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文档简介
第1讲相似三角形的判定及有关性质1.如图,AB∥EM∥DC,AE=ED,EF∥BC,EF=12cm,求BC的长.解:eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB∥EM∥DC,AE=ED))⇒E为AD的中点,M为BC的中点.又EF∥BC⇒EF=MC=12cm所以BC=2MC=24cm2.在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且AE∶EB=1∶2,DE与AC交于点F,若△AEF的面积为6cm2,求△ABC的面积.解:在平行四边形ABCD中,AB綊CD.因为AE∶EB=1∶2,所以AE∶DC=1∶3,所以△AEF与△CDF对应边AE与DC上的高的比为1∶3,所以△AEF与△ABC,AE与AB边上的高的比为1∶4.因为AE∶AB=1∶3,所以S△AEF∶S△ABC=1∶12,所以S△ABC=6×12=72(cm2).3.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE.连接ED并延长,交AB于F,交AH于H.若AB=4AF,EH=8,求DF的长.解:因为AH∥BE,所以eq\f(HF,HE)=eq\f(AF,AB).因为AB=4AF,所以eq\f(HF,HE)=eq\f(1,4).因为HE=8,所以HF=2.因为AH∥BE,所以eq\f(HD,DE)=eq\f(AD,DC).因为D是AC的中点,所以eq\f(HD,DE)=1.因为HE=HD+DE=8,所以HD=4.所以DF=HD-HF=4-2=2.4.如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,F为AB上任意一点,CF交AD于点E.求证:AE·BF=2DE·AF.证明:取AC的中点M,连接DM交CF于点N.在△BCF中,D是BC的中点,DN∥BF,所以DN=eq\f(1,2)BF.因为DN∥AF,所以△AFE∽△DNE,所以eq\f(AE,AF)=eq\f(DE,DN).又因为DN=eq\f(1,2)BF,所以eq\f(AE,AF)=eq\f(2DE,BF),即AE·BF=2DE·AF.5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB,BP的延长线交AC、CF于E、F两点,求证:PB2=PE·PF.证明:如图,连接PC.易证PC=PB,∠ABP=∠ACP.因为CF∥AB,所以∠F=∠ABP.从而∠F=∠ACP.又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角,从而△CPE∽△FPC,所以eq\f(CP,FP)=eq\f(PE,PC).所以PC2=PE·PF.又PC=PB,所以PB2=PE·PF.6.已知在△ABC中,D是BC边的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.解:(1)证明:因为DE⊥BC,D是BC的中点,所以EB=EC,所以∠B=∠1.又因为AD=AC,所以∠2=∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图,过点A作AM⊥BC,垂足为点M.因为△ABC∽△FCD,BC=2CD,所以eq\f(S△ABC,S△FCD)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,CD)))eq\s\up12(2)=4.又因为S△FCD=5,所以S△ABC=20.因为S△ABC=eq\f(1,2)BC·AM,BC=10,所以20=eq\f(1,2)×10×AM,所以AM=4.因为DE∥AM,所以eq\f(DE,AM)=eq\f(BD,BM).因为DM=eq\f(1,2)DC=eq\f(5,
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