2019-2020学年高中数学课时分层作业27直线与圆的方程的应用含解析新人教A版必修

PAGE课时分层作业(二十七)直线与圆的方程的应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米C[可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝eq\r(|OC|2－|CD|2)＝3.6(米)．]2．由y＝|x|和圆x2＋y2＝4所围成的较小扇形的面积是()A．eq\f(π,4) B．πC．eq\f(3π,4)D．eq\f(3π,2)B[由题意围成的面积为圆面积的eq\f(1,4)，所以S＝eq\f(1,4)πr2＝π.]3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)B[圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四边形ABCD的面积为eq\f(1,2)|AC||BD|＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r(6).]4．已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A．6eq\r(2)－2 B．8C．4eq\r(6) D．10B[点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5，7)的距离为eq\r(（5＋1）2＋（7＋1）2)＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.]5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由题意知，圆心为(a，0)，半径长r＝eq\r(2).若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径长，即eq\f(|a－0＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1.]二、填空题6．若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是________．－2[因为圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，所以直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，所以k＝－2.]7．如图所示，A,B是直线l上的两点，且|AB|＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2－\f(π,2)))[如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，此时ABO2O1为矩形，且Smax＝2×1－eq\f(1,2)·π·12＝2－eq\f(π,2).随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，所以S∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2－\f(π,2))).]8．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是________．{k|k＝eq\r(2)或－1≤k＜1}[由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点．结合图形(图略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).]三、解答题9．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．[证明]以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，所以P(－x0，－y0－2r)．所以直线CP的方程为y－y0＝eq\f(－2r－y0－y0,－x0－x0)(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点．10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设持续时间为t，则t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)，即外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5h.[能力提升练]1．已知集合M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是()A．[－3eq\r(2)，3eq\r(2)] B．[－3，3]C．(－3，3eq\r(2)] D．[－3eq\r(2)，3)C[数形结合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3<b≤3eq\r(2)时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点．]2．圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝4与直线y＝kx的交点为P，Q，原点为O，则|OP|·|OQ|＝________．28[如图，过原点O作☉C的切线OA，连接AC，OC，在Rt△OAC中，|OA|2＝|OC|2－r2＝32－4＝28，由平面几何知识可知，|OP|·|OQ|＝|OA|2＝28.]3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5\r(2),4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),4)，＋∞))[由题意知，AB所在直线与圆C相切或外离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝eq\f(a,5)(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝eq\f(|3a|,\r(a2＋（－5）2))≥1，即a≥eq\f(5\r(2),4)或a≤－eq\f(5\r(2),4).]4．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解]建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6，0)，(0，3)，所以轮船航线所在直线方程为eq\f(x