2025高考数学一轮复习-第1讲-集合及其运算【课件】

第1讲

集合及其运算第一章

集合与常用逻辑用语、不等式1．若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是 (

)A．1∈A B．{－1}⊆AC．∅⊆A D．{－1，1}∉A激活思维D2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是 (

)A．A∪B＝B B．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C．A∩B＝{x|1＜x≤2} D．(∁RB)∪(∁RA)＝RBC【解析】因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因为2＜2x≤8，所以1＜x≤3，所以B＝{x|1＜x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}，(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x＞2}．3．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_____．2【解析】因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即

a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，当a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.4．已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为______________．[2，＋∞)【解析】因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：__________、__________、__________．(2)常见集合的符号表示确定性聚焦知识互异性无序性数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或N＋ZQRC2．集合间的基本关系关系定义记法相等集合A与B的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A

B注：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有______个子集，_________个真子集．2n2n－13．集合的基本运算

集合的并集A∪B集合的交集A∩B集合的补集∁UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}4．常见结论与等价关系A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A；(∁UA)∪A＝_____；∁U(∁UA)＝_____．UA(1)若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是______________．集合中元素的性质举题说法1【解析】{1，－1}若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}．【解析】1C变式

(1)已知集合A＝{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2，3}}，则集合A中的元素个数为_____．6【解析】x∈{1，2}表示x的取值为1、2两个，y∈{1，2，3}表示y的取值为1、2、3三个，构成有序实数对共有2×3＝6对．变式

(2)已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝_________．【解析】集合间的关系2【解析】C(2)已知集合A＝{x∈N*|x2－2x－3＜0}，则满足B⊆A的非空集合B的个数为(

)A．3 B．4C．7 D．8【解析】A2A＝{x∈N*|x2－2x－3＜0}＝{x∈N*|－1＜x＜3}＝{1，2}，所以满足B⊆A的非空集合B有{1}，{2}，{1，2}，故个数为3.(3)已知集合A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|y＝ln(6＋x－x2)}，且A⊆B，则(

)A．－1≤a≤2 B．－1＜a＜2C．－2≤a≤1 D．－2＜a＜12C【解析】【解析】因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.B【解析】【答案】A因为B⊆A，所以：①当B＝∅时，ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．(1)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(

)A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2集合间的运算3【解析】C方法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．方法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.(2)设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则A∩(∁UB)＝(

)A．(1，2) B．(1，2]C．[1，2) D．[1，2]【解析】C3解不等式|x－2|≤1，得1≤x≤3，则A＝[1，3].解不等式2x－4≥0，得x≥2，则B＝[2，＋∞)，∁UB＝(－∞，2)，所以A∩(∁UB)＝[1，2).【解析】3B变式

(1)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是

(

)A．{1，3，4} B．{2，3，5}C．{2，6} D．{1，6}D【解析】集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)＝{1，6}．变式

(2)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝

(

)A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅A【解析】因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．随堂练习1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪(∁UM)＝(

)A．{2，3，5} B．{1，3，4}C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5}A【解析】因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}．又N＝{2，5}，所以N∪(∁UM)＝{2，3，5}．2．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(

)A．∅ B．SC．T D．ZC【解析】任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T⊆S.因此，S∩T＝T.3．已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|x2－2x≥0}，则M∩N＝ (

)A．(－∞，0]∪(1，＋∞) B．(1，2]C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)D【解析】由x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2，故M∩N＝[2，＋∞).4．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为 (

)A．2 B．4C．8 D．16B【解析】A＝{x∈N|1＜x＜4}＝{2，3}，故其子集个数为22＝4.5．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有_____人．7【解析】设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．因为总人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，得x＝45－38＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人．配套精练【解析】D2．设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪(∁UN)＝(

)A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8} D．UA【解析】由题得∁UN＝{2，4，8}，所以M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．【解析】A4．设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的子集个数为(

)A．2 B．3C．4 D．6C【解析】由题可知A＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，所以其子集分别是∅，{1}，{0}，{0，1}，共有4个子集．5．已知集合A＝{x|3x－1＞8}，B＝{x|x≤10}，则A∩B＝ (

)A．(10，＋∞) B．(3，10)C．(3，10] D．[10，＋∞)C【解析】如图，将集合A＝{x|3x－1＞8}＝{x|x＞3}和集合B标在数轴上，由图可知C正确．6．设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝

(

)A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM)C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN)A【解析】由题意可得M∪N＝{x|x＜2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x＞－1}，故B错误；M∩N＝{x|－1＜x＜1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，故C错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x＜1或x≥2}，故D错误．7．已知集合A＝{1，2}，B＝{a－1，a2＋2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为

(

)A．0 B．1C．2 D．3C【解析】因为A＝{1，2}，B＝{a－1，a2＋2}，且A∩B＝{1}，又a2＋2≠1，所以a－1＝1，即a＝2，此时B＝{1，6}，符合题意．8．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－2x＝0}的关系的Venn图是

(

)【解析】由x2－2x＝0，解得x＝2或x＝0，则N＝{0，2}．又M＝{x|0≤x≤2}，则N⊆M，故M和N对应的Venn图如B所示．B【解析】C10．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为

(

)A．36

B．35

C．34

D．33B【解析】如图，设两个项目都参加的有x人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B，则数学组共有5＋18－x＋x＋20－x＝43－x(x≥8)人，显然43－x≤35.【解析】对于A，A∪D＝{x|x≥－2}≠R，所以A错误；对于B，A∩B＝∅，所以B正确；对于C，因为A∪B＝{x|x≤－1或x＞0}，所以∁R(A∪B)＝{x|－1＜x≤0}

D，所以C正确；对于D，因为D＝{z|z≥－2}，所以∁RD＝{z|z＜－2}．因为B＝{y|y≤－1或y＞1}，所以∁RD

B，所以D正确．【答案】BCD12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(

)A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(∁PN)＝∅BC【解析】由M∩N＝N可得N⊆M.由M∪P＝P，可得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误．13．已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论正确的是

(

)A．M∩(∁RN)＝∅

B．M∪(∁RN)＝RC．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RMBD【解析】因为N∩(∁RM)＝∅，所以N⊆M.若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M，得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M，得(∁RN)⊇(∁RM)，故C错误，D正确．14．我们知道，如果集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B.例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．下列选项正确的是

(

)A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB)D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}【解析】【答案】BD对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3，8}，A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A－B＝∅，知A⊆B，B正确；对于C，由韦恩图知B－A如