高中数学 2.1.1合情推理同步检测 苏教版选修2-2

2.1.1合情推理eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．下列推理中，是归纳推理的有________．①A、B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a>AB，得P②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列的前n项和Sn的表达式．③由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πab.④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特殊到一般的推理．答案②2．下面几种推理是合情推理的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形内角和是(n－2)·180°.答案①②④3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是__________．答案夹在两平行平面间的平行线段相等真命题4．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)5．如图(1)有面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，则图(2)有体积关系：eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝________.解析把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).答案eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)6．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：①通项：an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N*)；③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N*)；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．解在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到：①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N*)(真命题)；③若m＋n＝2p，则bm·bn＝beq\o\al(2,p)(m，n，p∈N*)(真命题)；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(假命题)．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．当a，b，c∈(0，＋∞)时，由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是________．解析eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai＞0，i＝1,2，…，n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．答案eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai＞0，i＝1,2，…，n)8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此eq\f(T8,T4)＝a5a6a7a8，eq\f(T12,T8)＝a9a10a11a12，eq\f(T16,T12)＝a13a14a15a16，而T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)的公比为q16，因此，T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T18,T12)成等比数列．答案eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)9．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415…………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左向右的第3个数是________．解析∵前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即eq\f(n2－n,2)个，∴第n行第3个数是全体正整数中第eq\f(n2－n,2)＋3个，即为eq\f(n2－n＋6,2).答案eq\f(n2－n＋6,2)10．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.解析观察等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350(1)取α＝eq\f(π,3)，则cosα＝eq\f(1,2)，cos10α＝－eq\f(1,2)，代入等式⑤，得－eq\f(1,2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10－1280×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＋1120×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＋p×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1，即n＋4p＝－200(2)联立(1)(2)，得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962.答案96211．就任一等差数列{an}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{an}，若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq成立．类比等差数列，可得等比数列{an}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有am·an＝ap·aq成立．12.如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB，SAC，SBC与底面ABC所成角分别为α1，α2，α3，三棱SC，SB，SA与底面ABC所成的角为β1，β2，β3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．解如图，在△DEF中，由正弦定理得eq\f(DE,sinF)＝eq\f(EF,sinD)＝eq\f(DF,sinE).如图，由于平面SAB，SAC，SBC与底面所成的二面角分别为α1，α2，α3，类比可得：在四面体S­ABC中，有eq\f(S△SAB,sinα1)＝eq\f(S△SAC,sinα2)＝eq\f(S△SBC,sinα3)，即eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3).13．(创新拓展)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)并进行研究，你能得到什么样的结论？解：(1)∵a10＝a1＋9×1＝10，a20＝a10＋10d＝10＋10d＝40.∴d＝3.(2)∵a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)，∴a30＝10[(d＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)]，即a30为关于d的二次函数，由于d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴a30∈[eq\f(15