2025高考数学一轮复习-第35讲-直线、平面垂直的判定与性质【课件】

第35讲

直线、平面垂直的判定与性质第七章

立体几何1．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件激活思维【解析】B2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是 (

)A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γC【解析】A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误．B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误．C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确．D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．3．(多选)下列说法正确的是 (

)A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【解析】对于A，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，若平面α⊥平面β，则两平面一定相交，设交线为直线a，显然a⊂α，但直线a与平面β不垂直，故B错误；对于C，若平面α⊥平面β，它们的交线记为直线l，显然直线l⊂平面β，在平面α内一定有直线m∥l，则直线m∥平面β，故C正确；对于D，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故D正确．【答案】CD4．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为

(

)B【解析】如图，取B1C1的中点E，连接A1E，CE.根据题意易得A1E⊥侧面BCC1B1，所以∠A1CE即为A1C与侧面BCC1B1所成的角．5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的____________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件的序号即可)．②(或③)【解析】连接AC(图略).因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面各边都相等，所以AC⊥BD.因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理两条相交直线都垂直聚焦知识2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理3．角与距离

定义备注线面角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角范围：________二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角范围：____________面面夹角两个平面相交所得的小于等于90°的二面角苏教版教材需补充此概念点面距过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段长度线面距和面面距转化为点面距[0，π]已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则下列说法正确的是(

)A．α∥β，l∥α

B．α⊥β，l⊥βC．α与β相交，且交线平行于l

D．α与β相交，且交线垂直于l与线、面垂直相关命题的判定举题说法1

C【解析】由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，故A，B错误．又l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故C正确，D错误．变式已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(

)A．若m⊥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，则m⊥β【解析】对于A，过直线n找一个平面与平面α相交，设交线为l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，又因为m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故A不正确．对于B，若m∥α，α∥β，则m⊂β或m∥β，故B不正确．对于C，因为m⊥α，m⊥n，所以n∥α或n⊂α.当n⊂α时，因为n⊥β，所以根据面面垂直的判定定理可得α⊥β；当n∥α时，过n作平面γ∩α＝l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，又因为n⊥β，所以l⊥β，又因为l⊂α，所以α⊥β.综上，C正确．对于D，若α⊥β，设α∩β＝l，作直线m∥l，则m∥α，m∥β，故D不正确．【答案】C如图，在三棱锥S-ABC中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，∠SAB＝∠SCB＝∠ABC＝90°.求证：AC⊥SB.线面垂直的判定定理与性质定理的应用2【解答】如图，取AC的中点E，连接SE，BE.因为AB＝BC，所以BE⊥AC.在△SCB和△SAB中，∠SAB＝∠SCB＝90°，AB＝BC，SB＝SB，所以△SCB≌△SAB，所以SA＝SC.因为E为AC的中点，所以SE⊥AC.又因为SE∩BE＝E，SE，BE⊂平面SBE，所以AC⊥平面SBE.因为SB⊂平面SBE，所以AC⊥SB.变式如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为棱PB和PC上的点，且AE⊥PB，AF⊥PC，求证：EF⊥PC.【解答】由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，知PA⊥BC.由底面ABCD为正方形，知AB⊥BC.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AE⊂平面PAB，则BC⊥AE.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.因为AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以PC⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PC.面面垂直的判定定理与性质定理的应用3【解答】设BF∩AO＝Q，则Rt△QBO∽Rt△BAO，所以∠QBO＝∠BAO＝∠BCA，所以BF＝CF.又∠ABC＝90°，故F为AC中点．又E为AP中点，所以EF∥PC.因为PC∥DO，所以EF∥DO.又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO.又BF⊥AO，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，所以AO⊥平面BEF.又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.(2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为线段A1B1的中点，E为线段CC1的中点，AC＝CE＝1，平面ABE⊥平面AA1C1C，求证：AB⊥AE.3如图，取AE的中点F，连接CF.因为AC＝CE，所以CF⊥AE.【解答】又平面ABE⊥平面AA1C1C，平面ABE∩平面AA1C1C＝AE，CF⊂平面AA1C1C，所以CF⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，所以CF⊥AB.依题意知CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB.又CC1∩CF＝C，CC1，CF⊂平面AA1C1C，所以AB⊥平面AA1C1C.又AE⊂平面AA1C1C，所以AB⊥AE.又AC⊂平面ABC，所以PB⊥AC.又AC⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以BC⊥AC.【解答】垂直关系的综合应用——角与距离的计算4-1图(1)图(2)【解答】如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：PB⊥BC；如图，取AD的中点O，连接BO，CO，PO.由侧面PAD为正三角形知PO⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.4-2【解答】由勾股定理知OB2＋BC2＝OC2，所以BC⊥OB.又因为PO⊥BC，PO，OB⊂平面POB，PO∩OB＝O，所以BC⊥平面POB.因为PB⊂平面POB，所以BC⊥PB.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD.(2)求CD与平面PBC所成的角的正弦值．4-2【解答】随堂练习1．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列说法正确的是(

)A．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β B．若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β D．若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α⊥βA【解析】对于A，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β，故A正确．对于B，若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α与β相交或α∥β，故B错误．对于C，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故C错误．对于D，若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α与β相交，不一定垂直，故D错误．2．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥

AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在

(

)A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部【解析】如图，连接AC1.B因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA⊂平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1

B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC

D．平面B1EF∥平面A1C1D【解析】对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，则有EF⊥BD.又BB1⊥EF，从而EF⊥平面BDB1.又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确．对于B，因为平面A1BD∩平面BDB1＝BD，显然BD不垂直于平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B错误．对于C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C错误．对于D，连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D.又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面AB1C与平面B1EF不平行，则平面A1C1D与平面B1EF不平行，故D错误．【答案】A4．(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则

(

)A．AD1∥平面BOC1 B．BD⊥平面COC1C．C1O与平面ABCD所成的角为45°【解析】如图，因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BOC1，BC1⊂平面BOC1，所以AD1∥平面BOC1，故A正确．因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CC1，又BD⊥CO，CO∩CC1＝C，CO，CC1⊂平面COC1，所以BD⊥平面COC1，故B正确．【答案】ABD配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1．下列说法中错误的是

(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是

(

)A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥βC【解析】对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行，故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n(垂直于同一平面的两条直线互相平行)，故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α，β相交或平行，故D错误．3．如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列结论不成立的是

(

)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABCD【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，易证BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，而DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此B，C均正确．因为点P在平面ABC的射影为△ABC的中点，并不在DE上，所以D不成立．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是

(

)【解析】【答案】B对于A，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于C，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1-D1PC的体积为定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确．二、

多项选择题5．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(

)【解析】图(1)对于B，如图(2)，取NT的中点Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，在正方体SBCM-NADT中，SN⊥平面NADT，而OQ⊂平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩TN＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，故OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，因为PO⊂平面OPQ，所以MN⊥OP，故B正确；对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，同理可得OP⊥BD，则OP⊥MN，故C正确；图(2)图(3)对于D，如图(4)，取AD的中点Q，连接PQ，QO，OD，BD，OA，则MN∥BD∥PQ，所以∠QPO或其补角为异面直线PO与MN所成的角，图(4)【答案】BC6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则 (

)A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°ABD【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故A，B正确；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故D正确．三、

填空题7．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________________时，平面MBD⊥平面PCD.BM⊥PC(或DM⊥PC)【解析】由题知△PAB≌△PAD，所以PB＝PD，可知△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，故PC⊥平面MBD，因为PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.8．已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，△ABC是底面圆O的内接正三角形，点P在DO上，且PO＝λDO.若PA⊥平面PBC，则实数λ＝______.【解析】【解析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，PO⊥平面ABC，连接CO.因为CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，所以CD⊥平面PDO，又OD⊂平面PDO，所以CD⊥OD.【解答】如图，连接AB1，A1B，设AB1∩A1B＝O，连接OM.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.【解答】因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BM⊥平面ACC1A1，因为AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.