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文档简介
2023北师大版新教材高中数学必修第一册
第二章函数
§4函数的奇偶性与简单的幕函数
4.1函数的奇偶性
基础过关练
题组一奇偶性的概念及图象特征
1.(多选)下列说法不正确的是()
A.偶函数的图象一定与v轴相交
B.若f(0)=0厕函数f(x)是奇函数
C若f(-2)有⑵厕函数f(x)不是偶函数
D.图象过原点的奇函数必是单调函数
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()
3.若函数f(x)(f(x)H0)为奇函数则必有()
A.f(x)f(-x)>0
B.f(x)f(-x)<0
C.f(x)<f(-x)
D.f(x)>f(-x)
4.(2020北京八十中期中)如图,给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f⑴等于()
A.-4B.-2
C.2D.4
5.(2020山西长治二中期中)已知函数f(x)=ax2+bx+3是定义在[a-3,2a]上的偶
函数则a+b的值是()
A.-lB.lC.-3D.0
题组二奇偶性的判定
6.已知y=f(x),x£(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x)厕F(x)()
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
7.(2020广东揭阳三中月考)下列函数中,既是奇函数又是减函数的是()
A.y=x+1B.y=-x3
C.y=jD.y=x|x|
8.判断下列函数的奇偶性:
(l)f(x)=Vx2-1+V1—X2;
x/\2/+2x
(2)f(x)=-^-;
⑷凶一L0).
题组三奇偶性的应用
9.(2020广西柳州二中月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当xG(-oo,0)
时,f(x)=2x3+x,则f(2)=()
A.20B.12C.-20D.-12
10.已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=-f(x).若方程f(x)=0有2023个实
数根,则这2023个实数根之和为()
A.OB.1011
C.1010D.2023
11.(2021四川德阳中学月考)若偶函数f(x)在(-8,口上是增函数则下列关系式
中成立的是()
A.f⑵
C.f⑵
12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x若f(2-a2)>f⑶厕
实数a的取值范围是()
A.(-oo,-l)U(2,4-00)
B.(-l,2)
C.(-2,l)
D.(-oo,-2)U(l,+oo)
13.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f⑴=1厕f(-l)=.
14.已知y=f(x)是奇函数当x<0时,f(x)=x2+ax,且f⑶=6,则a的值为.
15.已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-2)=10厕f(2)的值是.
16.(2022北京东直门中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,目当x<0
时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,请补全函数f(x)的图象,并根据图象
写出函数f(x)(x£R)的单调递增区间;
(2)直接写出函数f(x)(xeR)的值域;
(3)求出函数f(x)(x£R)的解析式.
17.(2021山东省实验中学期中)已知函数f(x)=l-;
Q)若函数g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;
(2)试判断函数f(x)在(0,+⑼上的单调性,并用定义证明.
能力提升练
题组一奇偶性的判定
1.(2020黑龙江哈三中月考)下列函数是偶函数的是()
A.f(x)=x3-
B*)得
C.f(x)=(x-1)-J|
D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|
2.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零厕F(x)为
()
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
3.(2020浙江杭州重点中学联考)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意
X1,X2£R,有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-1,()
A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数
c.f(x)-l是偶函数D.f(x)-1是奇函数
题组二函数奇偶性的综合应用
4.若函数f(x)在(-3,0)上单调递减,g(x)=f(x-3)是偶函数厕下列结论正确的是
()
Af(-|)<fC)<f(-5)
B.f(-5)<f(-|)<f(-|)
D•储)<f(-2(-5)
5.(2022天津五校期中联考)函数f(x)=有的图象大致为()
6.(2020河南郑州期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,目
f(l)=l,则f⑶+f⑷+f⑸的值为()
A.-lB.1
C.2D.0
7.如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数目最小值为5,那么心)在区间[-7,-3]上
()
A.是增函数且最小值为-5
B.是减函数且最小值为-5
C.是增函数目最大值为-5
D.是减函数目最大值为-5
8.已知偶函数f(x)满足f(x)=x-|(x>0),则{x|f(x+2)>l}=()
A.{x[x<-4,或x>0}
B.{x|x<0,或x>4}
C.{x[x<-2,或x>2}
D.{x[x<-2,或x>4}
9.(2022湖南长沙雅礼中学月考)设定义在R上的奇函数f(x)在。+8)上单调递
增,且f⑴=0厕不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为()
A.{x|-l<X<O,ngx>l}
B.{x[x<-1,或0<x<l}
C.{x[x<-1,或x>l}
D.{x|-l<X<0,ng0<x<l}
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
⑵若函数f(x)在区间上是单调的,求实数a的取值范围.
11.(2020北京西城期末)已知函数f(x)=^.
(1)证明:f(x)为偶函数;
⑵用定义证明:f(x)是(L+8)上的减函数;
⑶当x£[-4,-2]时,求f(x)的值域.
12.(2022河北师大附中期中)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+8)上
是减函数.
⑴比较f(-|)与f(a2+2a+1)的大小关系;
⑵判断函数f(x)田-8,0)上的单调性并证明你的判断;
⑶若f(a-l)-f(2a)>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章函数
§4函数的奇偶性与简单的幕函数
►4.1函数的奇偶性
基础过关练
1.AI3PA项,若定义域不包含0,则图象与y轴不相交;B项,令f(x)=x,此时满足
f(0)=0,但f(x)不是奇函数;易知C项说法正确;D项,图象过原点的奇函数不一定
是单调函数.故选ABD.
2.8选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项B中的图象关于y
轴对称,其表示的函数是偶函数;选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于
原点对称,不具有奇偶性,故排除.故选B.
3.B」(x)为奇函数二.f(-x)=-f(x),
又f(x)wo〃.f(x)f(-x)=-[f(x)]2<。
4.B由题图可得f(-l)=2,又函数为奇函数,所以[l)=-f(-l)=-2,故选B.
5.13••,函数f(x)=ax2+bx+3是定义在[a-3,2a]上的偶函数.43+22=0,解得
a=l,
由f(x)=f(-x)得b=0,..a+b=L故选B.
6.8•-F(x)的定义域为(-a,a),关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),••.F(x)是偶
函数.
7.13由-x+1”(x+D得函数y=x+l不是奇函数才非除A;
由Y-X)3=X3,X£R得y=-x3是奇函数,又y=-x3是减函数,故B正确;
由卜-口日-8,0)u。+8)得y=:是奇函数,但是y=q在定义域内不是减函数排
除C;
由-x卜x|=-x|x|,x£R得y=x|x|是奇函数,又y=x冈=产:]2显然单调递增才非除D.
,x<u,
故选B.
8.解析Q)依题意得X2-1N0,且Lx?之。,即x=±l,
因此函数f(x)的定义域为{-LD关于原点对称,且f(x)=0.
\f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
・•.f(x)既是奇函数也是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-8,-1)U(-L+8),不关于原点对称,
・•.f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
⑶易得函数f(x)的定义域D=(-oo,0)U(0,+8),关于原点对称.任取xeD,
当x>00vt,-x<O/.f(-x)=(-x)[l-(-x)]=-x(l+x)=-f(x);
当x<00^-x>O/.f(-x)=-x(l-x)=-f(x),
二.f(x)为奇函数.
9.8」(x)是定义在R上的奇函数.丁⑵小口”力日但,。)时,f(x)=2x3+x2〃.f(-
2)=2x(-2)3+(-2)2=-12,「.f⑵二-f(-2)=12,故选B.
10.A因为对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,则
f(0)=0.
因为方程f(x)=O有2023个实数根,
所以大于0的根与小于0的根各有1011个,且关于原点对称,故和为0,即这2
023个实数根之和为0.
ll.P・・•f(x)是偶函数.才(2)=£(-2),
又f(x)在(-8,口上是增函数
即f(2)<f(-|)<f(-l).
12.C」仪)是奇函数〃♦.当x<0时,f(x)=-x2+2x作出函数f(x)的大致图象如图中
实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数面f(2-a2)>f(a>得2-a2>a,解得-
2<a<l.故选C.
13.答案-3
解析令y=g(x)=f(x)+x2,因为g(x)是奇函数,所以g(-l)=-g(l),EPf(-l)+(-
1)2=-什⑴+IL又因为f⑴=1,所以f(-l)=-3.
]4.答案5
解常因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=虫3)=-6,所以(-3)2+ax(-3)=-6,解得a=5.
15.答案6
解析,vg(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx(xGR),
/.g(-x)=-ax5-bx3-cx=-g(x),
二.g(x)为奇函数
・•.gC2)=-g(-2)=-[f(-2)-8]=-2.
又g(2)=f⑵-8〃.f⑵=6.
16.解析Q)根据偶函数的图象关于y轴对称,作出函数在R上的图象,如图.
结合图象可得f(x)的单调递增区间为(-L0),(L+8).
(2)由图象得当x=l或x=-l时,f(x)取得最小值-1,易知f(x)无最大值,
故f(x)的值域为卜L+8).
(3)当x>0时,-x<0,因为当x<0时,f(x)=x2+2x,
所以f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.
因为f(x)为偶函数所以f(x)=x2-2x,
综上,f(x)式蓝觉
17.解析(1)由已知得g(x)=f(x)-a=l-a-;
,「g(x)是奇函数:.g(-x);-g(x),
即a-l),解得a=l.
(2)函数f(x)在(0,+8)上是增函数.
证明如下:任取Xl,X2£(0,+8),且X1<X2,
则f(Xl)-f(X2)=(l-款(1-3=甯,
,/0<Xl<X2,.,.X1-X2<O,X1X2>0,
.,•^2<O,/.f(Xl)<f(X2),
xlx2
・•・函数f(x)在。+8)上是增函数.
能力提升练
1.P选项Af(x)=x3q(xw0),定义域关于原点对称,f(-x)=-x3+;=-f(x),所以f(x)
是奇函数;
选项B,小)=禁=里(-1立41,且在0),定义域关于原点对称/(1)=亨=4(刈,
\X-L\-L-X人
所以f(X)是奇函数;
选项C,f(x)=(x-l)•框(-1WXV1),定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,
也不是偶函数;
选项D,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x£R),定义域关于原点对称,f(-x)斗2x+5|+卜2x-
5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数.故选D.
2.8依题意得F(x)的定义域为2且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以
F(x)为偶函数,故选B.
3.D解法一:对任意X1,X2£R,有f(Xi+X2)=f(Xl)+f(X2)-l,令Xl=X2=0,可得
f(0)=2f(0)-L解得f(0)=l;令X1=-X,X2=X,则有f(0)=f(x)+f(-x)-L整理可得
f(x)+f(-x)=2,因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数是,B错误;对于f(x)+f(-
x)=2,变形可得[f(x)-l]+[f(-x)-l]=0,因此函数f(x)-l是奇函数,故C错误,D正确.
解法二:设F(x)=f(x)-1,由f(Xl+X2)=f(Xl)+f(X2)-l,可得f(Xl+X2)-l=f(Xl)-l+f(X2)-
L则F(X1+X2)=F(X1)+F(X2).令Xl=X2=0彳导F(0)=0;令Xl=X,X2=-x{导
F(O)=F(x)+F(-x)=O,所以F(x)=f(x)-1是奇函数,故选D.
4c由g(x)=f(x-3)是偶函数,可知f(x)的图象关于直线x=-3对称厕f(-5)=f(-
l),f(4)=f(嚎又函数f(x)在(-3,0)上单调递减,所以f(-l)<f(-|)<f(-j)zBPf(-5)<f
(今<f(f,故选C.
5.8易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为小说第:含口出所以函数
f(x)是奇函数,其图象关于原点对称排除C,D;当x>0时,f(x)<0排除A.故选B.
解题模板
已知函数解析式判断函数图象,可由解析式得到性质,再由性质选择图象,从易
到难,一般先判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,函数的单调性、最大(小)值
等.
6.P」(x)是定义在R上的奇函数fQ)=l,
/.f(-l)=-f(l)=-lzf(0)=0.
依题意得f(3)=f(-l+4)=f(-l)=-l,
f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(l+4)=f(l)=l.
・•.f(3)+f(4)+f(5)=-l+0+l=0,故选D.
陷阱提示
在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时,f(0)=0,
否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.
1.C因为奇函数f(x)在[3,7]上是增函数目最小值为5,而奇函数的图象关于原点
对称,所以f(x)在区间[-7,-3]上是增函数目最大值为-5,故选C.
8.A由题易得偶函数f(x)在。+8)上单调递墙且f(2)=l,故f(x+2)>l等价于
f(|x+2|)>f(2),BP|x+2|>2,
解得x<-4或x>0,故选A.
9.P」⑴=0,f(x)为定义在尺上的奇函数,
/.f(-l)=-f(l)=0,f(-x)=-f(x),
由x[f(x)-f(-x)]<0可得2xf(x)<0,即xf(x)<0.
当x<0时狷f(x)>0=f(-l),又f(x)在(0,+8)上单调递墙
当x>0时得f(x)<0=Kl),又f(x)在(0,+8)上单调递增〃・Q<x<l.
因此原不等式的解集为{x|-l<x<0,或0<x<l}.
1。解析⑴设x<0,则-x>0,
则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又函数f(x)为奇函数所以f(-x)=-f(x),
所以x<0时,f(x)=x2+2x.
当x=0时,满足f(x)=-x2+2x,
所以依)寸
+2x(x<0).
(2)根据⑴作出函数f(x)的图象如图所示
结合函数f(x)的图象,知器◎所以l<a<3,
故实数
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