江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十八数列的概念及其简单表示法理含解析苏教版

word精品，双击可进行修改PAGE课时跟踪检测（二十八）数列的概念及其简单表示法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·南通期末)已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前4项为1，－eq\f(1,4)，eq\f(1,9)，－eq\f(1,16)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的一个通项公式为______________．解析：根据题意，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前4项为1，－eq\f(1,4)，eq\f(1,9)，－eq\f(1,16)，则a1＝(－1)1＋1×eq\f(1,12)＝1，a2＝(－1)2＋1×eq\f(1,22)＝－eq\f(1,4)，a3＝(－1)3＋1×eq\f(1,32)＝eq\f(1,9)，a4＝(－1)4＋1·eq\f(1,42)＝－eq\f(1,16)，以此类推可得：an＝(－1)n＋1·eq\f(1,n2).答案：an＝(－1)n＋1·eq\f(1,n2)2．(2018·盐城二模)已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________________.解析：当n≥2时，an＝2Sn－1，∴an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，即an＋1＝3an，∵a2＝2a1＝2，∴an＝2·3n－2，n≥2.当n＝1时，a1＝1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2))3．(2018·苏州期中)已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an＝5n＋1，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通项公式为bn＝n2，若将数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))，则c6的值为________．解析：∵数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an＝5n＋1，∴数列中数据符合平方的数有：16,36,81,121,196,256.∵数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通项公式为bn＝n2，当n＝4,6,9,11,14,16时符合上面各个数．∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))，c6的值为256.答案：2564．(2019·南通第一中学测试)已知数列{an}对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝6，则a10＝________.解析：a4＝a2＋a2＝12，a6＝a4＋a2＝18，a10＝a6＋a4＝30.答案：305．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．解析：因为Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.答案：－16．(2018·无锡期末)对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.解析：因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.答案：8二保高考，全练题型做到高考达标1．数列{an}满足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，则通项公式an＝________.解析：因为an＋an＋1＝eq\f(1,2)，a2＝2，所以a1＝－eq\f(3,2)，a3＝－eq\f(3,2)，a4＝2，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n为奇数，,2，n为偶数.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n为奇数，,2，n为偶数))2．(2018·启东中学调研)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，则连乘积a1a2a3…a2017a2018＝________.解析：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，所以a2＝－3，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，所以数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4＝1，所以a1a2a3…a2017a2018＝a2017·a2018＝a1·a2＝－6.答案：－63．(2019·苏州模拟)在数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝________.解析：∵任意连续三项的和都是15，∴an＋an＋1＋an＋2＝15，同时an＋1＋an＋2＋an＋3＝15，则an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，即an＋3＝an，即数列是周期为3的周期数列，则由a4＝1，a12＝5，得a4＝a1＝1，a12＝a9＝a6＝a3＝5，则由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝9，∴a2018＝a672×3＋2＝a2＝9.答案：94．(2018·常州期中)已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式an＝eq\f(n,n2＋36)，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中的最大项的值是________．解析：an＝eq\f(n,n2＋36)＝eq\f(1,n＋\f(36,n))≤eq\f(1,2\r(n·\f(36,n)))＝eq\f(1,12)，当且仅当n＝6时取等号，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中的最大项的值为eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)5.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a1a2a3a4a5a6……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝eq\f(9×10,2)＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.答案：976．(2018·常州第一中学检测)已知{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则eq\f(an,n)的最小值为________．解析：由已知条件可知，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．所以an＝n2－n＋33，n∈N*，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1.令f(n)＝n＋eq\f(33,n)－1，则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝eq\f(53,5)，f(6)＝eq\f(21,2)，则f(5)＞f(6)，故f(n)＝eq\f(an,n)的最小值为eq\f(21,2).答案：eq\f(21,2)7．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n2,n2－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.解析：由题意知eq\f(an,an－1)＝eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(n2,n－1n＋1)，所以an＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(22,22－1)×eq\f(32,32－1)×…×eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,2－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n－1×n＋1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,1×3×2×4×3×5×…×n－1×n＋1)＝eq\f(2n,n＋1).答案：eq\f(2n,n＋1)8．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a，n为偶数，,\f(1,an－1)，n为奇数，))若an＝eq\f(1,4)，则n＝________.解析：因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋a2＝3，a5＝eq\f(1,a4)＝eq\f(1,3)，a6＝1＋a3＝eq\f(3,2)，a7＝eq\f(1,a6)＝eq\f(2,3)，a8＝1＋a4＝4，a9＝eq\f(1,a8)＝eq\f(1,4)，所以n＝9.答案：99．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an， ①当n≥2时，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1， ②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.10．已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，在数列{bn}中，bn＝eq\f(1＋an,an).(1)求公差d的值；(2)若a1＝－eq\f(5,2)，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．解：(1)因为S4＝2S2＋4，所以4a1＋eq\f(3×4,2)d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.(2)因为a1＝－eq\f(5,2)，所以数列{an}的通项公式为an＝－eq\f(5,2)＋(n－1)×1＝n－eq\f(7,2)，所以bn＝eq\f(1＋an,an)＝1＋eq\f(1,an)＝1＋eq\f(1,n－\f(7,2)).因为函数f(x)＝1＋eq\f(1,x－\f(7,2))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))上分别是单调减函数，所以b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，所以数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.(3)由bn＝1＋eq\f(1,an)，得bn＝1＋eq\f(1,n＋a1－1).又函数f(x)＝1＋eq\f(1,x＋a1－1)在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，且x＜1－a1时，y＜1；当x＞1－a1时，y＞1.因为对任意的n∈N*，都有bn≤b8，所以7＜1－a1＜8，所以－7＜a1＜－6，所以a1的取值范围是(－7，－6)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·通州期末)在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为an＝________.解析：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23，而23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3,5,7的最小公倍数，即3×5×7＝105，所以该数列的通项公式可以表示为an＝105n＋23.答案：105n＋232．数列{an}的通项公式为an＝n＋eq\f(b,n)，若对任意的n∈N*都有an≥a5，则实数b的取值范围为________．解析：由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式an≥a5恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4≥a5，,a6≥a5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋\f(b,4)≥5＋\f