2025高考数学一轮复习-第54讲-正态分布【课件】

第54讲正态分布第十章

计数原理、概率及其分布1．设随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为______________，P(X≤0)＝_______，P(|X|≤1)≈___________，P(X＞1)≈___________.(精确到0.0001)激活思维【解析】0.50.68270.15872．设随机变量X～N(0，22)，随机变量Y～N(0，32)，则P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是______________________．P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)【解析】如图，X～N(0，22)，Y～N(0，32)的正态密度曲线都关于y轴对称，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1).因为σ越大，曲线越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1).3．某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名本市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝_________.0.6827【解析】由题可得，身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.4．若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是____________．0.34135【解析】5．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________．95.45%【解析】设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率约为95.45%.聚焦知识X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ3．3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝_____，D(X)＝______．μσ2(多选)若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是 (

)A．P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)B．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)C．P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化D．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化正态分布的性质举题说法1AC【解析】由题意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B错误；P(X＜μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误．A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递增D．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)【解析】【答案】D由正态密度曲线的性质得X，Y的正态密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称．对于A，由图象得μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A不正确；对于B，由图象得X的正态密度曲线较Y的正态密度曲线“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B不正确；对于C，由正态密度曲线的性质知，函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递减，故C不正确；对于D，根据3σ原则，无论σ

取何值时，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.9545，故D正确．某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400，16)，随机抽取

10000袋，则袋装质量在区间(396，408)的约有_________袋(质量单位：g)．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9973.正态分布下的概率计算28186【解析】1．某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布N(4，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.4，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为_______．0.1【解析】由题知μ＝4，故P(X≤4)＝0.5，所以P(X＜2)＝P(X≤4)－P(2≤X≤4)＝0.1.2．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为(

)参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A．455 B．2718 C．6346 D．9545B【解析】3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100km)情况，随机调查得到了1200个样本，根据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12＜ξ＜14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有(

)A．180辆 B．360辆

C．600辆 D．840辆A【解析】3D打印技术在精密仪器制作中应用越来越多，某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这台3D打印设备打印出的零件内径X(单位：μm)服从正态分布N(105，36).(1)若该台3D打印设备打印了100件这种零件，记X表示这100件零件中内径指标值位于区间(111，117)的产品件数，求E(X).正态分布的应用3【解答】由题意知，μ＝105，σ＝6，则111＝μ＋σ，117＝μ＋2σ.一件产品的质量指标值位于区间(111，117)的概率即为P(μ＋σ＜X＜μ＋2σ).(2)该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974.3【解答】随堂练习1．(多选)若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项可以表示图中阴影部分面积的是 (

)【解析】【答案】ABC根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，故B正确；【解析】【答案】

ACDX的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误；P(|X－μ|＞3σ)＝P(X＜μ－3σ)＋P(X＞μ＋3σ)＝2P(X＞μ＋3σ)，故C正确；3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________．0.14【解析】因为X～N(2，σ2)，所以P(X＞2)＝0.5，所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.4．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，则μ＝_____．3【解析】由于P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，可知正态分布曲线关于直线x＝3对称，故μ＝3.5．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10000株水稻，株高在(80，90)的约有_________株.(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)1359【解析】配套精练【解析】D2．设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ＜0)＝p，则P(0＜ξ＜1)与D(ξ)分别为

(

)C【解析】3．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有下列四个命题：甲：P(X＞m＋1)＞P(X＜m－2)；乙：P(X＞m)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；丁：P(m－1＜X＜m)＜P(m＋1＜X＜m＋2).如果只有一个假命题，则该命题为

(

)A．甲 B．乙

C．丙 D．丁D【解析】因为只有一个假命题，且乙、丙只要有一个假，另一个一定假，不合题意，所以乙、丙一定都正确，则μ＝m.P(X＞m＋1)＝P(X＜m－1)＞P(X＜m－2)，故甲为真．根据正态分布密度曲线的对称性可得P(m－1＜X＜m)＝P(m＜X＜m＋1)＞P(m＋1＜X＜m＋2)，故丁为假．4．据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布N(90，202)，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为(

)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973)A．1070 B．2140 C．4280 D．6795A【解析】【解析】根据正态分布的曲线可知x轴是渐近线，且曲线y＝f(x)与x轴之间的面积等于1，故C正确，D错误．ABC6．已知随机变量X服从正态分布N(1，4)，则下列说法正确的有(

)【解析】【答案】AB三、

填空题7．已知某班高三模拟测试数学成绩X～N(109.5，14.52)，若P(X≥124)＝0.16，则P(95≤X≤109.5)＝________．0.34【解析】因为P(X≥124)＝0.16，所以P(95≤X≤109.5)＝P(109.5≤X≤124)＝0.5－P(X≥124)＝0.34.【解析】【解析】51四、

解答题10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.【解答】种子密度的平均值为(0.7×0.5＋0.9×0.6＋1.1×0.9＋1.3×1.4＋1.5×1.1＋1.7×0.5)×0.2＝1.24(g/cm3).(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.(2)在(1)的条件下，用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望(各种子的萌发互相独立)；【解答】由频率分布直方图知优种占比为(1.4＋1.1＋0.5)×0.2＝0.6.所以X的分布列为X012P0.07840.40320.5184故E(X)＝2×0.72＝1.44.10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.(3)若该品种种子的密度ρ～N(1.3，0.01)，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目．附：假设随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.【解答】11．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9.(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率．【解答】因为A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9，设