2.3函数的奇偶性周期性课件高三数学一轮复习

§2.3函数的奇偶性、周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且

，那么函数f(x)就叫做偶函数关于

对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且

，那么函数f(x)就叫做奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点(1)定义法：流程如下二。判断函数奇偶性的方法判断定义域是否关于原点对称是否非奇非偶计算f(-x)判断f(x)与f(-x)的关系相等互为相反数偶函数奇函数[例1]

判断下列函数的奇偶性.偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数既不相等也不互为相反数(2)图像法

√基本初等函数的奇偶性：奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数偶函数b≠0b=0b=0b≠0n为奇数n为偶数例1.奇函数偶函数y=b

(3）性质法若f(x)，g(x)在其公共定义域上具有奇偶性，则：奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数和奇函数

偶函数差奇函数

偶函数积偶函数奇函数偶函数商偶函数奇函数偶函数求导：1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(

)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(

)(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.(

)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(

)√×××题型一函数奇偶性的判断例1

(1)(多选)下列函数是奇函数的是√√(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)奇跟踪训练1

(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是√题型一函数奇偶性的判断

√√√3.题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________.－ex＋2x＋1命题点3

已知函数的奇偶性求参数题型二函数奇偶性的应用

奇函数的中值模型题型二函数奇偶性的应用D例2

(1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2025,2025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于A.0 B.2 C.1 D.3√奇函数的中值模型题型二函数奇偶性的应用A例(2)B例(3)命题点2利用奇偶性解不等式例3

(2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为A.(－∞，－1)∪(2,5) B.(－∞，－1)∪(0,5)C.(－1,0)∪(2,5) D.(－1,0)∪(5，＋∞)√题型二函数奇偶性的应用利用单调性与奇偶性求解函数不等式

题型二函数奇偶性的应用

利用单调性与奇偶性求解函数不等式

题型二函数奇偶性的应用

利用单调性与奇偶性求解函数不等式

题型二函数奇偶性的应用

利用单调性与奇偶性求解函数不等式

题型二函数奇偶性的应用

抽象函数抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性.(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；⑤正弦函数f(x)＝sinx，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；典例

(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是A.f(x)为奇函数B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)D.f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023√√(2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是A.f(0)＝1B.函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称C.g(1)＋g(－1)＝0D.若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝1√跟踪训练2

(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于A.e B.－e C.e＋1 D.－e－1√(2)若f(x)＝sinx＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是√√

题型三：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性

题型三：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性2.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数2.关于函数周期性的几个常见结论(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|.推广：若f(x+a)+f(x)=m,则的周期是T=2|a|(3)若f(x+a)=

,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是T=2|a|.推广：若f(x+a)f(x)=m,（m为非零常数）则的周期是T=2|a|.题型三函数的周期性√(2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是A.2024 B.2023 C.1 D.0√跟踪训练3

(多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则A.f(2)＝0B.f(x＋4)为偶函数C.f(x)为周期函数D.f(x)的图象关于点(－4,0)对称√√√

题型十五：类周期与倍增函数

题型十五：类周期与倍增函数

题型十五：类周期与倍增函数

题型十五：类周期与倍增函数课时精练12345678910111213141516一、单项选择题1.(2023·宁波统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2024)等于A.－1 B.0 C.1 D.2√因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2024)＝f(0)＝0.12345678910111213141516123456789101112131415162.(2023·全国乙卷)已知f(x)＝

是偶函数，则a等于A.－2 B.－1 C.1 D.2√12345678910111213141516又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.123456789101112131415163.(2023·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(－1)<f(0)<f(－6.5)B.f(－6.5)<f(0)<f(－1)C.f(－1)<f(－6.5)<f(0)D.f(0)<f(－6.5)<f(－1)√12345678910111213141516∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1).123456789101112131415164.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝

，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1√f(x)＝

＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.123456789101112131415165.(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于√12345678910111213141516f(x)＋g(x)＝2x，

①则f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，

②1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，因为f(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，展开可得3m2－2m－1>0，12345678910111213141516二、多项选择题7.(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是A.f(x)＝x－sinxB.f(x)＝x2cosxC.f(x)＝x＋x3D.f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)√√12345678910111213141516对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误；对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确；对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，12345678910111213141516所以f(x)为(－2,2)上的奇函数，123456789101112131415168.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足A.f(0)＝0B.y＝f(x)为奇函数C.f(x)在R上单调递增D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}√√√12345678910111213141516由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数，故B正确；对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，因为x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；12345678910111213141516对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2，解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}，故D正确.12345678910111213141516三、填空题9.(2024·太原模拟)写出一个最小正周期为3的偶函数___________________________.不唯一)12345678910111213141516由最小正周期为3的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acosωx＋b(A≠0)，满足f(－x)＝Acosωx＋b＝f(x)，即是偶函数.12345678910111213141516＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.21234567891011121314151611.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2023)＋f(2024)＝_______.－212345678910111213141516因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)，对比以上两式得f(x)＝－f(x＋4)，从而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，即函数f(x)是一个周期为8的周期函数，所以f(2023)＋f(2024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)，又因为f(1)＝2，所以f(2023)＋f(2024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.1234567891011121314151612.(2023·南昌联考)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，且当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，若f(2023)＝3，则

的最小值为________.12345678910111213141516因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，所以函数f(x)的周期为6，又因为f(2023)＝3，所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3，因为当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，则有2a＋b＝3，12345678910111213141516四、解答题13.(2023·银川模拟)已知函数f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1).(1)求实数a的值；∵当x>0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1)，12345678910111213141516(2)求函数f(x)的解析式；设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝

，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝

.综上所述，f(x)＝12345678910111213141516(3)求不等式f(x)<1的解集.∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，1234567891011121314151614.(2023·潍坊模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.12345678910111213141516(2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式；12345678910111213141516若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，即f(x)＝x，－1≤x≤0，即当－1≤x≤1时，f(x)＝x；若1<x≤3，则－1<x－2≤1，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x，12345678910111213141516(3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和.12345678910111213141516作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图，则函数的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4,4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2；若－1<m<0，则方程f(x)＝m在[－4,4]上共有4个解，则它们分别关于直线x＝－1和直线x＝3对称，设它们从小到大依次为a，b，c，d，则a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4.12345678910111213141516√12345678910111213141516当x>0时，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)