2025高考数学一轮复习-第50讲-随机事件与概率【课件】

第50讲

随机事件与概率第十章

计数原理、概率及其分布1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是

(

)A．至多一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没中靶激活思维【解析】D对于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、两次都中靶，A不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C不满足条件；对于D，“两次都没中靶”与“至少一次中靶”对立，D满足条件．2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是 (

)A．A与B互为对立事件

B．A与B互斥C．A与B相等

D．P(A)＝P(B)D【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).事件A包含的结果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A与事件B既不互斥也不对立，故A，B错误；3．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3.(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_______；0.5【解析】如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3.0.3(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_____．0.8【解析】如果A，B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0.04．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是______．【解析】5．从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为1的概率是______；这个数的四次方的个位数字为1的概率是______．【解析】从0～9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．基本结果聚焦知识子集2．两个事件的关系和运算

含义符号表示包含关系A发生导致B发生________相等关系B⊇A且A⊇B________并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生____________，___________A⊆BA＝BA∩B＝∅A∪B＝Ω3．古典概型(1)有限性：样本空间的样本点只有__________；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性________．4．古典概型的概率公式有限个相等5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________.性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝______________________.P(A)＋P(B)1－P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是

(

)A．“至少有1个红球”与“至少有1个黑球”B．“至少有1个红球”与“都是黑球”C．“至少有1个红球”与“至多有1个黑球”D．“恰有1个红球”与“恰有2个红球”随机事件的关系与运算举题说法1【解析】【答案】D对于A，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至少有1个黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，“至少有1个红球”与“都是黑球”不能同时发生，且必有其中之一发生，所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至多有1个黑球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如“恰有3个红球”，所以D符合题意．变式在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是

(

)A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件【解析】【答案】DA中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；C中，A∪B与C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C错误；D中，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确．(1)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(

)古典概型2A【解析】(2)从1至6这6个整数中随机取3个不同的整数，其中恰有两个是偶数的概率为(

)C2【解析】变式回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5445等．在所有小于200的三位回文数中任取两个数，则这两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为

(

)B【解析】某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．概率的基本性质3【解答】设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名或5名以上医生”，且事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出医生至多2个”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2个的概率；某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．3【解答】方法一：“派出医生至少2个”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出医生至少2个”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(2)求派出医生至少2个的概率．变式五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为 (

)B【解析】随堂练习【解析】【答案】CA【解析】3．袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是

(

)D【解析】4．某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为 (

)A．0.92 B．0.08 C．0.54 D．0.38A【解析】从这种铅笔产品中任取一件抽到甲生产线的产品的概率为0.6，抽到乙生产线的产品的概率是0.4，抽到甲生产线的产品中合格产品的概率P1＝0.6×(1－0.1)＝0.54，抽到乙生产线的产品中合格产品的概率P2＝0.4×(1－0.05)＝0.38，任取一件抽到合格产品的概率P＝P1＋P2＝0.54＋0.38＝0.92.配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1．四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是

(

)【解析】设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d，则交谈组合有9种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，【答案】A2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)D【解析】3．从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为

(

)C【解析】4．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为(

)A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43C【解析】二、

多项选择题5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”．下列说法正确的是(

)A．E与G是互斥事件B．F与I是互斥事件，且是对立事件C．F与G不是互斥事件D．G与I是互斥事件【解析】【答案】BC对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件，故B正确；对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；对于D，G与I也可以同时发生，不是互斥事件，故D错误．6．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是

(

)【解析】【答案】ABC三、

填空题7．社区从甲、乙等5名同学中随机选3名参加服务工作，则甲、乙都入选的概率为______．【解析】设这5名同学分别为甲，乙，1，2，3，从5名同学中随机选3名，样本空间Ω＝{(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)}，共10个样本点.【解析】59．某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．0.78【解析】四、

解答题10．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值)；【解答】由(0.0025＋0.0100＋a＋0.0150＋0.0100)×20＝1，可得a＝0.0125，这

1000名学生每日的平均阅读时间为10×0.05＋30×0.2＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＝58(min).10．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．(2)若采用分层随机抽样的方法从样本在[60，80)，[80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取