2016-2017学年高二数学上册知识点综合测试题13VIP

第一章综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是导学号64150190()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]由幂函数的图象知，x>0时，图象在第一象限，不在第四象限，故原命题正确，其逆否命题也正确；逆命题：“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，例如：函数y＝x＋1的图象不过第四象限，但它不是幂函数，故其逆命题是假命题，从而其否命题也是假命题．2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是导学号64150191()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1[答案]A[解析]函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－eq\f(m,2)，于是－eq\f(m,2)＝1⇒m＝－2.3．下列说法错误的是导学号64150192()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠B．“x＝3”是“|x|>0”C．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：∃x∈R，使x2＋x＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0[答案]C[解析]根据逆否命题的定义知选项A正确；x＝3⇒|x|>0，但|x|>0eq\o(⇒,/)x＝3，知选项B正确；“p且q”为假命题，则至少有一个为假命题，知选项C不正确；由命题p的否定知选项D正确．4．(2016·北京理，4)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的eq\x(导学号64150193)()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]D[解析]取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.5．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是导学号64150194()A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题C．¬p为假命题 D．¬q为假命题[答案]B[解析]当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))所以“p或q”是假命题，选B.6．(2015·重庆理，4)“x>1”是“eqlog\s\do6(\f(1,2))(x＋2)<0”的导学号64150195()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由eqlog\s\do6(\f(1,2))(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“eqlog\s\do6(\f(1,2))(x＋2)＜0”的充分不必要条件，故选B.7．已知命题p：∃x0∈R,2x0＝1，则¬p是导学号64150196()A．∀x0∈R,2x0≠1 B．∀x0∉R,2x0≠1C．∃x0∈R,2x0≠1 D．∃x0∉R,2x0≠1[答案]A[解析]重在考查特称命题与全称命题的转化关系．关键是∃与∀的转化．特称命题p：∃x0∈R,2x0＝1的否定形式即为全称命题¬p：∀x0∈R,2x0≠1，故选A.8．下列命题中，真命题是导学号64150197()A．存在x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)B．任意x∈(0，π)，sinx>cosxC．任意x∈(0，＋∞)，x2≥x－eq\f(1,4)D．∃x0∈[0，eq\f(π,2)]使得sinx0>x0[答案]C[解析]本题主要考查全称命题与特称命题真假的判断．对于A选项：∀x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝eq\f(π,6)，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx<cosx，故B为假命题；C项，x2－x＋eq\f(1,4)＝(x－eq\f(1,2))2，对，x∈(0，＋∞)(x－eq\f(1,2))2≥0恒成立，故C项正确；对于D选项：在单位圆中，可知对任意x∈[0，eq\f(π,2)]都有sinx<x.故D为假命题．综上可知，C为真命题．9．(2016·天津理，5)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的eq\x(导学号64150198)()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<010．下列四个命题中真命题的个数有导学号64150199()①若x＝1，则x－1＝0；②“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题③“等边三角形的三边相等”的逆命题；④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]C[解析]①是真命题；②逆否命题为“若b≠0，则ab≠0”，是假命题；③逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题11．已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2xm＋1＝0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是导学号64150200(A．－2≤m≤2 B．m≥2C．m≤－2 D．m≤－2或m≥2[答案]C[解析]由题意可知命题p为真，即方程4x＋2xm＋1＝0有解，∴m＝－eq\f(4x＋1,2x)＝－(2x＋eq\f(1,2x))≤－2.12．下列说法不正确的是导学号64150201()A．“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0－1<0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≥0”B．命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”C．“∃a∈R，使方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1<x2”和“函数f(x)＝log2(ax－1)在[1,2]上单调递增”D．△ABC中，A是最大角，则sin2B＋sin2C<sin2A是△[答案]C[解析]因为2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1<x2的充要条件是2＋1＋a<0，∴a<－3，当a<－3时，函数f(x)＝log2(ax－1)在[1,2]上无意义．故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是____________________________________． 导学号64150[答案]若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不全大于0.14．已知p：关于x的不等式|x－1|＋|x－3|<m有解，q：f(x)＝(7－3m)x为减函数，则p成立是q成立的________条件． 导学号64150[答案]必要不充分[解析]∵|x－1|＋|x－3|≥|x－1－x＋3|＝2，∴m>2，即p：m>2，q：2<m<eq\f(7,3).peq\o(⇒,/)q，但q⇒p.∴p成立是q成立的必要不充分条件．15．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．导学号64150[答案](－∞，－2]∪[－1,3)[解析]对于方程x2＋2mx＋1＝0有两个不等正根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m2－4>0，,－2m>0.))∴m<－1，方程x2＋2(m－2)x－3mΔ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)∴－2<m<3，若p真q假，则m≤－2；若p假q真，则－1≤m<3.16．下列命题正确的序号为________． 导学号64150205①函数y＝ln(3－x)的定义域为(－∞，3]；②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值为5；③若命题p：对∀x∈R，都有x2－x＋2≥0，则命题¬p：∃x∈R，有x2－x＋2<0；④若a>0，b>0，a＋b＝4，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为1.[答案]②③④[解析]命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，若已知函数是偶函数，则必有a＝－5，b＝5，即函数f(x)＝x2＋5，x∈[－5,5]，其最小值为5，命题②正确；全称命题的否定是特称命题，命题③正确；命题④中，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)(a＋b)·(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(1,4)(2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(1,4)(2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b)))＝1(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)，命题④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)判断下列命题的真假：导学号64150206(1)“若自然数a能被6整除，则a能被2整除”的逆命题；(2)“若0<x<5，则|x－2|<3”的否命题及逆否命题(3)命题“若不等式(a－2)x2＋2(a－2)·x－4<0对一切x∈R恒成立，则a∈(－2,2)”及其逆命题．[解析](1)逆命题：若自然数a能被2整除，则a能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．(2)否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.否命题为假．反例：x＝－eq\f(1,2)≤0，但|－eq\f(1,2)－2|＝eq\f(5,2)<3.逆否命题：若|x－2|≥3，则x≤0或x≥5.逆否命题为真，|x－2|≥3⇒x≥5或x≤－1.(3)原命题为假．因为(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，当a＝2时，变为－4<0，也满足条件．逆命题：若a∈(－2，2)，则不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立．逆命题为真，因为当a∈(－2,2)时，Δ<0，且a－2<0.18．(本题满分12分)已知a>0设命题p：函数y＝(eq\f(1,a))x为增函数．命题q：当x∈[eq\f(1,2)，2]时函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,a)恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的范围．导学号64150207[解析]当y＝(eq\f(1,a))x为增函数，得0<a<1.当x∈[eq\f(1,2)，2]时，因为f(x)在[eq\f(1,2)，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数．∴f(x)在x∈[eq\f(1,2)，2]上最小值为f(1)＝2.当x∈[eq\f(1,2)，2]时，由函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,a)恒成立．得2>eq\f(1,a)解得a>eq\f(1,2).如果p真且q假，则0<a≤eq\f(1,2)；如果p假且q真，则a≥1.所以a的取值范围为(0，eq\f(1,2)]∪[1，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知命题p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 导学号64150[解析]∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．对于命题p，依题意知Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20∴－2≤a≤10，令p：P＝{a|－2≤a≤10}，q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，由题意知PQ，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9，因此实数m的取值范围是{m|m≥9}．20．用反证法证明：钝角三角形最长边上的中线小于该边长的一半．导学号64150209[解析]依题意，写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来，推出矛盾．已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边上的中点，求证：AD<eq\f(1,2)BC(如图所示)．证明：假设AD≥eq\f(1,2)BC.(1)若AD＝eq\f(1,2)BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知，∠A＝90°，与题设矛盾．所以AD≠eq\f(1,2)BC.(2)若AD>eq\f(1,2)BC，因为BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，所以在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD；同理∠C>∠CAD.所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，即∠B＋∠C>∠BAC，因为∠B＋∠C＝180°－∠BAC，所以180°－∠BAC>∠BAC，则∠BAC<90°，与题设矛盾．由(1)，(2)知AD<eq\f(1,2)BC.21．(本小题满分12分)设有两个命题： 导学号64150210(1)关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；(2)函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数若命题(1)、(2)中有且仅有一个是真命题，则实数a的取值范围是多少？[解析]记命题p：A＝{a|x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立}，命题q：B＝{a|f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)则A＝{a|－2<a<2}，B＝{a|a<eq\f(3,2)}，∵p与q中仅有一个为真命题，∴命题p真且命题q假或命题p假且命题q真，∴原题转化为求(A∩∁RB)∪(∁RA∩B)，∵∁RA＝{a|a≥2或a≤－2}，∁RB＝{a|a≥eq\f(3,2)}，∴A∩∁RB＝{a|eq\f(3,2)≤a<2}，∁RA∩B＝{a|a≤－2}，∴实数a的取值范围为{a|a≤－2或eq\f(3,2)≤a<2}．22．(本小题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2. 导学号64150211(1)当b>0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明a≤2eq\r(b)；(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2eq\r(b).[证明](1)∵f(x)＝－b(x－eq\f(a,2b))2＋eq\f(a2,4b)，对任意x∈R，都有f(x)≤1，∴f(eq\f(a,2b))＝eq\f(a2,4b)≤1.又∵a>0，b>0，∴a2≤4b，即a≤2eq\r(b).(2)必要性：对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1，即－1≤f(x)≤1，∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.∵