行列式的计算

关于行列式的计算例如一、余子式与代数余子式第2页,共35页，星期六，2024年，5月在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第3页,共35页，星期六，2024年，5月第4页,共35页，星期六，2024年，5月引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第5页,共35页，星期六，2024年，5月证当位于第一行第一列时,下证该行列式的值为：第6页,共35页，星期六，2024年，5月从而再证一般情形,此时第7页,共35页，星期六，2024年，5月得第8页,共35页，星期六，2024年，5月，其中：第9页,共35页，星期六，2024年，5月又考虑到：即有：第10页,共35页，星期六，2024年，5月定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证二、行列式按行（列）展开法则第11页,共35页，星期六，2024年，5月第12页,共35页，星期六，2024年，5月例1第13页,共35页，星期六，2024年，5月第14页,共35页，星期六，2024年，5月

证用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式第15页,共35页，星期六，2024年，5月第16页,共35页，星期六，2024年，5月n-1阶范德蒙德行列式第17页,共35页，星期六，2024年，5月推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证第18页,共35页，星期六，2024年，5月同理相同第19页,共35页，星期六，2024年，5月关于代数余子式的重要性质第20页,共35页，星期六，2024年，5月例４计算行列式解第21页,共35页，星期六，2024年，5月第22页,共35页，星期六，2024年，5月例5计算(用递推法)解第23页,共35页，星期六，2024年，5月第24页,共35页，星期六，2024年，5月第25页,共35页，星期六，2024年，5月由此递推，得如此继续下去，可得第26页,共35页，星期六，2024年，5月第27页,共35页，星期六，2024年，5月评注第28页,共35页，星期六，2024年，5月例3证明第29页,共35页，星期六，2024年，5月证明第30页,共35页，星期六，2024年，5月从最后一列依次展开到第k+1列第31页,共35页，星期六，2024年，5月1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

三、小结第32页,共35页，星期六，2024年，5月计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．计算行列式的方法小结：1.用定义计算（证明）２.利用范德蒙行列式计算３.用化三角形行列式计算４.用降阶法计算５.用拆成行列式之和（积）计算６.用递推法计算７.用数学归纳法第33页,共35页，星期六，2024年，