2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习2.5.2圆的一般方程

2.5.2圆的一般方程

基础过关练

题组一对圆的一般方程的理解

1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.若点在圆x2+y2-2x-y-a=0外,则实数a的取值范围为()

A.a<3B.a<-3

亭<3D,-1<a<3

3.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M,N关于直线x-y+l=O对称，则该圆的面

积为.

4.已知AB为圆C:x2+y2-2x+2y-3=0的直径，点A的坐标为(0,1),则点B的坐标

为.

题组二圆的一般方程的求解

5.(2022湖南岳阳月考)过点且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆

的一般方程为.

6.(2022广东肇庆期末)在平面直角坐标系中，经过三点(0,1),(0,2),(1,3)的圆的方程

为.

7.(2022湖南株洲月考)圆心在直线y=x上，且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方

程是

8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-l=O上，且圆心在第二象限，半径

为鱼，则圆的一般方程为.

题组三动点的轨迹问题

9.已知点M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程

是()

A.x2+y2=4B,x2-yM

C.x?+y2=4(xW±2)D.x?-y2=4(xW±2)

10.当点P在圆x2+y2=l上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是

()

A.x2+y2+6x+5=0

B.x2+y2-6x+8=0

C.x2+y2-3x+2=0

D.x2+y2+3x+2=0

11.(2022湖南武冈二中月考)设A为圆(x-l)2+y2=l上的动点,PA是圆的切线，且

|PA|=1,求点P的轨迹方程.

12.（2022湖南衡阳月考）已知4ABC的边AB的长为4,若BC边上的中线为定长

3,求顶点C的轨迹方程.

能力提升练

题组一圆的一般方程的求解与应用

1.（2021浙江丽水五校共同体阶段性考试）已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0（mGR）,

则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）

A.V5B.6C.V5-1D.V5+1

2.（2022湖南明德中学月考）已知点P（7,3）,圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上

一点，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

3.（2020江苏南京田家炳高级中学月考）如图，某海面上有O,A,B三个小岛（面积大

小忽略不计）,A岛在O岛的北偏东45。方向距O岛40近千米处,B岛在O岛的正

东方向距。岛20千米处.以O为坐标原点,0的正东方向为x轴的正方向,1千米

为一个单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.

(1)求圆C的方程;

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30。方向距。岛40千

米处,正沿着北偏东45。方向行驶,若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

题组二动点的轨迹问题

4.已知点M(-3,4),若动点N在圆x2+y2=4上运动，以OMQN为邻边作平行四边形

MONP,则点P的轨迹是()

A.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆

B.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆

C.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点(1,装)和点

D.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆,除去点募)和点g)

5.(2021重庆八中月考)若平面内两定点A,B之间的距离为2,动点P满足

|PB|=V2|PA|j!jtanZABP的最大值为()

A.yB.lC.V2D.V3

6.(2021安徽阜阳太和一中月考)过点P(-5,0)作直线(l+2m)x-(m+l)y-4m-3=0(m£R)

的垂线，垂足为M,已知点N(3,ll),则|MN|的取值范围是.

7.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(l,l)为圆内一点,P,Q为圆上的动点(A,P,Q

三点均不重合).

(1)求线段AP的中点的轨迹方程；

(2)若NPBQ=90。,求线段PQ的中点的轨迹方程.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.D圆的方程可化为(％+g)+(y-a)2=-32-3a,故圆心坐标为(-；,a),r2=-：a2-3a.

r2>0,

•\?a2-3a〉0,解得-4<a<0,故该圆的圆心在第四象限.

4

2

2.D圆的方程x2+y2-2x-y-a=0可化为(x-l)2+(y-；)=a+：,因为点在圆

Cf-1-l')2+(1—2丫>a+-

x2+y2-2x-y-a=0外，所以「)12)『解得2a<3,故选D.

a+->0,4

k4

3.答案9九

解析圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是(-1,-1),

由圆的性质,知直线x-y+l=0经过圆心，

.•一+1+1=0,解得k=4,

2

圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为;V42+22+16=3,

；•该圆的面积为971.

4.答案(2,-3)

解析由x2+y2-2x+2y-3=0得,(x-l>+(y+l)2=5,所以圆心坐标为(1,-1).设B(xo,yo),又

因为AQ1),所以由中点坐标公式得自：；二刍解得以二-3所以点B的坐标

为(2,-3).

5.答案x2+y2-4x+6y-12=0

解析将圆C的方程化为标准方程得(x-2)2+(y+3)2=16,则圆心C的坐标为(2,-3),

故所求圆的半径r=|CM|=J(2+l)2+(—3—1)2=5,所以所求圆的方程为

(x-2>+(y+3)2=25,即x2+y2-4x+6y-l2-0.

6.答案x2+y2-3x-3y+2=0

解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

因为圆过(0,1),(0,2),(1,3)三点，

1+E+F=0,D=-3,

所以4+2E+F=0,解得E=—3,

.1+9+D+3E+F=0,.F=2,

所以圆的方程为x2+y2-3x-3y+2=0.

7.答案x2+y2-4x-4y-2=0

解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

则圆心坐标是(《，子)，

(D=-4,

122

由题思知J2-D+E+F=0,解得E=-4,

(10+3D-E+F=0,(尸二-2,

故所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.

8.答案x2+y2+2x-4y+3=0

解析根据题意,得圆心坐标为(《广”.•圆心在直线x+y-l=0上,泠1=0,即

D+E=-2.①;半径后二+灰12=/

2

.*.D2+E2=20.(2)

又・•・圆心在第二象限，•北二4

故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.

9.C设P(x,y),由条件知PMLPN,且PM,PN的斜率肯定存在，故kMp-kNp=-l,

即2.Z=_1,

x+2x-2

所以x2+y2=4,

当P,M,N三点共线时，不能构成三角形，

2

所以xW±2,故所求轨迹方程为x+yM(x^±2).

10.C设P(xi,yi),PQ的中点M的坐标为(x,y),

(x1=2x-3,

bi=2y.

又♦.•点P在圆x2+y2=l上，

(2x-3)2+4y2=l,fiPx2+y2-3x+2=0,故选C.

11.解析设P(x,y),圆(x-lT+y2=l的圆心为B,则B(1,O),由题意得|PAF+12=|PB|2,，

(x-l)2+y2=2.

12.解析以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则

A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D的坐标为(xo,yo),

/2+x

——%0，

•­ot①

匕=.

•:|AD|=3,

(X0+2>+羽=9.②

将①代入②，并整理得(x+6)2+y2=36.

•.•点C不能在x轴上，

•••yWO.

，顶点C的轨迹方程为(x+6)2+y2=36(yWO).

能力提升练

1.D由x2+y2+2x-2my-4-4m=0W(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,

因此圆心C的坐标为(-1,m)泮径r=Vm2+4m+5-y/(m+2)2+121,当且仅当

m=-2时，半径最小，面积最小，此时圆心为C(-l,-2),半径r=l,

圆心到坐标原点的距离d=J(-l-0)2+(-2-0)2=«>r,即原点在圆C外，

所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=V^+l.故选D.

2.C由题意知，圆M的方程可化为(x-l)2+(y-5)2=l,所以圆心为M(l,5),半径为1.如

图所示：

作点P(7,3)关于x轴的对称点P1(7,-3),

连接MP,交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取

一点S；连接SRSPSQ.因为点P与点P关于x轴对称，所以|SP|=|SP|,|S'P|=|SP|,

所以|SP|+|SQ|=|SP|+|SQ|=|P'QK|SP|+|S'Q|=|S'P|+|S'Q|.

故(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-l=J(l-7)2+(5+3)2一1=9.

3.解析(1)由题图可知A(40,40),B(20,0),

设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

F=0,m=-20,

则%。2+402+40D+40E+F=0,解得E=-60,

.202+20D+F=0,(F=0,

所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.

(2)易知D(-20,-20g),船D的航线所在直线1的斜率为1,故直线1的方程为

x-y+20-20V3=0,

由⑴，知圆C的圆心为C(10,30),半径r=10V10,

则圆心C到直线1的距离d1l°-30+：20q=]0旄贝”d

V2

故该船有触礁的危险.

4.C如图所示，设P(x,y),N(xo,yo)测线段OP，线段MN的中

z%x-3

所喂晨0从而｛Q才

122'

又因为点N(x+3,y-4)在圆上，所以(x+3>+(y-4)2=4.

当点P在直线OM上时，有x=-；,y=£或x=gy=E.

因此点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点(-*)和点(号谓).故选

C.

5.B以经过A,B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平

面直角坐标系，

则A(J,O),B(1,O),设P(x,y),

整理，得x2+6x+y2+l=0,BP(x+3)2+y2=8,

即动点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,2金为半径的圆，

当点P在如图所示的P1或P2位置时,tanNABP的值最大，最大值为葛=盥=1.故选

I

去2-j\

6.答案[13-710,13+710]

得3所以直线过定