福建省莆田市第七中学2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试题

20172018高二（下）数学（理科）期中试卷参考公式：线性回归方程中系数计算公式，，班级___________姓名___________考室_______ 班级___________姓名___________考室_______一、填空题(每小题5分，共40分)1．用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①制签；②抽签；③将签摇匀；④编号；⑤将抽取的号码对应的个体取出，组成样本．这些步骤的正确顺序为________．解析：由抽签法的步骤知，正确顺序为④①③②⑤.答案：④①③②⑤2．一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是___________________________________________________．95339522001874720018387958693281768026928280842539[来源:Z.xx.90846079802436598738820753893596352379180598900735464062988054972056951574800832164670508067721642792031890343384682687232148299708060471897634930213071597305500822237177910193204982965926946639679860解析：所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次．答案：18，00，38，58，32，26，25，393.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是91和91.1254．某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图，3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．[答案]600[解析]在该次数学考试中成绩小于60分的共有3组，频率之和为0.02＋0.06＋0.12＝0.2，所以在该次数学考试中成绩小于60分的学生数大约为3000×0.2＝600.5．已知f(x)＝sinx－cosx，则f′()等于6.物体的运动方程是s=－t3＋2t2－5,则物体在t=3时的瞬时速度为_3_____.7．采用系统抽样从含有8000个个体的总体(编号为0000，0001，…，7999)中抽取一个容量为50的样本，则最后一段的编号为________，已知最后一个入样编号是7894，则开头5个入样编号是__________________．解析：因为8000÷50＝160，所以最后一段的编号为最后160个编号．从7840到7999共160个编号，从7840到7894共55个数，所以从0000起第55个编号应为0054，然后逐个加上160得，0214，0374，0534，0694.答案：7840～79990054，0214，0374，0534，0694[来源:学8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.[来源:ZXXK]零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．58.5二、简答题9．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．2x－y＋1＝010、求下列函数的导数：（1）y＝x2sinx(2)y＝xsin2x；（1）答案2xsinx＋x2cosx（2）sin2x＋2xcos2x11.已知函数则的单调增区间为_________．12．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是____．解析易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2.∴所求直线的斜率k＝2.∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.答案2x－y＋4＝013．求过曲线y＝ex上的点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．解y′＝ex，∴曲线在点P处的切线的斜率为e1＝e.∴过P点与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为－.∴所求方程为y－e＝－(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.14．某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数见下表：类别第一车间第二车间第三车间女工173100y男工177xz已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？解：(1)由eq\f(x,1000)＝0.15，得x＝150.(2)因为第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，所以第三车间的工人数是1000－350－250＝400.设应从第三车间抽取m名工人，则由eq\f(m,400)＝eq\f(50,1000)，得m＝20.所以应在第三车间抽取20名工人．15．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x(℃)171382月销售量y(件)24334055由表中数据算出线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))≈－2.气象部门预测一个月的平均气温均为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量均为________件．[答案]46[解析]eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝38，回归直线必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，则有38＝－2×10＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，所以回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝2×6＋58＝46.三、解答题16(12分)．某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15,25)a0.5第2组[25,35)18x第3组[35,45)[来源:]b0.9第4组[45,55)90.36第5组[55,65]3y(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人？[解析](1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为eq\f(9,0.36)＝25，再结合频率分布直方图可知n＝eq\f(25,0.025×10)＝100，∴a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝eq\f(18,20)＝0.9，y＝eq\f(3,15)＝0.2.(2)第2,3,4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：eq\f(18,54)×6＝2(人)；第3组：eq\f(27,54)×6＝3(人)；第4组：eq\f(9,54)×6＝1(人)．17.（12分）已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.(1)求a和b；(2)试确定函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx，∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1＝－4，,f′1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a＋b＝－4，,1＋2a＋b＝0.))解得a＝1，b＝－3.(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－3x.f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．由f′(x)>0得x>1或x<－3；由f′(x)<0得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．18.（13分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值与最小值．18.解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－2，,2a＋b＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4，))∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))1f′(x)＋0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(95,27)，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.19（13分）某研究机构对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3﹡﹡﹡68由于某些原因，识图能力的一个数据丢失，但已知识图能力样本平均值是5.5.（Ⅰ）求丢失的数据；（Ⅱ）经过分析，知道记忆能力和识图能力之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（III）若某一学生记忆能力值为12，请你预测他的识图能力值.19.（13分）解：（Ⅰ）设丢失的数据为，依题意得，解得，即丢失的数据值是5.（2分）（Ⅱ）由表中的数据得：，，（4分），（5分）.（6分），（8分），（9分）所以所求线性回归方程为.（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当x＝12时，（11分）即记忆能力值为12，预测他的识图能力值是9.5．（12分）20（13分）.设函数f(x)=tx2+2t2x+t−1(x∈R,t>0).(1)求f

(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<−2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围。(Ⅰ)∵f(x)=t(x+t)2−t3+t−1(x∈R,t>0)