高中数学 3.1.2 类比推理同步练习 北师大版选修1-2

§1归纳与类比1．2类比推理eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是 ()． A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 答案C2．下面几种推理是类比推理的是 ()． A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4 －2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班 有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除 答案B3．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36 颗珠子应是什么颜色 ()． A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析由图知，三白两黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36 颗珠子的颜色与第1颗珠子的颜色相同，即白色． 答案A4．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体 几何中，类比上述命题，可以得到命题_____________________________ _____________________________________________________________. 答案夹在两平行平面间的平行线段相等5．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等．类似地写出空间正四面体 的两条性质： ①__________________________________________________________； ②__________________________________________________________. 答案①三个侧面与底面构成的二面角相等 ②四个面都全等(答案不唯一)6．就任一等差数列{an}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发 现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列 和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的 结论？ 解设等差数列{an}的公差为d，则 an＝a1＋(n－1)d， 从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d. 所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15 可得a7＋a10＝a8＋a9. 同理a10＋a40＝a20＋a30. 由此猜想，任一等差数列{an}， 若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q， 则有am＋an＝ap＋aq成立． 类比等差数列，可得等比数列{an}的性质： 若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q， 则有am·an＝ap·aq成立．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可 推知扇形面积公式S扇等于 ()． A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2) C.eq\f(lr,2) D．不可类比 解析我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r，∴S 扇＝eq\f(1,2)lr. 答案C8．三角形的面积为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形 内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为 ()． A．V＝eq\f(1,3)abc B．V＝eq\f(1,3)Sh C．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径) D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高) 解析△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小 三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设 四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA、OB、OC、OD，将四面 体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以 有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r. 答案C9．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝eq\f(2S,a＋b＋c).将此结论类比到空间四面体：设四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝________. 答案eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)10．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18＝________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________． 解析定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 由上述定义，得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n为奇数，,3，n为偶数，))故a18＝3. 从而Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n为奇数,\f(5,2)n，n为偶数.)) 答案3Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n为奇数,\f(5,2)n，n为偶数))11．观察：①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1， ②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1，由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广． 解观察得到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，猜测推广式子为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ均不为kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)，则 tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1. 证明：由α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，得α＋β＝eq\f(π,2)－γ， ∵tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－γ))＝cotγ， tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)， ∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ) ＝cotγ(1－tanαtanβ) ∴tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα ＝tanγ(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ ＝tanγ(1－tanαtanβ)cotγ＋tanαtanβ ＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝1.12．(创新拓展)定义一种“”运算，对于n∈N*满足下列运算性质： ①22010＝1，②(2n＋2)2010＝3·[(2n)2010]． 试求20102010的值． 解由已知得：(2×1)2010＝1， (2×2)2010＝(2×1＋2)2010 ＝3[(2×