点,则。的取值范围是.
jiAjiji
解析:法一:由f(x)=0得("GZ),解得x=--—("GZ),因为。>
「兀兀
一『3G+一320,
2Ji,54
0,且函数f(x)在[0,2n]上恰有2个零点,所以《一看J7I;+不忘2”,解A得。<另
333OJ
ji3兀
---+>2Ji,
13G3
jikJi
法二:f(x)取零点时,X满足条件X=—「十——(AGZ),当x〉0时的零点从小到大依
JG)CO
〃5n
E2m
2Ji5兀8兀54
次为,所以V解得萨。飞.
O333X3=Q8兀
-5%
答案:6'3)
兀
3.(2。19.苏北三市一模)将函数/(,)=sin2x的图象向右平移百个单位长度得到函数
g(x)的图象,则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为
解析:函数F(x)=sin2x的图象向右平移$■个单位长度得到函数g(x)=sin[2(x-
=sin(2x一的图象,如图所示,点/的坐标为件,当,B,,之间的距离为一个周期门,
所以三角形/%的面积为(口X2X¥="|巴.
答案,小五
口•2
4-已知函数=2si(n^-JiyAJsi(nU-Jik'ji五5兀,则函数『(x)的值域为
解析:依题意,有『(x)
991\3(兀),兀5兀JIJI
(cosx—sinx)=]sin2x—2cos2^=sin[2^-yI,因为瓦WK1r所以心一亍
从而0Wsin(2x-所以函数f(x)的值域为[0,1].
答案:[0,1]
[方法技巧]
1.对于Ax)=/sin(。“+。)的图象平移后图象关于y轴或原点对称的两种处理方法
(1)若平移后所得函数解析式为y=/sin(ox+0+夕),要关于原点对称,则。+e=k
_兀
m,AGZ;要关于y轴对称,则0+<9=孑口+万,"GZ.
(2)利用平移后的图象关于y轴或原点对称得到原函数的对称性,再利用y=sinx的对
称性去求解.
2.求三角函数单调区间的两种方法
⑴代换法:求形如y=/sin(。矛+。)(或尸4cos(ox+。))(4。,。为常数,/WO,
。〉0)的单调区间时,令。x+0=z,则y=/sinz(或尸/cosz),然后由复合函数的单调
性求得.
(2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.
3.求解三角函数的值域的三种方法
在研究三角函数值域时,首先应将所给三角函数化归为尸Zsin(3x+0),y=
化归法Zcos(Gx+0)或尸Ztan(Gx+0)的形式,再利用换元力=GX+。,从而转化
为求y=Zsint,p=/cos方或y=/tan方在给定区间上的值域
对于无法化归的三角函数,通常可以用换元法来处理,如尸sinx+cosx+sin
换元法
xcosx,可以设sinx+cosx=2来转化为二次函数求值域
导数法对于无法化归和换元的三角函数,可以通过导函数研究其单调性和值域
考点(三)正、余弦定理
主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积,
或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.
[题组练透]
1.在△/方。中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若26cosA=2c~y[3a,则角6的
大小为.
解析:法一:因为2Z?cos4=2c—十分所以由余弦定理得26•---己=2c~~/a,
即万一d=。2一/ac,所以cos4且土『二2=零,因为6G(0,n),所以Q2.
法二:因为26cosA=2c—小a,所以由正弦定理得2sinBcos/=2sinC—msinA=
2sin(4+6)—/sinZ=2sinAcos3+2cos/sin8一〈sinA,故2cos6sinZ=〈sinA,
因为sin4W0,所以cos6=幸,因为6£(0,兀),所以6=/.
26
JI
答案:-T
6
2.(2019•苏锡常镇四市一模)在△/阿中,角4B,。所对的边分别为&b,c,已知
5a=86,A=2B,贝!JsinM—―j=
34五
解析:由正弦定理得5sin/=8sin8,由Q26可得sin8=匚,cos夕=匚,易得不<6
JIJIJI
〈不
247®、17m
.'.sin/=云,cossinM——^-(sinA—cos4)=5j.
答案。*
3.锐角三角形/8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c.已知2asinC=^3c,a=l,
则△/加周长的最大值为.
A
解析:依题意,由已知条件及正弦定理得2sin/sinC=y[3sinC,即sin•由于
j[Q]jQ22
三角形为锐角三角形,故.由正弦定理二—]=-_n=~~;得6=-/0in8c=-7=-sin
3sinAsinBsinC勺3勺3
2222(2兀、
C,故三角形的周长为l+7^sin夕+1•sinC=1+^sin夕+/sinQ3=1+
,兀、ji
2sinl^+-d,故当方=不,即三角形为等边三角形时,周长取得最大值,为1+2=3.
答案:3
4.(2018•常熟高三期中)设△板的内角4B,。的对边分别是&b,c,〃为48的中
点,若b=acosC+csin/且切=镜,则△4%?面积的最大值是.
解析:因为6=acosC+csinA,所以由正弦定理得sin6=sin/cosC+sin6sinA,
即sinAcosC+cos/sinC=sin/cosC+sinCsinA,因为sinCWO,所以cos/=sinA,
JTC2c
即tan4=1,因为/e(0,JI),所以/=1.在△ACZ?中,由余弦定理得切^/^+了一26•万
cos-,即2/6c=4r十C2—8与46。一8,所以60・亍*^=4+2镜,当且仅当26=c时等号
成立,所以Skw=96csinA=^•当bcW小+1.
答案:$+1
[方法技巧]
1.利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法
⑴解三角形问题时,要注意两个统一原则,即将“边”统一为“角”,将“角”统一为
“边”.当条件或结论是既含有边又含有角的形式时,就需要将边统一为角或将角统一为
边.在应用这两个原则时要注意:①若式子中含有角的余弦、边的二次式,则考虑用余弦定
理进行转化;②若式子中含有角的正弦、边的一次式,则考虑用正弦定理进行转化.
(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时,由于图形中的三角形可能不止一个,因
此,需要合理分析,确定求解的顺序,一般先将所给的图形拆分成若干个三角形,根据已知
条件确定解三角形的先后顺序,再根据各个三角形之间的关系求得结果,同时注意平面几何
知识的应用.
2.与面积、范围有关问题的求解方法
(1)与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形面积;二是给出三角形的面积,
求其他量.解题时主要应用三角形的面积公式S=-aZ)sinC=/)csinA=-acsinB,此公式
既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来
求解.另外,还要注意用面积法处理问题.
(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时,主要是利用已知条件和有关定理,将
所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角的取值范围、函数值域的
求法等求解,或者通过基本不等式来进行求解.在求解时,要注意题目中的隐含条件,如%
—c|<a<6+c,三角形中大边对大角等.
[必备知能•自主补缺]__________________________________________________________
(一)主干知识要牢记
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(a±£)=sinacos£±cosasin£;
(2)cos(a±£)=cosacosj^+sinasin£;
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2a=2sinacosa;
(2)cos2a=cos2a—sin2a=2cos,a—1=1—2sin2a;
3.函数y=/sin(ox+0)的图象
(1)“五点法”作图:
兀3兀
设z=ox+0,令z=0,—,n,—,2Jt,求出x的值与相应的y的值,描点、连线
可得.
(2)常见的两种图象变换:
小_.向左@>0或向右、0<0.z.
①y—sinx平移〔0〕?单位尸sin(x+0)
错误!y=sin(GX+。)错误!
y=/sin(GX+。)(&0,G>0).
(2)y=sin误!y=sinsx
向左0〉0或向右。<0./一、
-------------0|------->y=sin(cox~\~(P)
平移—3个单位
纵坐标变为原来的/倍_一(,、八、
横心荒不变"y—/sin(ox+0)(/>0,。>0).
4.三角函数的单调区间
JIJI
y=sinx的单调递增区间是2kx一~—,2kv.+—(AEZ),单调递减区间是
ji3Ji
2k立+—,2k*+~^~(A£Z);
y=cosx的单调递增区间是[20—n,2AJI](4GZ),单调递减区间是[2",2"+
(AGZ);
y=tanx的递增区间是(4口一丁,An+—l(AEZ).
5.三角函数的奇偶性与对称性
JI
y=/sin(GX+0),当。=«兀(A£Z)时为奇函数;当。=a兀十5(A@Z)时为偶函数;
ji
对称轴方程可由3x+0=A兀+5(Awz)求得.
ji
y=4cos(GX+。),当0=4兀+1(A£Z)时为奇函数;当。=左兀(A£Z)时为偶函数;
对称轴方程可由3x+0=A兀(A《Z)求得.
y=Ztan(Gx+6),当。=左兀(A£Z)时为奇函数.
6.正弦定理及其变形
在△/阿中,一^=-^=-^=2兄("为△/回的外接圆半径).
sinAsmBsm6
变形:a=27fcinA,sin4=赤
a:b:c=sinA:sinB\sin。等.
7.余弦定理及其变形
在△48。中,a=lj+c2—2Z?ccosA.
变形:IDc—a=2bccosA,cosA—
2be
8.三角形面积公式
S/\ABc=^a.bsinC=~^bcsinA=-a,csir\B,
(二)二级结论要用好
1.sin口一cosa>0Q。的终边在直线y=x上方(特殊地,当。在第二象限时有sin
a—cos。>1).
2.sina+cos。>0=。的终边在直线y=-x上方(特殊地,当。在第一象限时有
sina+cosa>1).
3.辅助角公式:asina+Z?cos。=,^T^sin(。+0)(其中tan@=g.
4.在中,tanJ+tan8+tanC=tanA•tanB,tanC.
JI
5.△/回中,内角4B,。成等差数列的充要条件是6=可.
6.△/%为正三角形的充要条件是4B,C成等差数列,且&b,c成等比数列.
7.S4ABe=下方(R为AABC外接圆半径).
4/1
[课时达标训练]一_______________________________________________________________
A组一一抓牢中档小题
1.sin20°cos10°-cos160°sin10°=
解析:sin20°cos10°—cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10
=sin(20°+10°)=sin30°=~
答案:2
2.(2019•苏锡常镇四市一模)设定义在区间(0,5J上的函数尸3斓sinx的图象与y
=3cos2x+2的图象交于点P,则点尸到x轴的距离为.
解析:法一:根据题意得,3/sinx=3cos2x+2,3/sinx=3(1—2sir?£)+2,6sin/
+3-\/3sin5=0,(2^3sinjr+5)•C\/^sinx-l)=0,所以sinx=此时yp—3,\^3X
4=3,所以点尸到x轴的距离为3.
法二:设点尸的坐标为⑶,j>),因为\所以j>=3-\/3sinyp
xp>0,sinxp-
3卷
又方=3cos2XP+2,所以升=3(l—2sin—+2,%=3错误!+2,所以2y错误!+9处-45=
0,(2处+15)(%—3)=0,因为%>0,所以处=3,故点尸到x轴的距离为3.
答案:3
3.(2019•常州期末)已知函数『(x)=sin(ox+。)(。>0,0GR)是偶函数,点(1,
0)是函数f(x)图象的对称中心,则。的最小值为.
解析:由函数F(x)=sin(ox+。)(。>0,0dR)是偶函数,知函数『(x)的图象关于
直线x=0对称,又点(1,0)是函数f(x)图象的对称中心,所以函数f(x)的最小正周期7的
2JiJi
最大值为4,所以。的最小值为丁=歹.
、兀
答案:万
JIJI
asin—+bcos—.
I(10Jib
4.(2019•扬州期末)设a,6是非零实数,且满足-----------=tan——,则-=
兀.兀21a
acos——Z?sin-
JIji
asin-+bcos
10Ji
解析:因为----------------=tan
JIJI~2A
acos——6sin—
JIJI10兀
asin-+Z?cos-sin~2F
所以
JIJI10兀
3cos——6sin—cos"2F
10兀.Ji10nJI10nJI10JiJI
acos2]sin-+Acoscos~=asin,Jcos~—bsinsin
(10Ji兀10兀兀、
所以alsincos---cossin—
(10JiJi10n兀、
cos‘Jcos-+sinsin—y
(10兀兀、[10兀兀JIJIb
即asinl——l=Z?cos|--asin-=bcos所以一=tan
33a
答案:出
4sinQ+1)
5.(2019.无锡期末)已知。是第四象限角,cos"彳那么一'—6;)的值为
sin(—2
3
解析:依题意,得sin9
5,cos(2。—6兀)
JI八兀3A/2.4A/2
sin°cos-+cos町壮了JX2十二义2_5蛆
cos29=淬=14-
2XQ)T
答案:警
6.(2019•南通等七市二模)在△/8C中,已知C=120°,sin6=2sin4且△28C的
面积为2/,则的长为.
解析:设a,b,c分别为△46c的内角4B,。的对边,则由sin6=2sin/和正弦定
理得6=2劣由的面积S=]a6sin得加=8,所以a=2,8=4,由余
弦定理可得力改=4+16—2><2乂4*(一])=28,得AB=2巾.
答案:2小
,4
7.已知△/回的内角4B,。所对的边分别为&b,且26=3+°,若sin6=mcos
5
Q
B=一,则b的值为________.
ac
49
角军析:VsinB=~,cosB=——,sin2^+cos2^=l,ac=15,XV2Z?=a+c,ID=a
5ac
+/—2accosB=a-\-c—\^=(a+c)2—48=4Z?2—48,解得6=4.
答案:4
8.(2019•南京三模)函数/1(x)=2sin(Gx+1)其中3>0.若不,E是方程F(x)=2
兀
的两个不同的实数根,且出一七|的最小值为m.则当xe[0,5]时,F(x)的最小值为
2Ji,兀、.兀
解析:根据已知可得F=n,所以。=2,所以/'(x)=2si“2x+Ej.因为xd0,—
…JIrji7Jin.,JI7JI.
所以,数形结合易知,当2x+w=~^-,即矛=?时,f(x)取得取小值,
oLboJoo2
为一1.
答案:一1
9.在平面直角坐标系x分中,角a与角£均以公为始边,它们的终边关于y轴对称.若
1
贝.£\
n4--HCOS4)-
si3J/
解析:因为角。与角£的终边关于y轴对称,所以。+£=2次"+”,Aez,所以
cos(a—£)=cos(2a—2k*—兀)=cos2a=—(1—2sin24)=—
7
答案:一G
z)
10.(2019•石庄中学模拟)将函数Hx)=cos(2x+夕)]|。I<句的图象向右平移至个
JI
单位后得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于直线x=7对称,则9=.
解析:依题意,g(x)=cos[2(x—^,+0=cos(2x—4一十°),令2不一今一+。=k工
JI3kn,,JI
(AGZ),即函数g(x)图象的对称轴为工=至一万+/一(AdZ),又|9\<—,当4=0时,有
兀e兀JI
了一万=丁,解得r
JI
答案:V
11.(2019•徐州中学模拟)在△46C中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A
+3cos4=1,6=5,△/灰的面积S=5/,则△Z6C的周长为.
解析:由cos2J+3cos/=1得2cosM+3COSA~2—0,解得COS/=-2(舍去)或COS
1则sinA=^",由S=^:bcsinA=^X^X-~c=5y13,得c=4.
-2-
所以a=lj+c2—2/?ccos2=25+16—2X5X4*2=21,
得a=/L所以△被7的周长为5+4+也1=9+4.
答案:9+721
2
,(।兀)1_几n,2sinci+sin2a
12.已知tan[°+1)=],SL—~<^<0,贝!j----7------=_
\'一一cos"一了)
,(兀、tan。+11,日1
斛析:由tan।[a+lj===,倚tan。=一亍
ji
又一万〈。<0,所以sin。=一A七/TO
2sin2a+sin2a2sina(sina+cosa)
故tz一7一十=y---------------------=2grna
coslo.(sina+cosa)
_2^5
-5,
13.(2019•盐城三模)在中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,5.c2=a2+62+
再则一的取值范围是
12兀
解析:因为/=/+芥+a6,所以由余弦定理得cosC=~~,所以由正弦定理
乙0
2271
,a—Z?sin?/—sin?84「22(W2A/3(吟几,
得/l=---L=----------=dsinZ—sink―/=U-sin2Z4一丁.因为0<2<丁,所以一
csmC3L/J3\3/3
兀兀兀a-lj.、
~r<2A---<—^所以x---e(—b1).
333c
答案:(T,1)
14.(2018•苏锡常镇一模)已知sina=3sin^a4—^j,贝ljtan(a+记)=.
(JiAJIJI3A/33
解析:Vsina=3sin。+77=3sin<7cos-+3cosa*sin-7HsinaH-7cosa,
\o70622
3
,nQ—广.
2—343
JI
tana+tan-
••tanf0+12)='
JI
1-tan。tan-
二中+2一娟=2小f
一E*…)
答案:273-4
B组一一力争难度小题
1.如图,已知46分别是函数/'(x)=/sinox(o>0)在y轴右
兀
侧图象上的第一个最局点和第一个最低点,且//如==,则该函数的
最小正周期是
解析:设函数f(x)的最小正周期为T,由图象可得A,则》•0B
3y2
而-3=0,解得7=4.
答案:4
2.(2。19.平潮中学模拟)在△‘雨中,若高+高=看,贝°cos/的取值范围
为
解析:由7--^+-_7,=-----
tanBtanCtanA
/口cosBcosCcos)
得sinBsinCsinAJ
.ncosBsinC+cos念inBcosZ
sin6sinCsinA9
Pmsin(6+0cos4口.sin/cosZ
sin6sinCsinAfsinBsinCsinA,
由正弦定理,得6ccosA=a,
由余弦定理,得6ccosA=ID+C2—2Z?CCOSA,
方+dAAr22
即cos—2鼻7-=可(当且仅当6=c时取等号),又易知cosA<l所以^WcosA
6be6be3f3
<1.
答案:I,1)
3.已知。为锐角,cos(a+;)=Wl则sin£a+g)的值为________.
OJ
解析:因为ae(0,可,所以
所以Sin(a+j—cos(a+j—,,
因为sin(2a+-^=sin[2(4+^j]=2sin(〃+二3“卜+野看cos(2a+9
=cos[2(〃+高=21=一|,所以sin(2a+i")=sin"+£U_=
(c।兀)兀(c।兀、兀4A/3+3
21cos§cos^2+2Jsin6-w.
答案:电
4.函数f(x)=4sin(GX+0)(/>O,G>0,O〈方]的部分图象如图,
.(JIJIA、
所示,若Xi,X2^\--1,y且广(矛I)=F(生),则广(4+e)=________._和,―7^
T271Ji<nA,
解析:由图象可得A=1,—9—QA,解得G—2,所以/V)
乙9LJz\0J
=sin(2x+。),将点Q*,、,,,(2兀、2兀
0)代入函数f(x)可得0—sin1310〉所以3-+0—A兀,所
2JIJIJI(JIA.(n、
以0—An3(A£Z),又10〈5,所以0=g,所以f(x)=sin(2x+~^J.因为(一~—,OJ,
仔,o)的中点坐标为隹,।
0L又不,x2^\一~丁,个[,且f(矛i)=f(至),所以矛1+至=正义2
兀I一)呼
=7-,所以F(xi+苞)=sin
6,
答案:坐
5.在△/及;中,B=^r,AC=y/3,D为BC中点、,£为/8中点,则/£+劭的取值范围为
O
解析:在中,设a,则公等一,且间。,习.由正弦定理备=击
ABACsix\Cyj^sin0ACsinA
得AB=-=2sine,BC=
sinC'sinBJIsinB
sing
(2兀、11(2兀、\31
2sinF—一夕,所以AE+BD=-AB+-BC=sin+sin。=sin0+-^-cos0+-
\<JJ//\<JJLtLt
si+乎cos
所以Sin^+^|e(j,1,所以/sin(d+5e偿,小,即AE+BD的取值范围是
6.(2018•南通基地卷)将函数y=/sin(了xj的图象向左平移3个单
位长度,得到函
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