高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例知能训练轻松闯关文北师大版

PAGE第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．(2016·郑州模拟)已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，所以AC＝10eq\r(7)(km)．3．(2016·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)解析：选B.由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，所以a2＝(eq\r(2)a)2＋(eq\r(5)a)2－2×eq\r(2)a×eq\r(5)a×cos∠DAC，所以cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10).4．(2016·淮北质检)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端AA．30° B．45°C．60° D．75°解析：选B.依题意可得AD＝20eq\r(10)(m)，AC＝30eq\r(5)(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.第4题图第5题图5．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))eq\s\up12(2)＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).6．(2014·高考四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BCA．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：选C.如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．7．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．解析：由题意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(68,sin45°)，解得MN＝34eq\r(6)海里，故这只船航行的速度为eq\f(34\r(6),4)海里/小时＝eq\f(17\r(6),2)海里/小时．答案：eq\f(17\r(6),2)8．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________解析：由题意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)9．(2016·佛山一模)如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到：CD＝2，CE＝2eq\r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos48.19°取\f(2,3)))解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝2eq\r(2)，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝eq\f(CEsin60°,sin45°)＝3eq\r(2)，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10所以AB＝eq\r(10)，即A、B两点之间的距离为eq\r(10).答案：eq\r(10)10．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________解析：根据图示，AC＝100eq\r在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)⇒AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．答案：15011．(2016·贵阳监测考试)如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3).(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cosB＝eq\f(\r(3),3)，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3).因为∠D∈(0，π)，所以sinD＝eq\r(1－cos2D)＝eq\f(2\r(2),3).因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝eq\f(1,2)AD·CD·sinD＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2).(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2eq\r(3).因为BC＝2eq\r(3)，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以eq\f(2\r(3),sinB)＝eq\f(AB,sin（π－2B）)＝eq\f(AB,sin2B)＝eq\f(AB,2sinBcosB)＝eq\f(AB,\f(2\r(3),3)sinB)，所以AB＝4.1．(2016·石家庄模拟)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则四边形ABCD面积S的最大值为()A.eq\r(30) B．2eq\r(30)C．6eq\r(30) D．4eq\r(30)解析：选B.连接AC，则AB2＋BC2－2×AB·BCcosB＝AD2＋DC2－2×AD·DCcosD，即20－16cosB＝34－30cosD，化简得15cosD－8cosB＝7，则S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)×(8sinB＋15sinD)．令8sinB＋15sinD＝t，则t2＝64sin2B＋225sin2D＋240·sinBsinD，又(15cosD－8cosB)2＝49，则64cos2B＋225cos2D－240cosBcosD＝49，两式相加得289－240cos(B＋D)＝t2＋49，即t2＝240－240cos(B＋D)≤480，当B＋D＝π时，tmax＝4eq\r(30)，所以S四边形ABCD≤2eq\r(30)，故选B.2．如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为eq\r(3)米(将眼睛S距地面的距离SA按eq\r(3)米处理)．(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角∠MSN(设为θ)是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，作SC⊥OB于点C，连接MS，NS，依题意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°.又SA＝eq\r(3)，故在Rt△SAB中，可求得AB＝eq\f(SA,tan30°)＝3米，即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米．在Rt△SCO中，SC＝3，∠CSO＝30°，OC＝SC·tan30°＝eq\r(3)，又BC＝SA＝eq\r(3)，故OB＝2eq\r(3)米，即立柱的高度OB为2eq\r(3)米．(2)存在．因为cos∠MOS＝－cos∠NOS，所以eq\f(MO2＋SO2－SM2,2MO·SO)＝－eq\f(NO2＋SO2－SN2,2NO·SO)，于是得SM2＋SN2＝26，从而cosθ＝eq\f(SM2＋SN2－MN2,2SM·SN)≥eq\f(SM2＋SN2－MN2,SM2＋SN2)＝eq\f(11,13).又∠MSN为锐角，故当视角∠MSN取最大值时，cosθ＝eq\f(11,13).3.如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)？解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，在△AMN中，由正弦定理得eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AN,sinθ)＝eq\f(AM,sin（120°－θ）)，所以AN＝eq\f(4\r(3),3)sinθ，AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)＝eq\f(4\r(3),3)sin(θ＋60°)．(2)在△AMP中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq