高中数学 2.6 正态分布同步练习 北师大版选修2-3

*§6正态分布6．1连续型随机变量6．2正态分布eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．若，x∈R，则下列说法正确的是 ()．A．f(x)有最大值，也有最小值B．f(x)有最大值，无最小值C．f(x)无最大值，有最小值D．f(x)无最大值，也无最小值解析根据指数函数与二次函数的性质知，当x＝1时，f(x)取最大值eq\f(1,\r(2π))，无最小值．答案B2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝ ()．A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84解析由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故选A.答案A3．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X≤C)＝P(X>C)＝p，那么p的值为()．A．0 B．1C.eq\f(1,2) D．不确定，与σ有关解析由P(X≤C)＝P(X>C)＝p知，密度曲线的对称轴为x＝C.又因曲线与x轴之间的面积为1，知p＝eq\f(1,2).答案C4．设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>1)＝p，则P(－1<X<0)＝________.解析由正态分布的性质知，P(X<－1)＝p，∴P(－1<X<0)＝eq\f(1,2)[1－P(X<－1)－P(X>1)]＝eq\f(1,2)(1－2p)＝eq\f(1,2)－p.答案eq\f(1,2)－p5．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000,4002)，则这批灯泡使用时间超过10800小时的概率为________．解析P(X＞10800)＝eq\f(1,2)[1－P(10000－2×400＜X≤10000＋2×400)]＝eq\f(1,2)(1－0.954)＝0.023.答案0.0236．设正态总体落在区间(－∞，－1)和区间(3，＋∞)内的概率相等，落在区间(－2,4)内的概率为99.7%，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标．解正态总体落在(－∞，－1)和(3，＋∞)内的概率相等，说明正态曲线关于x＝1对称．所以μ＝1，因为落在(－2,4)内的概率为99.7%，∴1－3σ＝－2,1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴最高点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(2π)))).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．设随机变量Z～N(0,1)，a＝P(－2<Z<0)，b＝P(－1<Z<1)，c＝P(0<Z<2)，则它们的大小关系是 ()．A．a<b<c B．a＝b＝cC．a＝c<b D．a＝c>b解析由正态曲线的对称性，a＝c.各概率值都是Z在区间长度为2的区间内取值的概率，b对应的区间在正态曲线的对称中心，故b最大．答案C8．右图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是 ()．A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析对正态分布N(0，σ2)，σ反映的是正态分布的离散程度，σ越小，越集中，曲线越“高瘦”，由图可知σ1<σ2<σ3，对σ2对应的曲线，由图知，μ＝0，且当x＝0时，f(x)max＝eq\f(1,\r(2π))，又由曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))知σ2＝1，故选D.答案D9．已知一个正态分布的分布密度函数为，且σm＝μn＝196，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________.解析由题意知，μ＝7，σ＝2.又σm＝μn＝196，即2m＝7n＝196＝142∴m＝eq\f(2lg14,lg2)，n＝eq\f(2lg14,lg7)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(lg2,2lg14)＋eq\f(lg7,2lg14)＝eq\f(lg14,2lg14)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)10．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为(x∈R)．对此有以下命题：①该市这次考试的数学平均成绩为80分；②分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；③分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；④该市这次考试的数学成绩标准差为10.其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写出来)解析由题意知，μ＝80，σ＝10，即平均成绩为80分，成绩的标准差为10.由μ＝80知正态曲线关于x＝80对称，故(120，＋∞)关于x＝80的对称区间为(－∞，40)；(110，＋∞)关于x＝80的对称区间为(－∞，50)．所以分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同．答案①③④11．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求分布密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得μ＝80.eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，所以σ＝8.故密度函数解析式是(2)由μ＝80，σ＝8得，μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.683.因此尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的68.3%.12．(创新拓展)有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20,4)．若这批零件共有5000个．试求(1)这批零件中尺寸在18mm～22mm间的零件所占的百分比．(2)若规定尺寸在24mm～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在18mm～22mm间的零件所占百分比大约是68.3%.(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X在14mm～26m