2019-2020学年新教材高中数学第五章任意角学案新人教A版必修第一册

5.1.1任意角

区课前自主预习

学习目标

1.了解任意角的概念及角的分类.

2.理解象限角的概念.

3.理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示.

要点梳理

i.任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

(2)角的表示

如图，射线的端点是圆心。，它从起始位置04按逆嵯t方向旋转到终止位置冰，形成

一个角a,射线的，8分别是角a的始边和终边.

“角。”或“/。”可以简记成"。.

(3)角的分类

类型定义图示

一条射线绕其端点按逆

正角

时针方向旋转形成的角

1----------------A

0_________

按顺时针方向旋转形成

负角

的角

如果一条射线没有作任

零角何旋转，就称它形成了一oA(B)

个零角

(4)相等角与相反角

①设角a由射线处绕端点。旋转而成，角£由射线0'/绕端点。旋转而成.如

果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称a=B.

②我们把射线处绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角

a的相反角记为一a.

③设£是任意两个角.我们规定，把角。的终边旋转角£,这时终边所对应的

角是a+2.

④角的减法可以转化为角的加法.

2.象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与度点重合,角的始边与王轴的非负半轴重合，

那么，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为

这个角不属于任何一个象限.

3.终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S={£|£=360°,

ACZ},即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角。与整数个周角的和.

温馨提示：对终边相同的角的理解

(1)。为任意角，“AGZ”这一条件不能漏.

(2)A•360°与a中间用“+”连接，如％•360°—。可理解成A•360°+(—a).

1.在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°,

这种说法是否正确？

［答案］不正确.在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是

按顺时针方向旋转的，故它形成的角为一90°

2.初中我们学过对顶角相等.依据现在的知识试判断一下图中角。，£是否相等?

［答案］不相等.角。为逆时针方向形成的角，。为正角；角力为顺时针方向形成

的角，£为负角

3.判断正误(正确的打，错误的打“X”)

(1)当角的始边和终边确定后，这个角就确定了.()

⑵一30°是第四象限角.()

(3)钝角是第二象限的角.()

(4)终边相同的角一定相等.()

(5)第一象限的角是锐角.()

［答案］⑴X(2)V(3)V(4)X(5)X

题型一任意角的概念

【典例1】下列命题正确的是()

A.终边与始边重合的角是零角

B.终边和始边都相同的两个角一定相等

C.在90°W£<180°范围内的角£不一定是钝角

D.小于90。的角是锐角

［思路导引］对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小.

［解析］终边与始边重合的角还可能是360°,720。，…，故A错；终边和始边都相

同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与一330°,故B错；由于在90°W£<180°

范围内的角月包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°,也可

以是负角，故D错误.

［答案］C

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与

终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明,

而判断结论不正确只需举一个反例即可.

［针对训练］

1.若将钟表拨慢10分钟，则时针转了度，分针转了度.

［解析］由题意可知，时针按逆时针方向转了10X黑，;=5°,分针按逆时针方向转

1ZAOU

~360°。

了10X—-=60°.

60

［答案］5°60°

题型二终边相同的角的表示

【典例2】已知角a=2020°.

(1)把a改写成衣•360°+£(4WZ,0°W£〈360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求。，使。与。终边相同，且一360°W，〈720°.

［思路导引］解题关键是理解与角。终边相同的角的表示形式.

［解］(1)由2020°除以360°,得商为5,余数为220°.

...取4=5,£=220°,a=5X360°+220°.

又£=220°是第三象限角，.。为第三象限角.

(2)与2020°终边相同的角为

A・360°+2020°(A-eZ).

令一360°WA・360°+2020°<720°(AGZ),

解得一6罟WK—3^(A£Z).

ioUlo

所以4=—6,—5,—4.

将衣的值代入4・360°+2020°中，得角。的值为一140°,220°,580°.

|名师提醒A

(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法

先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出衣的值.

(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤

①写出在0°~360°范围内相应的角；

②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；

③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁.

［针对训练］

［解］终边落在射线y=/x(x>0)上的角的集合是6={。1。=60°+衣・360°,kJ

Z},终边落在射线尸/x(xWO)上的角的集合是S={。：。=240°+A-3600,AGZ),

于是终边落在直线尸4x上的角的集合是S={。|a=60°+公360°,A《Z}U{a|a

=240°+k>360°,4GZ}={a|a=60°+2A-180°,4GZ}U{a|a=60°+(2A+

1)•180°,ASZ}={a|a=60°+/?-180°,n&Z}.

题型三象限角的判断

【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各

角，并指出它们是第凡象限角.

(1)-75°；(2)855°；(3)-510°.

［思路导引］作出图形，根据象限角的定义确定.

［解］作出各角，其对应的终边如图所示.

(1)由图①可知一75°是第四象限角.

(2)由图②可知855°是第二象限角.

(3)由图③可知一510°是第三象限角.

|名师提醒A

象限角的判断方法

(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第儿象

限角；

(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0。〜360°范围内，转化后的角在第几象限，

此角就是第几象限角.

［针对训练］

3.已知a是第二象限的角，则180°-a是第象限的角.

［解析］由a是第二象限的角可得90°+4・360。<</<180°+4・360°々GZ),则

180°-(180°+k>360°)<180°一。<180°-(90°+k-360°)(AGZ),即一

k-360°<180°-<90°-k-360°(AeZ),所以180°一。是第一象限的角.

［答案］一

a

题型四角了，〃a("WN")所在象限的确定

a

【典例4】若。是第二象限角，则万是第几象限的角？

［思路导引］已知角。是第几象限角，判断5所在象限，主要方法是解不等式并对4

进行分类讨论，考查角的终边位置.

［解］•••0是第二象限角，

A90°+A*360°<4<180°+4・360°(AeZ),

a

A45°+A-180°<y<90°+A*180°UeZ).

解法一：①当A=2〃(〃£Z)时，

aa

45°4-/7-360°<y<90°+/?-360°(〃GZ),即万是第一象限角;

aa

②当*=2"+l("GZ)时,225°+〃•360°<y<270°+/?•360°(〃GZ),即万是第三

象限角.

a

故万是第一或第三象限角.

解法二：：45°+k-1800表示终边为一、三象限角平分线的角，90°+k-180°(k

WZ)表示终边为y轴的角，

.•.45°+A-180°<y<90°+A-180°(4GZ)表示如图中阴影部分图形.即三•是第一或

第三象限角.

［变式］(1)若本例条件不变，求角2a的终边的位置.

a

(2)若本例中的。改为第一象限角，则2%万分别是第几象限角？

［解］(1)；。是第二象限角，

.”•360°+90°<a<k>360°+180°(AGZ).

：.k-720°+180°<2<z•720°+360°(AeZ).

二角2a的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.

(2)因为a是第一象限角，

所以A•360°<a<90°+k>360°,%GZ.

所以2A•360°<2a<180°+24•360°,k^Z.

所以2a是第一或第二象限角，或是终边落在y轴的正半轴上的角.

a

同理，k>180°<y<45°+4780°,k^Z.

当女为偶数时，券为第一象限角，

a

当在为奇数时，万为第三象限角.

|名师提醒A

分角、倍角所在象限的判定思路

(1)已知角。终边所在的象限，确定?终边所在的象限用分类讨论法，要对4的取值分

以下几种情况进行讨论：女被"整除；衣被〃除余1;4被〃除余2,…，A被〃除余〃一1.

然后方可下结论.

(2)已知角。终边所在的象限，确定〃。终边所在的象限，可依据角。的范围求出

的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉〃。的终边在坐标轴上的情况.

［针对训练］

a

4.已知a是第一象限角，则角彳的终边可能落在_______.(填写所有正确的序号)

①第一象限②第二象限③第三象限④第四象限

［解析］•••。是第一象限角，

：.k>360°<。<人360°+90°,AGZ,

•3600<y<^•360°+30°,AcZ.

当k=3in,zzz£Z时，in<360°•360°+30°,

•••角。的终边落在第一象限.

当％=30+1,勿GZ时，/»•360°+120°<-^-</n•360°+150°,

a

•••角k的终边落在第二象限.

当"=3/力+2,时，360°+240°•360。+270°,

•••角。的终边落在第三象限，故选①②③.

U

［答案］①②③

课堂归纳小结

1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定

义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝

对值大小”.

2.把任意角化为360°々GZ,且0°<。<360°）的形

式，关键是确定〃，可以用观察法（。的绝对值较小），也可以用除法.

3.已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0°〜360°

内符合条件的角的范围，最后都加上幺•360。，得到所求.

®随堂巩固验收

1.下列说法正确的是（）

A.三角形的内角一定是第一、二象限角

B.钝角不一定是第二象限角

C.终边与始边重合的角是零角

D.钟表的时针旋转而成的角是负角

［解析］A错，若一内角为90。，则不属于任何象限；B错，钝角一定是第二象限角：

C错，若角的终边作了旋转，则不是零角；D对.

［答案］D

2.-215°是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角，故一215°也是第二

象限角，选B.

［答案］B

a

3.已知。为第三象限角，则万所在的象限是（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

［解析］由于八360°+180°<a<k-360°+270°,k6Z,

得T,360。

+90°•360°+135°,AGZ.

当衣为偶数时，］为第二象限角;

当在为奇数时，万为第四象限角.

［答案］D

4.将一885°化为。十八360°(0°W。〈360°,AeZ)的形式是.

［解析］因为一885°4-360°=-3-195°,且0°Wa<360°,所以在=-3,a=

195°,故一885°=195°+(—3)•360°.

［答案］195°+(-3)•360°

5.在角的集合｛。|。=公90°+45°,AGZ｝中，

(1)有几种终边不相同的角？

(2)若一360°<。<360°,则集合中的。共有多少个？

［解］(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45。、135。、-

135°、-45°终边相同的角.

97

(2)令一360°<♦•90°+45°<360°,得一手卜手

又■:kGZ,k——4,一3,—2,—1,0,1,2,3»

满足条件的角共有8个.

课后作业(三十七)

复习巩固

一、选择题

1.下列是第三象限角的是()

A.-110°B.-210°

C.80°D.-13°

［解析］一110°是第三象限角，一210°是第二象限角，80°是第一象限角，一13°是

第四象限角.故选A.

［答案］A

2.与600°角终边相同的角可表示为()

A.360°+220°(AGZ)

B.A--360°+240°(AeZ)

C.k•360°+60°UeZ)

D.A-360°+260°(AeZ)

［解析］与600°终边相同的角。=〃・360°+600°=n♦360°+360°+240°=｛n

+1)•360°+240°=4・360°+240°,n&l,AeZ.

［答案］B

3.设/=｛小于90°的角｝,8=｛锐角｝,仁｛第一象限角｝,〃=｛小于90°而不小于0°

的角｝,那么有()

K.BCAB.BAC

C.D（40。D.CCD^B

［解析］显然第一象限角不是都小于90°,且小于90°的角不都在第一象限，故A,B

错；0°不属于任何象限，故C错；锐角为小于90°而大于0。的角，.•.CD片8,选D.

［答案］D

4.终边在直线y=—x上的所有角的集合是（）

A.{a|0=4•360°+135°,AeZ}

B.{a|a=A«360°-45°,k&Z}

C.{<z|a^k>180°+225°,〃GZ}

D.{a|a=k-180°-45°,k&l}

［解析］因为直线尸一x为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为

k-360°-45°=2k-180°-45°,AGZ；终边落到第二象限可表示为k-360°-180°

—45°=（2/-1）・180°-45°,AeZ,综上可得终边在直线y=-x上的所有角的集合为

{aa=k-1800-45°,k&Z}.

［答案］D

5.给出下列四个命题：①一75°角是第四象限角；②225。角是第三象限角；③475°

角是第二象限角：④一315°角是第一象限角，其中真命题有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［解析］①正确；②正确；③中475°=360。+115°,因为115°为第二象限角，所

以475°也为第二象限角，正确；④中一315°=-360°+45°,因为45°为第一象限角，

所以一315°也为第一象限角，正确.

［答案］D

二、填空题

6.50。角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角

是.

［解析］顺时针方向旋转3周转了一（3X360°）=-1080°,

又50°+（-1080°）=-1030°,故所得的角为一1030°.

［答案］一1030°

7.已知角a=-3000°,则与角。终边相同的最小正角是一

［解析］设与角。终边相同的角为£,

则£=一3000°+A-360°,AGZ,

又因为B为最小正角，故取4=9,

贝IJ£=-3000°+360°X9=240".

［答案］240°

8.若角a与8的终边在一条直线上，则a与8的关系是.

［解析］因为。与£的终边在一条直线上，所以a与£相差180°的整数倍.

［答案］。=尸+八180°,AeZ

三、解答题

9.在0。〜360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角.

(1)-120°；(2)660°；(3)-950°08'.

［解］⑴；-120°=240°-360°,

在0°〜360°范围内，与一120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角.

(2)7660°=300°+360°,

.•.在0°〜360。范围内，与660°角终边相同的角是300。角，它是第四象限的角.

(3)V-950°08(=129°52'-3X360°,

...在0°〜360°范围内，与一950°08'终边相同的角是129°52',它是第二象限的

10.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

(1)终边落在射线应上；

(2)终边落在直线勿上；

(3)终边落在阴影区域内(含边界).

［解］(1)终边落在射线加上的角的集合为

S={a|a=60°+k-360°,AGZ}.

(2)终边落在直线如上的角的集合为

S={。|a=30°+k-180°,AGZ}.

(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为

$={。！30°+/・180°WaW60°+A-180°,AGZ}.

综合运用

11.若角。，万的终边相同，则。一£的终边在()

A.x轴的非负半轴B.y轴的非负半轴

C.X轴的非正半轴D.y轴的非正半轴

［解析］二•角。，尸终边相同，；.。=〃•360°+£(ACZ),。一£=A•360°(k

eZ),故。一月的终边在x轴的非负半轴上.

［答案］A

12.已知角2a的终边在x轴的上方，那么。是()