2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-4 .1 函数的奇偶性

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第二章函数

§4函数的奇偶性与简单的幕函数

4.1函数的奇偶性

基础过关练

题组一奇偶性的概念及图象特征

1.(多选)下列说法不正确的是()

A.偶函数的图象一定与v轴相交

B.若f(0)=0厕函数f(x)是奇函数

C若f(-2)有⑵厕函数f(x)不是偶函数

D.图象过原点的奇函数必是单调函数

2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()

3.若函数f(x)(f(x)H0)为奇函数则必有()

A.f(x)f(-x)>0

B.f(x)f(-x)<0

C.f(x)<f(-x)

D.f(x)>f(-x)

4.(2020北京八十中期中)如图,给出了奇函数f(x)的局部图象，那么f⑴等于()

A.-4B.-2

C.2D.4

5.(2020山西长治二中期中)已知函数f(x)=ax2+bx+3是定义在［a-3,2a］上的偶

函数则a+b的值是()

A.-lB.lC.-3D.0

题组二奇偶性的判定

6.已知y=f(x),x£(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x)厕F(x)()

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数，也是偶函数

D.既不是奇函数，也不是偶函数

7.(2020广东揭阳三中月考)下列函数中，既是奇函数又是减函数的是()

A.y=x+1B.y=-x3

C.y=jD.y=x|x|

8.判断下列函数的奇偶性：

(l)f(x)=Vx2-1+V1—X2；

x/\2/+2x

(2)f(x)=-^-;

⑷凶一L0).

题组三奇偶性的应用

9.(2020广西柳州二中月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当xG(-oo,0)

时,f(x)=2x3+x，则f(2)=()

A.20B.12C.-20D.-12

10.已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=-f(x).若方程f(x)=0有2023个实

数根，则这2023个实数根之和为()

A.OB.1011

C.1010D.2023

11.(2021四川德阳中学月考)若偶函数f(x)在(-8,口上是增函数则下列关系式

中成立的是()

A.f⑵

C.f⑵

12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=x2+2x若f(2-a2)>f⑶厕

实数a的取值范围是()

A.(-oo,-l)U(2,4-00)

B.(-l,2)

C.(-2,l)

D.(-oo,-2)U(l,+oo)

13.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f⑴=1厕f(-l)=.

14.已知y=f(x)是奇函数当x<0时,f(x)=x2+ax,且f⑶=6,则a的值为.

15.已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-2)=10厕f(2)的值是.

16.(2022北京东直门中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，目当x<0

时,f(x)=x2+2x.

(1)现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，请补全函数f(x)的图象，并根据图象

写出函数f(x)(x£R)的单调递增区间；

(2)直接写出函数f(x)(xeR)的值域；

(3)求出函数f(x)(x£R)的解析式.

17.(2021山东省实验中学期中)已知函数f(x)=l-；

Q)若函数g(x)=f(x)-a为奇函数，求a的值；

(2)试判断函数f(x)在(0,+⑼上的单调性，并用定义证明.

能力提升练

题组一奇偶性的判定

1.(2020黑龙江哈三中月考)下列函数是偶函数的是()

A.f(x)=x3-

B*)得

C.f(x)=(x-1)-J|

D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|

2.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零厕F(x)为

()

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数，也是偶函数

D.既不是奇函数，也不是偶函数

3.(2020浙江杭州重点中学联考)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意

X1,X2£R，有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-1,()

A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数

c.f(x)-l是偶函数D.f(x)-1是奇函数

题组二函数奇偶性的综合应用

4.若函数f(x)在(-3,0)上单调递减,g(x)=f(x-3)是偶函数厕下列结论正确的是

()

Af(-|)<fC)<f(-5)

B.f(-5)<f(-|)<f(-|)

D•储)<f(-2(-5)

5.(2022天津五校期中联考)函数f(x)=有的图象大致为()

6.(2020河南郑州期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立，目

f(l)=l,则f⑶+f⑷+f⑸的值为()

A.-lB.1

C.2D.0

7.如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数目最小值为5,那么心)在区间[-7,-3]上

()

A.是增函数且最小值为-5

B.是减函数且最小值为-5

C.是增函数目最大值为-5

D.是减函数目最大值为-5

8.已知偶函数f(x)满足f(x)=x-|(x>0),则{x|f(x+2)>l}=()

A.{x[x<-4,或x>0}

B.{x|x<0,或x>4}

C.{x[x<-2,或x>2}

D.{x[x<-2,或x>4}

9.(2022湖南长沙雅礼中学月考)设定义在R上的奇函数f(x)在。+8)上单调递

增，且f⑴=0厕不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为()

A.{x|-l<X<O,ngx>l}

B.{x[x<-1,或0<x<l}

C.{x[x<-1,或x>l}

D.{x|-l<X<0,ng0<x<l}

10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=-x2+2x.

(1)求函数f(x)的解析式；

⑵若函数f(x)在区间上是单调的,求实数a的取值范围.

11.(2020北京西城期末)已知函数f(x)=^.

(1)证明:f(x)为偶函数；

⑵用定义证明:f(x)是(L+8)上的减函数；

⑶当x£［-4,-2］时，求f(x)的值域.

12.(2022河北师大附中期中)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+8)上

是减函数.

⑴比较f(-|)与f(a2+2a+1)的大小关系;

⑵判断函数f(x)田-8,0)上的单调性并证明你的判断；

⑶若f(a-l)-f(2a)>0恒成立，求实数a的取值范围.

答案与分层梯度式解析

第二章函数

§4函数的奇偶性与简单的幕函数

►4.1函数的奇偶性

基础过关练

1.AI3PA项，若定义域不包含0,则图象与y轴不相交;B项，令f(x)=x，此时满足

f(0)=0,但f(x)不是奇函数;易知C项说法正确;D项,图象过原点的奇函数不一定

是单调函数.故选ABD.

2.8选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除;选项B中的图象关于y

轴对称，其表示的函数是偶函数;选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于

原点对称，不具有奇偶性,故排除.故选B.

3.B」(x)为奇函数二.f(-x)=-f(x),

又f(x)wo〃.f(x)f(-x)=-[f(x)]2<。

4.B由题图可得f(-l)=2,又函数为奇函数，所以[l)=-f(-l)=-2，故选B.

5.13••,函数f(x)=ax2+bx+3是定义在[a-3,2a]上的偶函数.43+22=0,解得

a=l,

由f(x)=f(-x)得b=0,..a+b=L故选B.

6.8•-F(x)的定义域为(-a,a),关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),••.F(x)是偶

函数.

7.13由-x+1”(x+D得函数y=x+l不是奇函数才非除A;

由Y-X)3=X3,X£R得y=-x3是奇函数，又y=-x3是减函数，故B正确；

由卜-口日-8,0)u。+8)得y=：是奇函数，但是y=q在定义域内不是减函数排

除C;

由-x卜x|=-x|x|,x£R得y=x|x|是奇函数，又y=x冈=产:]2显然单调递增才非除D.

,x<u,

故选B.

8.解析Q)依题意得X2-1N0,且Lx?之。，即x=±l,

因此函数f(x)的定义域为｛-LD关于原点对称，且f(x)=0.

\f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),

・•.f(x)既是奇函数也是偶函数.

(2)函数f(x)的定义域是(-8,-1)U(-L+8),不关于原点对称，

・•.f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

⑶易得函数f(x)的定义域D=(-oo,0)U(0,+8),关于原点对称.任取xeD,

当x>00vt,-x<O/.f(-x)=(-x)[l-(-x)]=-x(l+x)=-f(x);

当x<00^-x>O/.f(-x)=-x(l-x)=-f(x),

二.f(x)为奇函数.

9.8」(x)是定义在R上的奇函数.丁⑵小口”力日但,。)时,f(x)=2x3+x2〃.f(-

2)=2x(-2)3+(-2)2=-12,「.f⑵二-f(-2)=12,故选B.

10.A因为对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，则

f(0)=0.

因为方程f(x)=O有2023个实数根，

所以大于0的根与小于0的根各有1011个，且关于原点对称,故和为0,即这2

023个实数根之和为0.

ll.P・・•f(x)是偶函数.才(2)=£(-2),

又f(x)在(-8,口上是增函数

即f(2)<f(-|)<f(-l).

12.C」仪)是奇函数〃♦.当x<0时,f(x)=-x2+2x作出函数f(x)的大致图象如图中

实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数面f(2-a2)>f(a>得2-a2>a,解得-

2<a<l.故选C.

13.答案-3

解析令y=g(x)=f(x)+x2,因为g(x)是奇函数，所以g(-l)=-g(l),EPf(-l)+(-

1)2=-什⑴+IL又因为f⑴=1,所以f(-l)=-3.

]4.答案5

解常因为f(x)是奇函数，所以f(-3)=虫3)=-6,所以(-3)2+ax(-3)=-6,解得a=5.

15.答案6

解析,vg(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx(xGR),

/.g(-x)=-ax5-bx3-cx=-g(x),

二.g(x)为奇函数

・•.gC2)=-g(-2)=-[f(-2)-8]=-2.

又g(2)=f⑵-8〃.f⑵=6.

16.解析Q)根据偶函数的图象关于y轴对称，作出函数在R上的图象,如图.

结合图象可得f(x)的单调递增区间为(-L0),(L+8).

(2)由图象得当x=l或x=-l时,f(x)取得最小值-1,易知f(x)无最大值，

故f(x)的值域为卜L+8).

(3)当x>0时,-x<0,因为当x<0时,f(x)=x2+2x,

所以f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.

因为f(x)为偶函数所以f(x)=x2-2x,

综上，f(x)式蓝觉

17.解析(1)由已知得g(x)=f(x)-a=l-a-；

,「g(x)是奇函数:.g(-x);-g(x),

即a-l),解得a=l.

(2)函数f(x)在(0,+8)上是增函数.

证明如下:任取Xl,X2£(0,+8),且X1<X2,

则f(Xl)-f(X2)=(l-款(1-3=甯,

,/0<Xl<X2,.,.X1-X2<O,X1X2>0,

.,•^2<O,/.f(Xl)<f(X2),

xlx2

・•・函数f(x)在。+8)上是增函数.

能力提升练

1.P选项Af(x)=x3q(xw0),定义域关于原点对称,f(-x)=-x3+；=-f(x),所以f(x)

是奇函数；

选项B,小)=禁=里(-1立41,且在0),定义域关于原点对称/(1)=亨=4(刈,

\X-L\-L-X人

所以f(X)是奇函数；

选项C,f(x)=(x-l)•框(-1WXV1),定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数,

也不是偶函数；

选项D,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x£R),定义域关于原点对称,f(-x)斗2x+5|+卜2x-

5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数.故选D.

2.8依题意得F(x)的定义域为2且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以

F(x)为偶函数，故选B.

3.D解法一：对任意X1,X2£R，有f(Xi+X2)=f(Xl)+f(X2)-l,令Xl=X2=0,可得

f(0)=2f(0)-L解得f(0)=l；令X1=-X,X2=X，则有f(0)=f(x)+f(-x)-L整理可得

f(x)+f(-x)=2,因此函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数是,B错误;对于f(x)+f(-

x)=2,变形可得[f(x)-l]+[f(-x)-l]=0,因此函数f(x)-l是奇函数，故C错误,D正确.

解法二:设F(x)=f(x)-1,由f(Xl+X2)=f(Xl)+f(X2)-l,可得f(Xl+X2)-l=f(Xl)-l+f(X2)-

L则F(X1+X2)=F(X1)+F(X2).令Xl=X2=0彳导F(0)=0；令Xl=X,X2=-x｛导

F(O)=F(x)+F(-x)=O,所以F(x)=f(x)-1是奇函数，故选D.

4c由g(x)=f(x-3)是偶函数，可知f(x)的图象关于直线x=-3对称厕f(-5)=f(-

l),f(4)=f(嚎又函数f(x)在(-3,0)上单调递减，所以f(-l)<f(-|)<f(-j)zBPf(-5)<f

(今<f(f,故选C.

5.8易知f(x)的定义域为R,关于原点对称，因为小说第:含口出所以函数

f(x)是奇函数，其图象关于原点对称排除C,D;当x>0时,f(x)<0排除A.故选B.

解题模板

已知函数解析式判断函数图象,可由解析式得到性质，再由性质选择图象，从易

到难，一般先判断函数的奇偶性，再判断函数值的符号，函数的单调性、最大(小)值

等.

6.P」(x)是定义在R上的奇函数fQ)=l,

/.f(-l)=-f(l)=-lzf(0)=0.

依题意得f(3)=f(-l+4)=f(-l)=-l,

f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(l+4)=f(l)=l.

・•.f(3)+f(4)+f(5)=-l+0+l=0,故选D.

陷阱提示

在有关奇函数f(x)的求值问题中，要注意当f(x)在x=0处有意义时,f(0)=0,

否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.

1.C因为奇函数f(x)在［3,7］上是增函数目最小值为5,而奇函数的图象关于原点

对称，所以f(x)在区间［-7,-3］上是增函数目最大值为-5,故选C.

8.A由题易得偶函数f(x)在。+8)上单调递墙且f(2)=l,故f(x+2)>l等价于

f(|x+2|)>f(2),BP|x+2|>2,

解得x<-4或x>0,故选A.

9.P」⑴=0,f(x)为定义在尺上的奇函数，

/.f(-l)=-f(l)=0,f(-x)=-f(x),

由x［f(x)-f(-x)］<0可得2xf(x)<0,即xf(x)<0.

当x<0时狷f(x)>0=f(-l),又f(x)在(0,+8)上单调递墙

当x>0时得f(x)<0=Kl)，又f(x)在(0,+8)上单调递增〃・Q<x<l.

因此原不等式的解集为｛x|-l<x<0,或0<x<l｝.

1。解析⑴设x<0,则-x>0,

则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,

又函数f(x)为奇函数所以f(-x)=-f(x),

所以x<0时,f(x)=x2+2x.

当x=0时，满足f(x)=-x2+2x,

所以依)寸

+2x(x<0).

(2)根据⑴作出函数f(x)的图象如图所示

结合函数f(x)的图象，知器◎所以l<a<3,

故实数