2016北师大版八年数学上第一章勾股定理第一节探索勾股定理试题精练

八数上第一章勾股定理第一节探索勾股定理

一.选择题（共13小题）

I.（2012•广州）在RmARC中，/C=90。，AC=9,RC=1?.,则点C到AR的距离是（）

A.36B.12c.9D.373

-5251~

2.若三角形ABC中，ZA：ZB：NC=2：1：1,a,b,c分别是NA,ZB,NC的对边，则下列等式中，成立的

是（）

A.a2+b2=c2B.a2=2c2C.c2=2a2D.c2=2b2

3.（2012•梧州）如图，ZAOC=ZBOC,点P在OC上，PD_LOA于点D,PE_LOB于点E.若0D=8,OP=10,

A.5B.6C.7D.8

4.（2012•本溪）如图在直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线，垂足为D,交边

BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为（）

5.（2010•钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠，使点B与点A

重合，折痕为DE,则BE的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm

6.（2009•衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG,则

A.1B.JC.3D.2

11

7.（2009•滨州）已知△ABC中，AB=I7,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为（）

A.21B.15C.6D.以上答案都不对

8.（2008•清远）如图，在RSABC中，NACB=90。，CD_LAB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是（）

55

9.如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（）

10.张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m,接着又向正南走了40m,此时他离家的距离为（）

A.30mB.40mC.50mD.70m

II.如图在△ABC中NC=90。，AD平分NBAC交BC于D,若BC=64,且BD：CD=9：7,则点D到AB边的距

离为（）

A.18B.32C.28D.24

12.（201Q•河池）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面

积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边（x>y）,下列四个说法：®x2+y2=49,②x-

y=2,③2xy+4=49,④x+y=9.其中说法正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

13.（2（X）3•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是

由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13,小正方形的

面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为b,那么（a+b）2的值为（）

A.13B.19C.25D.169

二.填空题（共2小题）

14.（2009•长沙）如图，等腰△ABC中，AB=AC,AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm,则AD=

15.（2006•安徽）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边

长是.

三.解答题（共3小题）

16.请选择•个图形来证明勾股定理.（可以刍己选用其他图形进行证明）

17.下图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取

四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

abab

①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.由图可知：（1）是以为边长的正方形，（2）是以

为边长的正方形，（3）的四条边长都是，且每个角都是直角，所以（3）是以为边长

的正方形.

②图中（1）的面积,（2）的面积为,（3）的面积为.

③图中（1）（2）面积之和为.

④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关

系吗？

18.（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角

形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性.

问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究SI+S2与S3的关系（如图I）.

问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S4S”与S的关系（如图2）.

问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究SI+S2与S3的关系（如图3）.

八数上第一章勾股定理第一节探索勾股定理

参考答案与试题解析

一.选择题（共13小题）

1.（2012•广州）在RsABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是（）

A.世B._12C.JD.3>/3

-5251~

考点：勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积.

专题：计算题.

分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB

的长，然后过C作CD垂直于AB,由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边

AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC,AB及BC的长代入求出CD的长，即为C至ijAB

的距离.

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

根据勾股定理得：AB=^AC2+BC2=15,

过C作CD_LAB,交AB于点D,

又SAABC=-AC•BC=1AB*CD,

22

.Cn_AC-BC_9X12_36

-AB15~~

则点C到AB的距离是理.

5

故选A

点评：此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

2.若三隹形ABC中，ZA：ZB：ZC=2：1：1,a,b,c分别是NA,ZB,/C的对边，则下列等式中，成立的

是（）

A.a2+b2=c2B.a2=2c2C.c2=2a2D.c2=2b2

考点：等腰直角三角形；三角形内角和定理；勾股定理.

分析：本题可根据三角形内角和180。得出A、B、C三个角的大小.它们的比值即为边的比值，将三边代入三角形

的勾股定理中，即可得出答案.

解答：解：已知三角形ABC中，ZA：ZB：ZC=2：1：1,并且三角的和是180度，因而可以求得：ZA=90°,

ZB=zC=45°,

即这个三角形是等腰直角三角形，b=c,a是斜边.根据勾股定理得到：a2=b2+c2=2c2.

故选B.

点评：解决本题的关键是通过三角形的角的比值，求出角度，得到三角形是等腰直角三角形.

3.（2012•梧州）如图，NAOC:NBOC,点P在OC上，PD_LOA于点D,PEJLOB于点E.若OD=8,OP=IO,

A.5B.6C.7D.8

考点：隹平分线的性质：勾股定理.

分析：4PD±OA,OD=8,OP=10,利用勾股定理，即可求得PD的长，然后由角平分线的性质，可得PE=PD.

解答：解：;PD±OA,

NPDO=90°,

,.OD=8,OP=10,

*a•PD=Jop2一OD"，

.ZAOC=ZBOC,点P在OC卜..PD±OA,PE_LOB,

PE=PD=6.

故选B.

点评：此题考查了角平分线的性质与勾股定理.此题比较简单，注意角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

4.（2012•本溪）如图在直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线，垂足为D,交边

BC于点E,连接AE,则4ACE的周长为（）

考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理.

分析：首先连接AE,由在直角△ABC中，NBAO90。，AB=8,AC=6,利用勾股定理即可求得BC的长，又由

DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE,继而可得△ACE的周长为：

BC+AC.

解答：解：连接AE,

,/在RSABC中,ZBAC=90°,AB=8,AC=6,

「DE是AB边的垂直平分线，

AE=BE,

•••△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=IO+6=I6.

故选A.

D

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应

用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用.

5.（2010•钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠，使点B与点A

重合，折痕为DE,则BE的长为（）

AEB

A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm

考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理.

分析：中勾股定理求得AR的长,由题意知BE是AB的一半.

解答：解：二,两直角边AC=6cm、BC=8cm,

AB=7AC2+BC2=10cm,

由题意知，点E是AB的中点，故BE=1AB=5cm.

故选B.

点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对应边相等.

6.（2009•衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG,则

AG的长为（）

D_____________________r

B.43

2

考点：勾股定理；角平分线的性质；翻折变爽（折叠问题）.

分析：根据折叠的性质和角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算.

解答：解：由已知可得，△ADG^^ADG,BD=5

•.A*G=AG,A'D;AD=3,A'B=5・3=2,BG=4-A'G

在RSABG中，BG2=AX52+A，B2可得，A，G=g

则AG..

2

故选C.

点评：本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG合△ADG是解决的关键.

7.（2009♦滨州）已知△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为（）

A.21B.15C.6D.以上答案都不对

考点：勾股定理.

专题：分类讨论.

分析：高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论.分别依据勾股定理即

可求解.

解答：解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；

在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6.

当AD在三角形的内部时，BC=15+6=21；

当AD在三角形的外部时，BC=15-6=9.则BC的长是21或9.

故选D.

点评：当涉及到有关高的题目时,注意由于高的位置可能在二角形的内部,也可能在二角形的外部,所以要注意

考虑多种情况.

8.（2008•清远）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是（）

55

考点：勾股定理.

分析：根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可.

解答：解：BC=8,AC=6,

AB=10,

■/SAABC=—X6X8=—xIOxCD,

22

5

故选C.

点评：此题运用了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用.

9.如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（）

A.5cm2B.3cm2C.4cm2D.6cm2

考点：几何体的表面积；勾股定理.

分析：根据勾股定理先求出斜边的长度，再艰据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积.

解答'解：..・日彳=5厘米，

带阴影的矩形面积=5x1=5平方厘米.

故选A.

点评：本题考查了勾股定理和长方形的面积公式.

10.张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m,接着又向正南走了40m,此时他离家的距离为（）

A.30mB.40mC.50mD.70m

考点：正数和负数；勾股定理.

专题：计算题.

分析：根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离.

解答：解：7302+402=5Om,

故选c.

点评：本题考查了正数和负数的意义以及勾股定理的运用，题目比较简单.

11.如图在△ABC中N090。，AD平分NBAC交BC于D,若BC=64,且BD：CD=9：7,则点D到AB边的距

离为（）

A.18B.32C.28D.24

考点：隹平分线的性质：勾股定理.

分析：过D作DE_LAB于E,根据角平分线的性质可以得到DE=CD,而根据已知条件可以求出CD的长，也就求

出了DE的长.

解答：解：如图，过D作DE_LAB于E,

,/AD平分NBAC交BUTD,而NC=90。，

CD=DE»

/BC=64,且BD：CD=9：7,

.-.CD=64X_L=28,

9+7

..DE=28,

则点D到AB边的距离为28.

故选C.

点评：此题主要利用角平分线的性质解题，把求则点D到AB的距离转化成求CD的长.

12.（2010•河池）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面

积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边（x>y）,下列四个说法：®x24-y2=49,②x・

y=2,③2xy+4=49,④x+y=9.其中说法正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

考点：勾股定理.

分析：大正方形的面积是49,则其边长是7,显然，利用勾股定理可得①x?+y2=49；

小正方形的面积是4,则其边长是2,根据图可发现y+2=x,即②x-y=2；

还可以得出四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4x』xy+4=49,化简得③2xy+4=49；

其中④x+y2/次，故不成立.

解答：解：①大正方形的面积是49,则其边长是7,显然，利用勾股定理可得/+y2=49,故选项①正确；

②小正方形的面积是4,则其边长是2,根据图可发现y+2=x,即x-y=2,故选项②正确；

③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积二大正方形的面积，即4x,xy+4=49,化简得

2xy+4=49,故选项③正确：

@1X+y=49,则x+yf/f,故此选项不正确.

2xy+4=49

故选B.

点评：本题利用了勾股定理、面积分割法等知识.

13.（2003•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是

由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13,小正方形的

面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为b,那么（a+b）2的值为（）

A.13B.19C.25D.169

考点：勾股定理.

分析：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13,2ab即

匹个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2.

解答：解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13-（13-1）=25.

故选C.

点评：注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab,还要注意图形的面积和a,b之间的关系.

二.填空题（共2小题）

14.（2009•长沙）如图，等腰△ABC中，AB=AC,AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm,则AD=4cm.

考点：勾股定理.

分析：先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可.

解答：解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD」BC=1x6=3cm,在直角三角形ABD中，

22

中勾股定理得：AR2=RD2+AD2.

所以，_32=4cm.

点评：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理.关键要熟知等腰三角形的三线合一可得.

15.（2006•安徽）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边

长是一/_・

考点：勾股定理；直角三角形全等的判定.

分析：两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一

锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2,1,正方形的边长组合到直角三角形

内得正方形边长为序子二旗.

解答：解：如图，

•.•四边形ABCD是正方形，

AB=CD,ZABM+ZCBN=90°,

而AM_LMN,CN±BN,

：ZBAM=ZCBN,ZAMB=ZCNB=90%

△AMB合△BCN,

.-.BM=CN,

•，-AB为亚，二历

D

点评：本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用.

三.解答题（共3小题）

16.请选择•个图形来证明勾股定理.（可以刍己选用其他图形进行证明）

考点：勾股定理的证明.

专题：证明题；开放型.

分析：选第一个图形证明，都来表示中间正方形的面积.有两种表示方法：直接表示正方形的面积；用大正方形

的面积・4个全等的直角三角形的面积.

解答：解：•••外部是四个全等的直角三角形，

・••中间的四边形为正方形

正方形的面积土2,

正方形的面积=（a+b）2-4x—xab=a2+b2

2

a2+b2=c2

点评：用构图法来解释勾股定理，通常情况下是运用不同的方式来表示面积得到的结果.

17.下图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取

四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.由图可知：（1）是以a为边长的正方形,（2）是以b为边长的

正方形，（3）的四条边长都是c,且每个痢都是直角，所以（3）是以」为边长的正方形.

②图中（1）的面积a?,（2）的面积为b?,（3）的面积为c2.

③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.

④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关

索吗？

考点：勾股定理的证明.

分析：根据图形可以直接得出各正方形的边长，进而得出各正方形面积，再通过两个组合正方形的面积之间相等

的关系即可证明勾股定理.

解答：解：①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.由图可知：（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b

为边长的正方形，

（3）的四条边长都是c,且每个角都是宜角，所以（3）是以c为边长的正方形.

②图中（1）的面积a?,（2）的面积为b2,（3）的面积为