高考数学一轮复习专题讲座2三角函数解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略知能训练

PAGE专题讲座二三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略1．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选B.(a＋2b)·(a－3b)＝－18，所以a2－6b2－a·b＝－18，因为|a|＝3，|b|＝2，所以9－24－a·b＝－18，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.2．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图像如图所示，点B，C是该图像与x轴的交点，过点C的直线与该图像交于D，E两点，则(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)))的值为()A．－1 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2解析：选D.注意到函数f(x)的图像关于点C对称，因此C是线段DE的中点，eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)T＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,π)＝1，因此(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))2＝2.3．(2015·高考重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝eq\r(2)，A的角平分线AD＝eq\r(3)，则AC＝________．解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(2),2).所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以BC＝AB＝eq\r(2).在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，所以AC＝eq\r(6).答案：eq\r(6)4．(2015·高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以ω2＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤eq\f(\f(2π,ω),2)，即ω2≤eq\f(π,2)，所以ω2＝eq\f(π,4)，所以ω＝eq\f(\r(π),2).答案：eq\f(\r(π),2)5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)，x∈R))的图像的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，－\f(2,3)))时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解：(1)由题图知A＝2，T＝8，因为T＝eq\f(2π,ω)＝8，所以ω＝eq\f(π,4).又图像经过点(－1，0)，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ))＝0.因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,2)＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,2)))＝2eq\r(2)coseq\f(π,4)x.因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，－\f(2,3)))，所以－eq\f(3π,2)≤eq\f(π,4)x≤－eq\f(π,6).所以当eq\f(π,4)x＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(2,3)时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值eq\r(6)；当eq\f(π,4)x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2eq\r(2).6．(2015·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，eq\r(3)b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝eq\r(7)，b＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为m∥n，所以asinB－eq\r(3)bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－eq\r(3)sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝eq\r(3).由于0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝eq\r(7)，b＝2，A＝eq\f(π,3)，得7＝4＋c2－2c，即c2－2因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),2).法二：由正弦定理，得eq\f(\r(7),sin\f(π,3))＝eq\f(2,sinB)，从而sinB＝eq\f(\r(21),7).又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝eq\f(2\r(7),7).故sinC＝sin(A＋B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))＝sinBcoseq\f(π,3)＋cosBsineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(21),14).所以△ABC的面积为eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).1．已知函数f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的递增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．解：(1)f(x)＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f(x)的递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).(2)由f(C)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))＋1＝2，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，而C∈(0，π)，所以2C＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，所以2C＋eq\f(π,6)＝eq\f(5,6)π，解得C＝eq\f(π,3).因为向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，所以eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(1,2).由正弦定理得eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，即a2＋b2－ab＝9.②联立①②，解得a＝eq\r(3)，b＝2eq\r(3).2．(2015·高考福建卷)已知函数f(x)＝10eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋10cos2eq\f(x,2).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.解：(1)因为f(x)＝10eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋10cos2eq\f(x,2)＝5eq\r(3)sinx＋5cosx＋5＝10sin(x＋eq\f(π,6))＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)①将f(x)的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图像，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图像．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.所以g(x)＝10sinx－8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即sinx0＞eq\f(4,5).由eq\f(4,5)＜eq\f(\r(3),2)知，存在0＜α0＜eq\f(π,3)，使得sinα0＝eq\f(4,5).由正弦函数的性