（高二数学高分突破）8.1条件概率（七大题型）（原卷版）

（高二数学高分突破）8.1条件概率（七大题型）（原卷版）（高二数学高分突破）8.1条件概率（七大题型）（原卷版）/（高二数学高分突破）8.1条件概率（七大题型）（原卷版）8.1条件概率课程标准学习目标(1)利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(2)能利用条件概率和独立性等概念分析复杂问题,寻找解决复杂问题的方法,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.(1)结合古典概型,了解条件概率的定义.(2)掌握条件概率的计算方法.(3)了解事件的独立性与条件概率的关系,掌握概率的乘法公式.(4)会求互斥事件的条件概率,理解条件概率的性质．(5)结合古典概型,理解并掌握全概率公式,会利用全概率公式计算概率并了解贝叶斯公式知识点01条件概率1、条件概率的概念条件概率揭示了三者之间"知二求一”的关系一般地,设A,B为两个随机事件,且,我们称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率,简称条件概率．2、概率的乘法公式由条件概率的定义,对任意两个事件与,若,则．我们称上式为概率的乘法公式．【即学即练1】(2024·高二·陕西渭南·期末)已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率,则(

)A． B．C． D．知识点02条件概率的性质设,则(1)(2)如果与是两个互布事件,则;(3)设和互为对立事件,则．【即学即练2】(2024·辽宁丹东·一模)已知,,,那么．知识点03全概率公式与贝叶斯公式全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算,这时,我们可以用"化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地,设是一组两两互F的事件,,且,则对任意的事件,有我们称上面的公式为全概率公式,全概率公式是概率论中最基本的公式之一．贝叶斯公式设是一组两两互压的事件,,且,则对任意事件,有在贝叶斯公式中,和分别称为先俭概率和后验概率．【即学即练3】(2024·高二·全国·课时练习)设某厂有甲,乙,丙三个车间生产同一产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的,,,并且各车间的次品率依次为,,.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率;(2)若取到的是次品,则此次品由三个车间生产的概率分别是多少?题型一：条件概率的理解【典例1-1】(2024·高二·河北邢台·阶段练习)下面几种概率是条件概率的是(

)A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7,各投篮一次都投中的概率B．有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率D．小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学途中遇到红灯的概率【典例1-2】(多选题)(2024·高二·全国·课时练习)下面几种概率不是条件概率的是(

)A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7,各投篮一次都投中的概率B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7,在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率C．有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学路上遇到红灯的概率【变式1-1】(2024·高二·江苏·专题练习)判断下列哪些是条件概率?(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,求高一的女生获得冠军的概率;(2)掷一个骰子,求掷出的点数为3的概率;(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张,已知抽到梅花的条件下,再抽到的是梅花5的概率．【方法技巧与总结】判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．题型二：利用定义求条件概率【典例2-1】(2024·高二·广东肇庆·期中)从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数,则在第1次抽到奇数的条件下,第2次又抽到奇数的概率是(

)A． B． C． D．【典例2-2】(2024·高二·陕西咸阳·阶段练习)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记两次的点数均为偶数,两次的点数之和为8,则(

)A． B． C． D．【变式2-1】(2024·高二·四川绵阳·期末)科技博览会需从5个女生(分别记为,,,,)中选2人参加志愿者服务,已知这5个人被选中的机会相等,则被选中的概率为(

)A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75【变式2-2】(2024·高二·河南·期中)某单位开展主题为"学习强国,我学习我成长”的知识竞赛活动,甲选手答对第一道题的概率为,连续答对两道题的概率为.用事件A表示"甲选手答对第一道题”,事件B表示"甲选手答对第二道题”,则＝(

)A． B． C． D．【变式2-3】(2024·四川德阳·模拟预测)质数(primenumber)又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数,数学上把相差为2的两个素数叫做"孪生素数”.如：3和5,5和7……,在1900年的国际数学大会上,著名数学家希尔伯特提出了23个问题,其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》,破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题,证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么,如果我们在不超过的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件,这两个数都是素数;事件：这两个数不是孪生素数,则(

)A． B． C． D．【变式2-4】(2024·湖南邵阳·一模)在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和,且三人的测试结果相互独立,则测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为(

)A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率和．(2)将它们相除得到条件概率,这个公式适用于一般情形,其中AB表示A,B同时发生．题型三：概率的乘法公式【典例3-1】(2024·高二·湖北宜昌·阶段练习)一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次．求：(1)第一、第二次都取得白球的概率;(2)已知第一次取得黑球,求第二次取得白球的概率;(3)求第二次取得白球的概率．【典例3-2】(2024·高二·江苏·专题练习)10个考签中有4个难签,2人参加抽签(不放回),甲先,乙后,求：(1)甲抽到难签的概率;(2)甲、乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到难签,而乙抽到难签的概率．【变式3-1】(2024·高二·湖南·课时练习)10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次之,丙最后．求：(1)甲抽到难签的概率;(2)甲、乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到难签,而乙抽到难签的概率;(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率．【方法技巧与总结】概率的乘法公式公式反映了知二求一的方程思想．题型四：条件概率的性质及应用【典例4-1】(2024·高二·河南南阳·期末)已知,,则.【典例4-2】(2024·高二·安徽安庆·期末)已知,且若,,则．【变式4-1】(2024·高二·河北张家口·期末)已知离散型随机事件A,B发生的概率,,若,事件,,分别表示A,B不发生和至少有一个发生,则,.【变式4-2】(2024·高二·江西·期中)已知随机事件,,若,,,则.【变式4-3】(2024·高二·吉林长春·阶段练习)已知,,,则.【方法技巧与总结】当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用便可求得较复杂事件的概率．题型五：全概率公式【典例5-1】(2024·湖北武汉·模拟预测)"布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．【典例5-2】(2024·高二·河南驻马店·期末)为铭记历史,缅怀先烈,增强爱国主义情怀,某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题,每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为,甲、丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是．(1)若规定三名同学都回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率;(2)若规定三名同学抢答这个问题,已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为,求这个问题回答正确的概率．【变式5-1】(2024·高二·广东广州·期末)现有10个球,其中5个球由甲工厂生产,3个球由乙工厂生产,2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是,,．现从这10个球中任取1个球,设事件为"取得的球是合格品”,事件分别表示"取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求;(2)求．【变式5-2】(2024·高二·辽宁朝阳·期末)新高考模式下,"3+1+2”中"3”是数学、语文、外语三个必选的主科,"1”是物理、历史二选一,"2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理,剩余的选择历史,选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和,则从该校高二学生中任选一人,这名学生选择地理的概率为.【变式5-3】(2024·高二·陕西咸阳·阶段练习)有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品,甲厂生产的次品率为,乙厂生产的次品率为,丙厂生产的次品率为,生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的,从中任取一件产品,则取得的产品为次品的概率为．【方法技巧与总结】全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．题型六：贝叶斯公式【典例6-1】(2024·高二·全国·随堂练习)某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率有多大?【典例6-2】(2024·高二·湖南·课时练习)某一地区患有某疾病的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人,试验反应是阳性,问此人是患者的概率有多大?(保留小数点后四位)【变式6-1】(2024·高三·江苏扬州·期末)有一个邮件过滤系统,它可以根据邮件的内容和发件人等信息,判断邮件是不是垃圾邮件,并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为,被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件,被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件,则垃圾邮件被该系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率为.【变式6-2】(2024·高二·全国·课时练习)某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现,每天生产线启动时,初始状态良好的概率为80%,当生产线初始状态良好时,第一件产品合格的概率为95%;否则,第一件产品合格的概率为60%,某天生产线启动时,生产出的第一件产品是合格品,则当天生产线初始状态良好的概率为(精确到0.1%).【变式6-3】(2024·高二·福建龙岩·期末)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A,B有如下关系：．某地有A,B两个游泳馆,甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳,周六选择A,B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆,那么周日还去A馆的概率为0.4;如果周六去B馆,那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳,则他周六去A馆游泳的概率为．【方法技巧与总结】此类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生的可能性大小．题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【典例7-1】(2024·高二·广东肇庆·期中)三部机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占,机器乙生产的占,机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起,现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率;(2)经检验发现取到的产品为不合格品,它是由哪一部机器生产出来的可能性大?请说明理由.【典例7-2】(2024·高二·福建泉州·期末)在三个地区爆发了流感,这三个地区分别有的人患了流感,假设这三个地区的人口数的比为3：5：2,现从这三个地区中任意选取一个人(1)求这个人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.【变式7-1】(2024·高二·山东潍坊·期中)第三次人工智能浪潮滚滚而来,以ChatGPT发布为里程碑,开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识,开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,条件概率就被广泛应用于ChatGPT中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲,乙两个箱子(如图),其中甲箱装有2个黑球和4个白球,乙箱装有2个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子,再从中随机摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率;(2)若已知摸出的球是黑球,请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.【变式7-2】(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)(1)对于任意两个事件,若,,证明：;(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设,,…,是一组两两互斥的事件,,且,,2,…,,则对任意的事件,,有,,2,…,.(i)已知某地区烟民的肺癌发病率为1%,先用低剂量进行肺癌筛查,医学研究表明,化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性(有病),而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性(无病),现某烟民的检验结果为阳性,请问他真的患肺癌的概率是多少?(ii)为了确保诊断无误,一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时,此人患肺癌的概率就不再是1%,这是因为第一次检查呈阳性,所以对其患肺癌的概率进行修正,因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率,请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性,则他真的患肺癌的概率是多少?【方法技巧与总结】是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识,当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计,贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．一、单选题1．(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)某饮料厂生产两种型号的饮料,已知这两种饮料的生产比例分别为,且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率约为(

)A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.322．(2024·高二·全国·开学考试)某校有7名同学获省数学竞赛一等奖,其中男生4名,女生3名．现随机选取2名学生作"我爱数学”主题演讲．假设事件为"选取的两名学生性别相同”,事件为"选取的两名学生为男生”,则(

)A． B． C． D．3．(2024·高二·山东济宁·阶段练习)甲乙两人进行羽毛球比赛,在前三局比赛中,甲胜2局,乙胜1局,规定先胜3局者取得最终胜利,已知甲在每局比赛中获胜的概率为,乙在每局比赛中获胜的概率为,且各局比赛结果相互独立,则甲取得最终胜利的概率为(

)A． B． C． D．4．(2024·福建漳州·模拟预测)甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动,可以从,,,四个社区中随机选择一个社区,设事件为"甲和乙至少一人选择了社区”,事件为"甲和乙选择的社区不相同”,则(

)A． B． C． D．5．(2024·高二·湖南邵阳·期中)一玩具制造厂的某一配件由A,B,C三家配件制造厂提供,根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A,B,C的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供配件的份额分别为,,,设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记,从中随机抽取一件配件,若抽到的是次品,则该次品来自制造厂C概率为(

)A． B． C． D．6．(2024·河南信阳·二模)随着城市经济的发展,早高峰问题越发严重,上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种,某天早上他选择自驾,坐公交车,骑共享单车的概率分别为,,,而他自驾,坐公交车,骑共享单车迟到的概率分别为,,,结果这一天他迟到了,在此条件下,他自驾去上班的概率是(

)A． B． C． D．7．(2024·高二·江西萍乡·期末)某一地区患有癌症的人占0.05,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率为(

)A． B． C． D．8．(2024·高二·湖南长沙·开学考试)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球(球除颜色外,大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以,和表示由甲罐中取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是(

)①事件与相互独立

②③

④A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题9．(2024·全国·模拟预测)已知,分别为随机事件A,B的对立事件,,,则(

)A． B．C．若A,B独立,则 D．若A,B互斥,则10．(2024·高三·全国·期末)已知随机事件满足,,,则下列说法正确的是(

)A．不可能事件与事件互斥B．必然事件与事件相互独立C．D．若,则11．(2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习)国庆节期间,某商场搞促销活动,商场准备了两个装有卡片的盒子,甲盒子中有4张红色卡片、2张绿色卡片,乙盒子中有5张红色卡片、3张绿色卡片(这14张卡片球除颜色外,大小、形状完全相同).顾客购物满500元即可参加抽奖,其规则如下：顾客先从甲盒子中随机取出1张卡片放入乙盒子,再从乙盒子中随机取出1张卡片,记"在甲盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件,"在甲盒子中取出的卡片是绿色卡片”为事件,"从乙盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件M,若事件M发生,则该顾客中奖,否则不中奖.则有(

)A．与是互斥事件 B．C． D．与相互独立三、填空题12．(2024·高二·全国·专题练习)设A,B是一个随机试验中的两个事件,若,,,则.13．(2024·高三·山东济宁·开学考试)设有一批同规格的产品,由三家工厂生产,其中甲厂生产了1000件,乙、丙两厂各生产500件,而且各厂的次品率依次为,现从中任取一件,则取到次品的概率为．14．(2024·山西晋城·一模)某羽毛球超市销售4种品牌(品牌,,,)的羽毛球,该超市品牌,,,的羽毛球的个数的比例为,品牌,,,的羽毛球的优品率分别为0.8,0.9,0.7,0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球,他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买,已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8,则可推测他不买的羽毛球的品牌为(填入,,,中的1个)．四、解答题15．(2024·高二·上海黄浦·期末)掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子,观察朝上的点数,A表示事件"两颗骰子的点数和为7”,B表