曲阜师范学院：数学分析期期末考试试题

数学科学学院05－06学年第一学期期末考试试题考试科目：数学分析年级：05适用专业：数学与应用数学信息与计算科学统计学考试时间：120分钟考试方式：闭卷试卷类别：A试题满分：100分考生注意：答案全部写在答题纸上，写清题号，不必抄题．一．判断题(正确的划√,错误的划×，每小题2分，共20分).1．若数列收敛，则必为有界数列．2．无穷小量与一个有界变量的乘积仍是一个无穷小量．3．若单调数列中有一个子列收敛，则数列收敛．4．若，，且，，则必有．5．若在点可导，则在点也可导．6．若在点连续，在点不连续，则在点一定不连续．7．设在上可导，若在上严格单调增加，则在上必有．8．若在取的最大值，则．9．若在上一致连续，则在上必定一致连续．10．若为可导的偶函数，则必为奇函数．二．叙述定义并用定义证明（每题9分，共18分）1．叙述的定义，并用定义证明．2．叙述函数在上一致连续的定义，并用定义证明在上一致连续．三．计算下列各题（每题4分，共24分）1．；2．；3．设，求；4．；5．设，求；6．设，且已知，,试求．四．按要求解答下列各题（1-4每题8分，第5题6分，共38分）1．设，，，证明:的极限存在并求其值．2．设函数在点可导，且在点的某一邻域内，为的最大值，则．3．叙述闭区间上连续函数的有界性定理，并用有限覆盖定理证明．4．按函数作图步骤，作函数的图像．5．若函数满足：，对,，有，其中是常数，对，令，，则收敛，且满足，且有误差估计式：，．数学科学学院05－06学年05级第一学期期末考试《数学分析》（A）试题参考答案及评分标准一．判断题(正确的划√，错误的划×，每小题2分，共20分)1．√；2.√；3.√；4．×；5．×；6．×；7．×；8．×；9．×；10．√．二．叙述定义并证明（每题9分，共18分）1．(1)，，当时，有．(2)证明：，由于，所以要使，只须，即，取，则当时，有，所以.2．(1)在上一致连续:，，，只要，就有．(2)证明:，由于有，所以取，则当，就有，所以在上一致连续．三．计算下列各题（每题4分，共24分）1．；2．；3．;4．；5．.6．．四．按要求解答下列各题（1－4每题8分，第5题６分，共38分）1．证明：(1)先利用数学归纳法证明有上界；(2)由以及可知单调上升，因而由单调有界定理知的极限存在，设，在两边取极限得，解得（舍去负值）得，所以．2．证明：，，又在点可导，所以，因而有．3．(1)有界性定理：若函数在闭区间上连续，则在上有界．（2分）(2)证明：由连续函数的局部有界性，对每一点，都存在邻域及正数，使得，，考虑开区间集，显然是的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在的一个有限子集覆盖了，且存在正数，使得对一切有，，令，则对任何，必属于某，因而，即在上有界．（6分）4.解：(1)定义域(2)函数在上是奇函数。(3)曲线与坐标轴的交点为。(4)，令，得。（5），令，得（6）渐近线，（7）列表+－－+－－0++凹增极大值点凹减拐点凸减极小值点凸增极大值，极小值，拐点。5.证明：(1)先证明为Cauchy列，因而收敛，设。(，)(2)易知函数在上连续，在两边取极限得。(3)在两边令可得，.数学科学学院2004--2005学年第二学期期末考试试题考试科目：数学分析年级：04适用专业：数学与应用数学，信息，概率时间：120分钟考试方式：闭卷试卷类别：A卷试题满分:100分注意：答案全部写在答题纸上，写清题号，不必抄题。一．叙述（每题3分共12分）函数列在数集上非一致有界2．级数在数集上一致收敛的Cauchy原理3．微积分学基本定理4，积分第一中值定理计算（每题6分共30分）1．2．3．4．5．求级数的和讨论敛散性（每题7分共28分）1．讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性2．设，讨论在上的一致收敛性3．设，且数列有界，判断级数的敛散性4．判断级数的敛散性四．证明（1，2，3题每题8分，4题6分共30分）1．设函数列满足（1），（2）在上一致收敛于则2．若在上连续，，证明：3．设为连续正值函数，证明当时，函数是单调递增的4．设在上单调，存在，如果导数在上连续，那么积分收敛数学科学学院2004--2005学年第二学期期末考试试题考试科目：数学分析年级：04适用专业：数学与应用数学时间：120分钟考试方式：闭卷试卷类别：B卷试题满分:100分注意：答案全部写在答题纸上，写清题号，不必抄题。一．叙述（每题3分共12分）函数列在数集上一致有界2．级数一致收敛的Cauchy原理3．微积分学基本定理4，积分第一中值定理计算（每题6分共30分）1．2．3．4．5．求级数的和讨论敛散性（每题7分共28分）1．设数列有界，讨论级数的敛散性.2．讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性3．设，讨论在上的一致收敛性4．讨论无穷积分的收敛性四．证明（1，2，3题每题8分，4题6分共30分）1．设函数列满足（1），（2）在上一致收敛于则2．设，且非负，若，使，则 3．设为连续正值函数，证明当时，函数是单调递增的4．设和在上都可积，证明不等式04--05学年第二学期04级《数学分析》A卷解答叙述（每题3分共12分）1．，，有。2．，当时，对，，有3．设，是在上的一个原函数，则成立4．设和都在可积，在上不变号，则存在，使得，其中和分别表示在的下确界和上确界计算（每题6分共30分）1．解：3分6分2．解：3分.6分3．解：3分6分4．=3分=6分5．解：令，由幂级数的性质知当时， 3分 因为所以6分讨论敛散性（每题7分共28分）解：考察级数.因为，所以当时，绝对收敛；3分当时，由Cauchy判别法知，发散，故也发散；5分而当时，级数为，它是发散的；当时，级数为，它是条件收敛的.7分解：令，易知，，有2分取，对，取及，有6分因此在上不一致收敛7分解：因为有界，所以使得。2分又因为，5分而当时，收敛，故绝对收敛，从而收敛。7分解：取，则在上，单调减少，，且，3分由于。6分故收敛7分四．证明（1，2，3题每题8分，4题6分共30分）1．证明：由条件（1）（2）知，从而.1分对，由条件（2）存在，当时，对，有.4分因此，当时，有即8分2．若在上连续，，证明：证明：因为，且，使，所以存在使得.5分又因为在非负，故8分证明：若，使得从而。2分因为，所以存在使得.5分又因为在非负，故，矛盾8分证明：因为3分令，由于为连续正值函数，所以，6分所以，即是单调递增的8分4.证明：不妨设在上单调递减。因为存在，故由Cauchy收敛准则知，当时，有，3分故当时，不妨设，有，6分04--05学年第二学期04级《数学分析》B卷解答一．叙述（每题3分共12分）2．，使对及有.2．，当时，对，有3．设，是在上的一个原函数，则成立4．设和都在可积，在上不变号，则存在，使得，其中和分别表示在的下确界和上确界计算（每题6分共30分）1．解：3分6分2．解：3分.6分3．解：3分6分4．=，3分=，6分5．解：令，由幂级数的性质知当时， 3分 因为所以，6分三．讨论敛散性（每题7分共28分）1．解：因为有界，所以使得.2分又因为，5分而当时，收敛，故绝对收敛，从而收敛.7分2．解：考察级数.因为，所以当时，绝对收敛；3分当时，由Cauchy判别法知，发散，故也发散；5分而当时，级数为，它是发散的；当时，级数为，它是条件收敛的.3．解：令，易知，，有2分取，对，取及，有6分因此在上不一致收敛。7分4．解：当时，.2分又当时无穷积分收敛，故无穷积分收敛，5分从而无穷积分收敛7分四．证明（1，2，3题每题8分，4题6分共30分）1．证明：由条件（1）（2）知，从而.1分对，由条件（2）存在，当时，对，有.4分因此，当时，有即8分2．证明：因为，且，使，所以存在使得.5分又因为在非负，故。8分3．证明：3分令，由于为连续正值函数，所以，6分所以，即是单调递增的8分4．证明：对任给实数，有，即2分从而左端的二次三项式的判别式，即，4分即。6分证明：（1）在的邻域中连续；（2）在的邻域中具有有界的偏导函数，；（3）在点不能微分。04级第三学期<<数学分析>>期末考试试题解答（A卷）一．解：因为是偶函数，所以，--------------------2分且，--------------------------4分，-------------------------8分于是得到的Fourier级数为，-----------------------------------------10分二．1．极限解：由不等式得，-----------------------------------5分而故有-----------------------------------9分2．解：由链式规则，-------------------------------7分于是----------------------------------9分3．解：令，----------------------------------3分则----------------6分==-----------------9分4．解：在方程的两边对求偏导，得，----------------------------------------3分整理得到。---------------------------------------5分在方程的两边对求偏导，得，-----------------------------------------7分整理得到------------------------------------9分5．解：令，则------------------------------3分以为心，以为半径作圆，其中小于原点到集合的距离。记与所围的区域为。表示顺时针方向的圆周。则由格林公式得-------------------------------------------6分由此推出-----------------------------------------9分6．解：--------------5分---------------------------------9分三．解：令注意到当时有，由weierstrass判别法知在上一致收敛。----------------------------------4分对于，作变换，得由于，即一致有界。---------6分而函数关于单调减少，且对成立于是知关于一致趋于0，由Dirichlet判别法知在上一致收敛。--------------------------8分棕上所述，关于在上一致收敛--------------9分四．1．证明：对，当时，利用微分中值定理得------------