2025高考数学一轮复习-第3讲-全称量词和存在量词【课件】

第3讲

全称量词和存在量词第一章

集合与常用逻辑用语、不等式1．若命题p：∃x∈R，x＋1≥0，则命题p的否定是 (

)A．∀x∈R，x＋1＜0B．∀x∈R，x＋1≥0C．∃x∈R，x＋1＜0D．∃x∈R，x＋1≥0激活思维A2．(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的有 (

)A．每一个末位是0的整数都是5的倍数B．有些菱形是正方形C．对任意负数x，x的平方是正数D．梯形的对角线相等AC【解析】(－∞，2)4．已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是_____________．(3，＋∞)【解析】因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1，使2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞).5．设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为________．【解析】若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；1．全称量词命题与存在量词命题聚焦知识全称量词命题存在量词命题量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题形式∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定__________________，是________量词命题__________________，是________量词命题∃x∈M，¬p(x)存在∀x∈M，¬p(x)全称2．常见词语的否定词语是都是大于小于词语的否定______________________________________________词语且至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定______________________________________________________不是不都是大于或等于或至多有n－1个至少有两个存在一个x不成立小于或等于写出下列命题的否定，并判断其真假性．(1)∀x∈Z，|x|∈N；含量词的命题的否定举题说法1【解答】∃x∈Z，|x|∉N；假命题．(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；【解答】有些平行四边形不是中心对称图形；假命题．写出下列命题的否定，并判断其真假性．(3)有些三角形是直角三角形；【解答】1【解答】所有三角形都不是直角三角形；

假命题．(4)∃x∈R，x＋1≤0；(5)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.∀x∈R，x＋1＞0；假命题．【解答】∀x∈R，x2＋2x＋3≠0；真命题．变式

(1)命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为 (

)A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈ZC．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q变式

(2)设命题p：∃x＞0，sinx＞1＋cosx，则¬p为 (

)A．∀x≤0，sinx＞1＋cosx B．∀x＞0，sinx＜1＋cosxC．∀x＞0，sinx≤1＋cosx D．∀x≤0，sinx≤1＋cosxDC(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________________．结合命题真假确定参数2【解析】(－∞，－2]由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2].(2)若命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是__________________________．【解析】(－∞，－1)∪(3，＋∞)2若对∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，则Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.因为命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).【解析】因为命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0为假命题，所以∀x∈R，x2＋2x＋a＞0为真命题，则满足Δ＝22－4a＜0，解得a＞1.综上，实数a的取值范围为(1，2).C变式

(2)已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，使得x2－λx＋1＜0成立．若p为假命题，则λ的取值范围是 (

)A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)A【解析】双量词成立问题3【解析】【答案】【解析】随堂练习1．命题“存在无理数m，使得m2是有理数”的否定为(

)A．任意一个无理数m，m2都不是有理数B．存在无理数m，使得m2不是有理数C．任意一个无理数m，m2都是有理数D．不存在无理数m，使得m2是有理数AB3．若命题“∃x∈[0，3]，x2－2x－a＜0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是 (

)A．－1 B．0C．1 D．3B【解析】由题意得a＞x2－2x在x∈[0，3]上有解，当x＝1时，x2－2x取最小值－1，则a＞(x2－2x)min＝－1，故a可取的最小整数值为0.4．甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，则没去的人是(

)A．甲 B．乙C．丙 D．丁D【解析】由题意，若甲不去，则丙不去，乙也不去，同时丁也不去，故没有人去，不符合题意，则甲一定去了，所以乙去了，丙也去了，则丁不去．【解析】(－∞，－1]∪[6，＋∞)配套精练一、

单项选择题1．命题“∀x∈Q，x2－5≠0”的否定为 (

)A．∃x∉Q，x2－5＝0 B．∀x∈Q，x2－5＝0C．∀x∉Q，x2－5＝0 D．∃x∈Q，x2－5＝0D2．命题“∃x＞1，x2＋2x－1≤0”的否定是 (

)A．∀x＞1，x2＋2x－1≤0B．不存在x＞1，x2＋2x－1≤0C．∃x≤1，x2＋2x－1＞0D．∀x＞1，x2＋2x－1＞0D3．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球.下列说法正确的为 (

)A．丙参加了铅球 B．乙参加了铅球C．丙参加了标枪 D．甲参加了标枪A【解析】由①乙没有参加跑步，知乙参加铅球或标枪．若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪．显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步．综上可得，甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球．4．已知p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0；q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为

(

)A．(－2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D．(－2，1)A【解析】若p为真，则Δ1＝4－4a≤0，解得a≥1.若q为真，则Δ2＝4a2－4(2－a)＜0，解得－2＜a＜1.若p真q假，则a≥1；若p假q真，则－2＜a＜1.综上所述，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为(－2，＋∞).5．已知命题“∃x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1≤0”是真命题，则实数m的取值范围是

(

)A．(－∞，－1)∪[3，＋∞)

B．[－1，3]

C．(－∞，0]∪[1，＋∞)

D．(－1，3)A【解析】若不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R恒成立，则有①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式显然成立；②当m＋1＞0时，Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＜0，解得－1＜m＜3；③当m＋1＜0时，不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R显然不恒成立，舍去．综上①②③可知，若不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R恒成立，则－1≤m＜3，所以当“∀x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0”是假命题时，m∈(－∞，－1)∪[3，＋∞).二、

多项选择题6．下列说法正确的有

(

)【解析】【答案】BC命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是命题“∀n∈N，n2≤2n”，C正确．命题“∀n＞4，2n＞n2”的否定是命题“∃n＞4，2n≤n2”，D错误．7．已知命题p：∀m∈[－1，1]，a2－5a＋3≥m＋2，若p是真命题，则实数a的取值可以是

(

)A．0 B．5C．－2 D．4ABC【解析】由题意可得a2－5a＋3≥3，即a2－5a≥0，解得a≤0或a≥5.【解析】AB三、

填空题9．甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A、B、C三个学校，并分别获得第一、二、三名．已知：①甲不是A校选手；②乙不是B校选手；③A校选手不是第一名；④B校选手获得第二名；⑤乙不是第三名．根据上述情况，可判断出丙是_____校选手，他获得的是第______名．A【解析】三因为乙不是B校选手且B校选手获得第二名，所以乙不是第二名．又因为乙不是第三名，所以乙是第一名．因为乙不是B校选手且A校选手不是第一名，所以乙是C校选手．因为甲不是A校选手，所以甲是B校选手，故丙是A校选手．因为B校选手获得第二名，所以甲是第二名，故丙是第三名．10．已知“∃x∈R，ax2＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是______________．[0，＋∞)【解析】因为命题“∃x∈R，ax2＋1＜0”为假命题，则命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题．11．已知命题p：∀x∈R，a＜3x2024＋1，若p为假命题，则实数a的取值范围是______________．[1，＋∞)【解析】由题知命题“∃x∈R，a≥3x2024＋1”为真命题，等价于a≥(3x2024＋1)min.因为x2024≥0，当且仅当x＝0时等号成立，所以3x2024＋1≥1，即(3x2024＋1)min＝1，可得a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞).【解答】【解答】13．已知m∈R，命题p：∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立；命题q：