9.1计数原理与排列组合

9.1计数原理与排列组合课标要求精细考点素养达成1.理解两个计数原理(分类加法计数原理与分步乘法计数原理)分类加法计数原理及其应用通过应用两个计数原理,提升学生的数学运算素养分步乘法计数原理及其应用2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个计数原理解决实际问题两个计数原理的综合应用通过应用两个计数原理解决实际问题,提升学生的抽象思维、运算求解和数学建模核心素养1.(概念辨析)(多选)下列结论正确的是().A.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同B.在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事C.在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事情,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成D.如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干个不同方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事情共有m1m2m3…mn种方法2.(对接教材)如图,已知从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通,从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通,则从甲地到丙地共有种不同走法.

3.(多选)下列等式正确的是().A.(n+1)Anm=An+1m+1 B.C52+C63=20C.n4.(易错自纠)书架的第1层放有4本不同的语文书,第2层放有5本不同的数学书,第3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书,不同的取法种数为,从第1,2,3层分别各取1本书,不同的取法种数为.

5.(真题演练)(2023·全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).

两个基本计数原理典例1(1)共有10级台阶,某人一步可跨一级台阶,也可跨两级台阶或三级台阶,则他恰好6步上完台阶的方法种数是().A.30 B.90 C.75 D.60(2)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法有().A.24种 B.4种C.64种 D.81种分类标准是运用分类加法计数原理的难点和关键点(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类.(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.(3)分类时除了不能交叉重复外,也不能有遗漏.训练1(1)某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲,并要将这三个不同节目添入节目单,且不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式有种.

(2)从1,2,3,4这4个数字中任取2个不同的数,则可组成不同的两位数有().A.9个 B.12个C.15个 D.18个排列组合典例2(1)有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.①选5人排成一排;②排成前后两排,前排3人,后排4人;③全体排成一排,女生必须站在一起;④全体排成一排,男生互不相邻;⑤全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;⑥全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边;⑦全体排成一排,甲总在乙的前面.(2)从7名男生、5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的选法总数.①A,B必须当选;②A,B必不当选;③A,B至多有一人当选;④选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作,但体育委员必须由男生担任,班长必须由女生担任.求解排列应用问题的六种主要方法:(1)直接法,把符合条件的排列数直接列式计算;(2)优先法,优先安排特殊元素或特殊位置;(3)捆绑法,把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列;(4)插空法,对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;(5)定序问题除法处理,对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列;(6)间接法,正难则反、等价转化的方法.组合问题的常见题型:一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等.它的解题思路:①分清问题是否为组合问题;②对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.训练2(1)(捆绑法)现有8个节目,5个节目由大人表演,3个节目由孩子表演,要求孩子的节目要排在一起表演,有种不同的表演顺序.

(2)(插空法)某班级组织学生看话剧,总共有4位教师和8位学生,一排座位中,有12个座位,要求4位教师必须坐在8位学生中间,并且4位教师不可以坐在一起,总共有种不同的坐法.

(3)(优选法)将红色、橙色、黄色、绿色、蓝色、紫色6个小球排成一列,要求红色的小球不能放在两端,一共有种不同的排法.

(4)(倍缩法)将7颗棋子排成一列,要求甲、乙、丙3颗棋子的顺序保持不变,则一共有种不同的排法.

(5)(环排问题)8人围桌而坐,共有种坐法.

(6)(定序法)3名学生和甲、乙、丙3位老师站成一排合影,要求甲、乙、丙从左到右按顺序站立(可以相邻也可以不相邻),一共有种站法.(用数字作答)

训练3(1)计算:4A84+2A85A88-A95;(2)已知1C5m1综合应用典例36本不同的书,分为3组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?(1)每组2本;(2)一组1本,一组2本,一组3本;(3)一组4本,另外两组各1本;(4)分给甲、乙、丙3人,甲2本、乙2本、丙2本;(5)分给甲、乙、丙3人,甲1本、乙2本、丙3本;(6)分给甲、乙、丙3人,甲4本、乙1本、丙1本.通过以上6个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般结论:结论1:对于整体均分问题,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要除以An结论2:对于部分均分问题,解题时要注意重复次数是均分分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时要除以Am结论3:对于不等分组,只需要先分组后排列,注意分组时任何组中元素个数都不相等,所以不需要除以全排列数.训练4(2023·广东揭阳统考模拟预测)(多选)为了做好亚运会秩序维护工作,需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个赛区开展工作,则下列选项正确的是().A.共有625种分配方法B.共有1024种分配方法C.若每个赛区至少分配一名志愿者,则有240种分配方法D.若每个赛区至少分配一名志愿者,则有480种分配方法典例4汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.“赵爽弦图”如图所示,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成,现有5种不同的颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有种.(用数字作答)

训练5如图,准备用4种不同的颜色给a,b,c,d,e五块区域涂色,要求每个区域随机用一种颜色涂色,且相邻区域(有公共边的)所涂颜色不能相同,则不同涂色方法共有种.

隔板法与选板法对于相同元素的“分配”问题,常用方法是采用“隔板法”.典例(1)12个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有1个小球的不同放法有多少种?(2)12个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子中,盒子可空,问不同的放法有多少种?(3)12个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的放法有多少种?“隔板法与选板法”解决小球入盒问题,分为三类题型:1.隔板法:“1”型,即每个编号不同的盒子至少1个球.一般地,将n个相同小球分配到m(m≤n,m,n∈N*)个不同盒子,每个盒子至少1个球,则共有Cn2.选板法:“0”型,即盒子可以没有球.一般地,将n个相同小球分配到m(m≤n,m,n∈N*)个不同盒子,盒子可空,则共有Cn3.“有条件型”根据实际题目转化为“1”型.训练(1)方程x1+x2+x3+x4=10的正整数解有多少组?(2)方程x1+x2+x3+x4=10的非负整数解有多少组?(3)方程2x1+x2+x3+…+x10=3的非负整数解有多少组? 一、单选题1.已知A2n3A.4 B.5C.6 D.72.(2024·江苏扬州期初考试)某中学五四颁奖典礼上有A,B,C,D,E,F共6个节日,在排演出顺序时,要求A,B相邻,C,D不相邻,则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为().A.288种 B.144种 C.72种 D.36种3.(2023·江苏连云港模拟预测)某航母编队将进行一次编队配置科学演练,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左右,每侧2艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为().A.16 B.32C.36 D.644.(2023·江苏盐城统考三模)为落实立德树人的根本任务,践行五育并举,某学校开设A,B,C三门德育校本课程,现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习,每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参加,则不同的报名方法有().A.54种 B.240种C.150种 D.60种二、多选题5.下列说法正确的是().A.从3名射击运动员、2名游泳运动员和5名跳水运动员中选1名作为运动员代表发言,有10种选法B.将3名同学分配到3个班级,每班1人,有9种不同的方案C.将3名同学分配到3个班级,有27种不同的方案D.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,则有35种不同的方案6.有4名男生、3名女生排队照相,7个人排成一排,则下列说法正确的有().A.如果4名男生必须连排在一起,那么有720种不同排法B.如果3名女生必须连排在一起,那么有576种不同排法C.如果女生不能站在两端,那么有1440种不同排法D.如果3名女生中任意2名均不能排在一起,那么有1440种不同排法三、填空题7.(2023·江苏镇江校考二模)某公园有如图所示A至H共8个座位,现有2个男孩2个女孩要坐下休息,要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法总数为.

ABCDEFGH8.在生物学研究过程中,常用高倍显微镜观察生物体细胞.已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞,获得显微镜下局部的叶片细胞图片,如图所示,为了方便研究,现在利用甲、乙、丙、丁4种不同的试剂对A,B,C,D,E,F这6个细胞进行染色,其中相邻的细胞不能用同种试剂染色,且甲试剂不能对C细胞染色,则共有种不同的染色方法.(用数字作答)

四、解答题9.阳春三月,草长莺飞;丝绦拂堤,尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,三位母亲互不相邻照顾孩子;3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男孩打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有多少种.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项竞赛,决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩,组织者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析,这5名同学的名次排列共有多少种不同的情况?11.《数术记遗》是我国古代的一部数学著作,该书记述了筹算、太乙算、两仪算、三才